ТРИГОНОМЕТРИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ СФЕРАХ НАУКИ И ЖИЗНИ

Тригонометрия и ее применение в различных сферах науки и жизни

Епихина Е.В.

Цели работы

• Изучить историю возникновения тригонометрии и понять, как зарождались математические понятия, связанные с ней
• Узнать, в каких сферах науки и искусства применяется тригонометрия
• Исследовать применение тригонометрии в этих науках
• Научиться использовать знания, полученные на уроках алгебры, в задачах с практическим содержанием

История тригонометрии

ТРИГОНОМЕТРИЯ – (от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

• Таблица числовых значений хорд
• Таблица для определения соотношений между элементами треугольников

Гиппарх Никейский

( 180 – 125 г. до н.э.)

• Первая таблица синусов, высчитанная по хордам в окружности
• «Альмагест – самая значимая тригонометрическая работа всей античности

Клавдий Птолемей (90 – 168 г н.э)

Происхождение термина «синус»

Архаджива (инд.) - половина тетивы лука

Джива

Джиба

Джайб (араб.) - выпуклость, пазуха

Sinus

• Построил таблицы тангенсов, котангенсов и косекансов

Ал-Батани

( ок. 900 г. н.э)

• Присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов
• Установил основные соотношения между этими линиями
• Дал определения функциям
• Установил формулу двойного угла

Абу-ль-Вефа

( 940 – 997 г. н.э)

• Автор трактата о полном четырехстороннике

Насир-эд-Дин из Туса

(1201 – 1274 г. н.э)

• Построил таблицы синусов и котангенсов

Ал-Хорези

(783 – 850 г. н.э)

• Дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников
• Открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы тригонометрических функций от кратных углов

Франсуа Виет (1540 – 1603 г.)

• Разложил функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе

Исаак Ньютон

(1643 – 1727г.)

• Ввел понятие функции и принятую в наши дни символику
• Разъяснил вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента

Леонард Эйлер

(1707 – 1783 г. н.э)

Тригонометрия в искусстве

cos 2 С + sin 2 С = 1

АС – расстояние от верха статуи до глаз человека,

АН – высота статуи,

sin С - синус угла падения взгляда.

А

А

С

Н

Н

С

РИС. 1

РИС. 2

• Разработал метод проектирования сложных форм в 1920 году;

• Выразил тригонометрические функции как отношение координат x, y, z к длине элемента.

Ричард Саусвелл (1888-1970)

Поверхности Гауди

k=1, a=1

Детская школа Гауди в Барселоне

Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

x = λ

y = f ( λ )cos θ

z = f ( λ )sin θ

Сантьяго Калатрава Винодельня «Бодегас Исиос»

Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

[a d cos(t) + d d t , b d sin(t), c d t + e d t 2 ]

Готическая архитектура

Собор Парижской Богоматери

1163г. – середина XIV века.

Тригонометрия в физике

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), называются гармоническими колебаниями .

Выражение, стоящее под знаком косинуса или синуса, называется фазой колебания:

Скорость – это производная от координаты по времени:

Максимальная скорость колебательного движения:

Скорость при гармоническом колебании:

Скорость для случая с нулевой начальной фазой:

Ускорение – производная от скорости по времени:

Вторая производная от координаты по времени:

Максимальное ускорение:

Ускорение при гармоническом колебании:

Ускорение для случая с нулевой начальной фазой:

Сравним:

Выражение для смещения

Выражение для ускорения

и

Можно записать:

Часто бывает удобно записывать уравнения для колебаний

в виде:

период колебания

, где

Теория радуги

n 1

sin α

=

sin β

n 2

n 1 - показатель преломления первой среды

n 2 - показатель преломления второй среды

α -угол падения, β -угол преломления света

Ка́устика  — геометрическое место всех фокусов негомоцентрических пучков

Схема образования радуги

1. Сферическая капля

2. Внутреннее отражение

3. Первичная радуга

4. Преломление

5. Вторичная радуга

6. Входящий луч света

7. Ход лучей при формировании первичной радуги

8. Ход лучей при формировании вторичной радуги

9. Наблюдатель

10-12. Область формирования радуги.

Северное сияние

Задача № 1

Для двух шкивов, соединенных ременной передачей вычислите углы α при прямой передаче и β при перекрестной, если диаметры шкивов D=250 мм и d = 100 мм, а расстояние между центрами шкивов l=1250 мм

125

50

Случай 1

Дано:

OO₁=1250 мм

OB=50 мм

O₁C = 125 мм

Найти

α-?

O₁

O

1250

A

1250

α

B

C

AB = l

AC = R- r

Случай 2

Дано:

OO₁=1250 мм

OC=50 мм

O₁A = 125 мм

Найти

β-?

A

β

O

O₁

T

C

,

;

Ответ:

Задача № 2

С наблюдательного пункта замечают под углом 63°30’ самолет, пролетающий над башней, высота которой 79,5 м. Прямая, соединяющая наблюдательный пункт с верхушкой башни, образует с горизонтальной плоскостью угол 20°45’. На какой высоте находится самолет?

79,5

Решение

B

Дано: HC = 79,5 HAC = 20°45’

BAC = 63°30’

Найти BC -?

H

42°45 ’

20°45’

A

C

HAB = 42°45 ’

BH = 341 м

BC = 341+79,5=420,5 (м)

Ответ: 420,5 м

Задача № 3

На нитях длиной 1 м, закрепленных в одной точке, подвешены два одинаковых шарика, массой 2,7 г каждый. Когда шарикам сообщили одноименные заряды, они разошлись и нити образовали угол 60°. Найти заряд каждого шарика.

1

Решение

y

Дано:

кг

α

l = 1 м

α = 60°

Найти:

q

0

x

Решение

,

;

,

;

( ) = 1,32 (мкКл)

Тригонометрия в биологии

Биоритмы

• Экологические ритмы : суточные, сезонные (годовые), приливные и лунные циклы

• Физиологические ритмы : ритмы давления, биения сердца, артериальное давление, три биоритма, лежащие в основе «теории трех биоритмов»

Теория трех ритмов

• Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения
• Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение
• Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности

Тригонометрия в медицине

• Бета-ритм - 14-30 Гц, активная умственная деятельность

• Альфа-ритм – 8-13 Гц, монотонная, рутинная деятельность

• Тета-ритм – 4-8 Гц, состояние близкое ко сну, полудрема

• Дельта-ритм - 1-4 Гц, глубокий сон

Синус каротидный (сонный)

Пещеристый синус

Вывод

В ходе проделанной нами работы мы:

• Выяснили, что тригонометрия применяется не только в алгебре и началах анализа, но и во многих других науках, таких как медицина, биология и физика
• Является основой для создания многих шедевров искусства и архитектуры
• Научились использовать тригонометрию в задачах с практическим содержанием