Знакомство с жизнью и деятельностью Карла Фридриха Гаусса. Задача Гаусса

Задача гениального Гаусса

Авторы :

ученики 4 «А» класса

Акимова Амалия

Стручкова Валентина

Руководитель:

Ефимова Татьяна Егоровна

Цель проекта: знакомство с жизнью и деятельностью

Карла Фридриха Гаусса, научиться решать задачи, пользуясь способом Гаусса.

Задачи проекта:

1. Найти интересные сведения о его жизни используя различные источники;

2. Уяснить, что подсчет суммы последовательных чисел можно провести через группировку чисел в пары.

Математика - царица наук.

Математика неисчерпаема и многозначна.

Одних покоряет её логическая стройность,

другие ценят в ней точность,

a третьи восхищаются её красотой.

Юный Карл Фридрих , по его собственным словам,

«научился считать раньше, чем говорить». Рассказывают, когда

отец однажды громко подсчитывал заработок своих помощников,

трехлетний Карл на слух заметил ошибку в вычислениях и

указал на нее отцу. В 1784 году семилетний Карл начинает

учиться в местной однокомплектной (то есть с одним учителем)

школе .

Первый биограф Гаусса, профессор фон Вальтерсгаузен пишет: «...Душная комната с низким потолком и неровным, потрескавшимся полом. Среди сотни учеников от семи до пятнадцатилетнего возраста взад и вперед расхаживает учитель Бюттнер с хлыстом в руках. Этим беспощадным аргументом своего метода воспитания учитель пользовался достаточно часто — по настроению и по потребности. В этой школе юный Гаусс проучился без особых происшествий два года, а затем был переведен в «арифметический класс» . «Перевод» выразился лишь в том, что девятилетнего мальчика пересадили из одного ряда скамеек в другой. Ученикам, сидевшим в этом ряду, тот же учитель Бюттнер давал меньше заданий по правописанию и больше — по арифметике. Ученик, первым выполнивший заданное вычисление, клал обычно свою грифельную доску на большой стол; поверх нее клал доску второй, и так далее по порядку. Затем кипа досок переворачивалась. Учитель начинал проверку с доски того, кто решил первым.

Бюттнер обратил внимание на незаурядные способности своего

ученика и достал для него дополнительные пособия. Большую

помощь оказал молодой помощник учителя Мартин Бартельс ,

который также был неравнодушен к математике. Несмотря

на восьмилетнюю разницу в возрасте, Гаусс и Бартельс

быстро сблизились на почве общего увлечения математикой. Бюттнер и Бартельс убедили отца Гаусса направить сына в гимназию и обещали добиться материальной поддержки: у бедного ремесленника не было возможности платить за обучение сына в гимназии.

В 1788 году Гаусс был принят — небывалый случай! — сразу во второй класс гимназии. Особенно поразил он своих педагогов блестящими способностями к греческому языку и латыни — эти древние языки наряду с историей считались важнейшими в гуманитарном гимназическом образовании.

В те времена дети крестьян и ремесленников весьма редко попадали в гимназии и тем более в университеты — образование и получение «привилегированных» профессий было практически недоступно для низших классов общества. Гаусс оказался счастливым исключением.

Вскоре после перевода девятилетнего Гаусса в арифметический класс учитель дал задание: сложить все натуральные числа от 1 до 100.

1 + 2 + 3 + 4 + … +97 + 98 + 99 + 100

«Едва задание было сформулировано,— продолжает фон Вальтерсгаузен,— как юный Карл объявил: «Я положил свою доску». И пока остальные школьники прилежно складывали и перемножали числа, учитель Бюттнер, исполненный собственного достоинства, расхаживал по классу, бросая время от времени саркастические взгляды на младшего из учеников, который давно выполнил задание. А тот спокойно улыбался, проникнутый непоколебимой уверенностью в правильности полученного результата — эта уверенность овладевала Гауссом после окончания каждой крупной работы в течение всей его жизни... В конце урока на грифельной доске Гаусса обнаружилось единственное число, которое, к общему изумлению, представляло собой правильный ответ на поставленную задачу, тогда как многие другие ответы оказались неверными и подлежали «исправлению с помощью хлыста».

«Вместо того, чтобы складывать последовательно 1+2=3; 3+3=6; 6+4=10 ; 10+5=15 и т.д., что было бы естественным для любого нормального школьника такого возраста, Гауссу пришло в голову объединить попарно числа с разных концов данного ряда: 1+100=101; 2+99 = 101 и т.д. Таких пар оказалось 50 . Затем оставалось лишь выполнить

умножение 101х50=5050 .

