Вопросам преподавания стереометрии в средней школе всегда уделялось достаточно большое внимание. Исследования за последние годы показывают, что учащиеся испытывают значительные трудности при решении стереометрических задач, связанных, в основном, с недостаточным развитием их пространственных представлений. В связи с этим, в процессе формирования пространственных представлений необходимо использовать совместно с простым созерцанием и непосредственные манипуляции с материальными предметами и моделями, а также проговаривание указанных действий и определенную умственную работу . Проблема развития пространственных представлений тесно связана с проблемой наглядности в обучении. Как известно, пространственные представления развиваются в процессе изучения стереометрического материала, т.е. решения определенного круга стереометрических задач.
Данная презентация использует простые наглядности и модели стереометрических фигур в практическом применении, в доказательствах различных рассуждений. На слайдах презентации рассмотрены такие вопросы:
1.Основные элементы планиметрии и стереометрии.
2.Расположение прямых на плоскости и в пространстве.
3.Аксиомы стереометрии и их следствия.
4.Практическое применение расположения прямых в пространстве.
5.Теорема о параллельных прямых в пространстве.
6.Леммы о параллельных прямых в пространстве.
7.Взаимное расположение прямой и плоскости.
8.Практикум.
9.Угол между прямыми в пространстве.
10.Теорема об углах с сонаправленными сторонами.
11.Угол между скрещивающимися прямыми.
12.Практикум.
13.Скрещивающиеся прямые.
14.Признак скрещивающихся прямых в пространстве.
15.Практикум.
16.Взаимное расположение плоскостей .
17.Многогранники и их свойства.
18.практикум построения сечения в многогранниках.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости?
Какие прямые в планиметрии называются параллельными?
Аксиома параллельных прямых - ?
Через точку, не лежащую на данной прямой,
проходит прямая, параллельная данной и притом только одна
Следствия аксиомы параллельных прямых - ?
Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
А-1
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна
Р
С
К
=(РКС)
С
М
m
А-2
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
М,C
m
М,Cm,
Если
то
m
А-3
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
М , М , М m
М
m , m
= m
m
Т-1
Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Дано: Мm
В
А
Доказательство
м
Пусть точки A,Bm .
Так как Мm , то точки А , В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А , В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM) , Обозначим её . Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B , следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости .. Таким образом, плоскость проходит через прямую m и точку M и является искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M , не существует. Предположим, что есть другая плоскость — , проходящая через прямую m и точку M . Тогда плоскости и проходят через точки А , В и M , не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость единственна.
Теорема доказана
к
m
Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
В
А
м
m
Т-2
Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
Дано: m n = M
n
Доказательство
м
Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М.
N
Рассмотрим плоскость =(n, N). Так как M и N , то по А-2 m. Значит обе прямые m,n лежат в плоскости и следовательно , является искомой
Докажем единственность плоскости . Допустим, что есть другая, отличная от плоскости и проходящая через прямые m и n , плоскость .
Так как плоскость проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N , то по T -1 она совпадает с плоскостью . Единственность плоскости доказана .
Теорема доказана
Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?
По трем точкам, не лежащим на одной прямой
По прямой и точке, не лежащей на этой прямой
По двум пересекающимся прямым
По двум параллельным прямым
Каково может быть взаимное расположение прямых в пространстве?
C1
B1
?
ABиCD
B1CиC1C
AD1иA1D
BCиAA1
B1CиA1D
II
?
∩
D1
А1
?
∩
B
?
C
?
А
D
Какие прямые в пространстве называются параллельными?
B1
C1
B1CиA1D
Параллельными
называются прямые,
лежащие в одной
плоскости и не
имеющие точек
пересечения.
D1
А1
B
C
А
D
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
a
К
b
Параллельные отрезки,
параллельные лучи
в пространстве.
Отрезки в пространстве называются параллельными, если …
Лучи в пространстве называются параллельными, если …
Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая также пересекает эту плоскость?
b
a
Дано:
Доказать: b и имеют общую точку, причем она единственная
b
a
Дано:
Доказать: b и имеют общую точку, причем она единственная
М
Р
с
b
a
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны
a
Дано:
и
b
с
Доказать:
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны
Доказать:
Прямые а иbлежат
в одной плоскости.
