Решение тригонометрических уровнений

Решение тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение Sin x = a

• X = (-1)ⁿ arcsin a + ∏n , n Є Z
• a Є x Є
• arcsin (- a)=-arcsin a

Частные виды решения уравнений Sin x = a

• Sin x = -1
• Х = - +2∏ n , n Є Z

• Sin x = 0
• Х = ∏ n , n Є Z

• Sin x = 1
• Х = +2∏ n , n Є Z

Уравнение Cos x =a

• X = ± arccos a + 2∏n ; n Є Z
• a Є [-1;1] x Є [ - ∏ ; ∏ ]
• arccos (- a )= ∏ - arccos a

Частные виды решения уравнений Cos x = a

• Cos x = -1
• Х = ∏ +2∏ n , n Є Z

• Cos x = 0
• X = +∏ n , n Є Z

• Cos x = 1
• Х = 2 ∏ n , n Є Z

Уравнение tg x = a

• X = arctg a + ∏n , n Є Z
• a Є R x Є
• arctg ( - a)=-arctg a

Уравнения, сводящиеся к квадратным

• Sin²x + Sin x – 2 = 0

Пусть Sin x = у, тогда получим уравнение у ² + у – 2 = 0. Его корни у = 1 и у = - 2.

Решение исходного уравнения сводится к решению простейших уравнений Sin x = 1 и Sin x = -2.

Уравнения вида aSin x + bCos x = 0

• 2 Sin x – 3 Cos x = 0

Поделив уравнение на Cos x , получим 2 tg x – 3 = 0

Решение исходного уравнения сводится к решению простейшего уравнения tg x = 3 / 2

Уравнения вида aSin x + bCos x = c

• 2 Sin x + Cos x = 2
• Sin x = 2Sin Cos
• Cos x = Cos² - Sin²

• 2=2•1=2(Sin² +Cos² ) Получаем:

• 3 Sin² - 4 Sin Cos +Cos² = 0

Поделив это уравнение на Cos² , получим

3 tg² - 4 tg + 1 = 0

обозначаем tg = y, получаем уравнение

3 y² - 4 y + 1 = 0. Его корни y = 1, y = 1/3

Решение сводиться к простейшим

уравнениям tg x = 1 и tg x = 1/3

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

• Sin 2 x – Sin x = 0
• 2 Sin x Cos x – Sin x = 0
• Sin x ( 2 Cos x – 1) = 0
• Sin x = 0 или 2 Cos x – 1 = 0

Решение сводиться к простейшим тригонометрическим уравнениям

Спасибо за внимание. Чалова Балкия Картаевна