Нечего и удивляться: Гауссу не понадобилось

много времени, чтобы написать на своей доске

это единственное число».

Задачи Гаусса

1.Найти сумму 1 + 2 +3 +4 +5 +6

Объединим слагаемые в пары – первое с шестым, второе с пятым и т.д. Всего у нас 3 таких пар и каждая пара в сумме дает 7.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (6 + 1)  3 = 21

Ответ: 21

2. Найти сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

1 + 2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 + 9+10 = ( 1 + 10 )  5 =55

Ответ: 55

3. Найти сумму чисел 1 + 2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 + 9.

(1 + 2 +3 +4 +5 +6 +7 +8) + 9 = (1 + 8)  4 + 9 = 45

Ответ: 45

4. Найти сумму чисел от 1 до 100.

1 + 2 + 3 + …+ 98 + 99 + 100.

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 = (1 + 100)  50 = 5050.

Ответ: 5050.

5. Найти сумму чисел от 1 до 1000.

1 + 2 + 3 + … + 998 + 999 + 1000 = (1 + 1000) ×500 = 500 500.

Ответ: 500 500

6. Найти сумму чисел от 1 до 220.

1 + 2 + 3 + … + 218 +219 + 220 = (1 +220) ×110 = 24 310

Ответ: 24 310

7. Найти сумму чисел от 1 до 221.

(1 + 2 + 3 + … + 218 +219 + 220) + 221 = (1 +220) ×110 + 221= 24 310 + 221 = 24 531

8. Имеется 9 гирь весом 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г, 6 г, 7 г, 8 г, 9 г. Можно ли разложить их на три кучки с равным весом?

Решение.

Найдем сумму гирь методом Гаусса:

1 + 2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 + 9 = (1 + 2 +3 +4 +5 +6 +7 +8) + 9 = (1 + 8)  4 + 9 = 45

Сумма масс всех гирек 45 г. Значит, в одной кучке будут гири весом 15г. Попробуем это сделать:

1 г + 9 г + 5 г , 2 г + 6 г + 7 г , 3 г + 4 г + 8 г .

Здесь возможны и другие результаты, например:

1 г + 8 г + 6 г , 3 г + 5 г + 7 г , 2 г + 4 г + 9 г.

Остроумный ответ Гаусса

Из биографии Гаусса известно,

что еще в народной школе он

поражал учителя Бюттнера своим

умом и остроумием. Однажды учитель

спросил ученика: «Карл, я сейчас задам

тебе два вопроса. Если на первый ты ответишь правильно, то на второй можешь не отвечать. Итак, скажи мне, сколько иголок на рождественской елке?». Карл без промедления ответил: «67 534». «Как ты так быстро сосчитал иголки?» – изумился учитель. «А это уже второй вопрос, господин учитель», – улыбнулся ученик.

9. Можете ли вы разделить циферблат часов прямой линией на 2 равные половины так, чтобы суммы чисел на каждой половине были равны?

1 + 2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) × 6= 78 – сумма чисел от 1 до 12.

Нужно, чтобы в каждой части было 78 :2 = 39.

Проведем линию между 9 и 10, между 3 и 4.

Проверка: (10 + 3) ×3 = 39 и (9 + 4) × 3=39

10.Проведите на циферблате часов две прямые линии, чтобы в каждой части сумма чисел была одинакова.

1 + 2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) × 6= 78 – сумма чисел от 1 до 12.

Нужно, чтобы в каждой части было 78 : 3 = 26.

Проведем линии между а) 10; 11 и 2, 3; б) 8; 9 и 4; 5.

11. Летит стая птиц. Впереди одна птица (вожак), за ней две, потом три, четыре и т.д. Сколько птиц в стае, если в последнем ряду их 20?

Решение: 1 + 2 +3 +4 +5 +6 + … + 18 +19 + 20 = (1 + 20) ×10 = 210 Ответ: 210.

12. Как рассадить 45 кроликов в 9 клетках так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?

1 + 2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 + 9 = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ) + 9 = ( 1 + 8 )  4 + 9 = 45

Всего 9 слагаемых, значит, в первую клетку –1 кролик, во вторую –2 кролика, …, в девятую – 9 кроликов.

Ответ: В первую –1, во вторую –2, …, в девятую-9.

Вывод:

Работая над этой темой, мы узнали, то в конце 18 века родился великий математик Карл Фридрих Гаусс. Благодаря его трудам, у нас появилась возможность без труда найти ответ в тех задачах, которые на первый взгляд трудно решить или можно потратить очень много времени. Благодаря изучения его жизни и наследия его трудов, мы лишний раз убеждаемся в величие и возможностях человеческого ума.