Решение уравнений третьей степени при подготовке к ЕГЭ по математике

Мастер – класс по теме: «Решение уравнений третьей степени при подготовке к ЕГЭ по математике»

Сложно решать уравнения третьей степени и выше. Самый распространенный способ – способ разложения на множители. Например: решить уравнение разложением на множители + + 5х + 5 = 0

( + ) + ( 5х + 5 ) = 0

( х+ 1 ) + 5( х + 1) = 0

( х + 1) ( + 5 ) = 0

х = -1

Рассмотрим кубическое уравнение, которое невозможно разложить на множители . Одним из методов, которые помогли мне решить эти уравнения является теорема Безу.

Этьен Безу - французский математик ( 31.03.1730 - 27. 09. 1783)

Член Парижской академии наук.

Теорема Безу: При делении многочлена n-й степени относительно переменной х на двучлен ( х – а ) остаток равен значению делимого при х = а

Док – во: Пусть P(х) – многочлен, а – некоторое число. Докажем, что остаток от деления P( х) на (х – а) равен P (а). По теореме о делении с остатком следует, что P(х) = ( х – а) r - остаток , Q(х) - многочлен степени на 1 меньше чем P(х).

Подставим х = а, тогда P(а) = (а – а) Q(х) + r = r

r

Решить уравнение:

+ 2 - 7х - 12 = 0

Делители свободного члена 12:

подставим эти числа в уравнение

выясняем, что х = - 3 является корнем

значит, один из множителей будет х + 3

как найти другие множители ?

+ 2 - 7х - 12 делим на ( х + 3)

+ 2 - 7х - 12 = (х + 3)- х – 4)

х = -3, х =

r

Алгоритм решения уравнений с помощью теоремы Безу:

• найти все целые делители свободного члена
• из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения
• левую часть уравнения разделить на (х – а)
• записать в левой части уравнения произведение делителя и частного
• решить полученное уравнение

r

• Теорема Безу находит свое применение – при решении уравнений

• Можно сделать такой вывод: перед детьми нужно ставить такие вопросы, которые надо научить их решить ?

r