2) Не пересекаются.
a
b
с
Р
Дано:М – серединаBD
D
N –серединаCD
Q –середина АС
P– середина АВ
M
АD= 12 см; ВС = 14 см
N
A
Найти:PMNQP.
Р
B
Q
Ответ:26 см.
C
а
А
а
α
α
а
α
1. Проведем плоскостьα.
2. В данной плоскости
проведем прямуюа1.
а
А
3.Возьмем вне плоскости т.А
4. Через точку А и прямуюа1
проведем плоскостьβ
а1
5. В плоскостиβчерез точку А
проведем прямуюапарал-
лельную прямойа1.
α
β
а –искомая прямая.
Доказательство:
1) Пустьа∩α=B.
А
а
2)β∩α=а1
В €β
В €α
В€ а1,т.е.
а ∩ а1=В,что
противоречит
построению
( а||а1)
а1
В
α
аиαне пересекаются.
β
ч.т.д.
Прямая и плоскость называются
параллельными, если они
не пересекаются.
а
а||αилиα||а
α
а
А
а
α
α
а
а||α
α
Признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая, не лежащая в данной
плоскости, параллельна какой-нибудь
прямой в этой плоскости, то она
параллельна и самой плоскости.
а
а1
а||а 1
а||α
α
B1
C1
DC || (AA1B1)
A1
D1
DC || (A1B1C1)
B
C
A
D
B1
C1
D1
A1
DD1|| (AA1B1)
DD1|| (B1C1C)
B
C
A
D
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
а
b
α
β
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.
а
b
с
В
Дано:С € АВ; А €α;ВВ1||СС1
ВВ1∩α= В1; В1€α;
СС1∩α= С1; С1€α;
АС : СВ = 3 : 2;
ВВ1= 20 см.
Найти: СС1
2
С
3
В1
12 см.
С1
А
α
Доказать, что точки А, В1, С1лежат на
одной прямой.
2.Найти СС1используя подобие треугольников.
№26
Дано: АС||α, АВ ∩α= М;
СВ ∩α=N.
Доказать: ∆АВС подобен ∆МNВ.
А
С
α
М
N
В
Отрезок АВ не пересекает плоскостьα. Через середину отрезка С и концы отрезка А и В проведены прямые, параллельные между собой и пересекающие плоскостьαв точках А1, В1и С1.
Вычислить длину отрезка СС1, если АА1= 5, ВВ1= 7.
В
С
А
α
А1
В1
С1
Ответ:6
Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекает плоскостьαв точке В. Через А и В проведены параллельные прямые, пересекающиеαв точках А1и М1.
а) Докажите, что А1, М1и В
лежат на одной прямой.
А
б) Найдите длину отрезка
АВ, если АА1: ММ1= 3 : 2,
АМ = 6.
М
А1
В
М1
Ответ:12
α
Дан треугольник МКР. Плоскость, параллельная прямой МК, пересекает МР в точке М1, РК – в точке К1. Найдите М1К1, если МР : М1Р = 12 : 5, МК = 18 см.
Р
К1
М1
α
Ответ:7,5 см
М
К
???
Дано: АВСD– трапеция, ВС = 12 см,
М (АВС), ВК = КМ.
Доказать: (АDК)∩ МС = Н
Найти: КН.
М
К
Н
В
С
Ответ:6 см
D
А
Угол между прямыми.
а
а – граница
полуплоскостей.
А
С
В
ТочкиАиВлежат по одну
сторону от прямойа.
ТочкиАиСлежат по разные
стороны от прямойа.
?
А2
?
А
О
О1
А1
О2
Лучи ОА и О1А1не лежат на одной
прямой, параллельны, лежат в одной
полуплоскости с границей ОО1→
сонаправленные
Если стороны двух углов соответственно
сонаправлены, то такие углы равны.
Дано: угол О и угол О1
с сонаправленными
сторонами.
А
О
Доказать:
А1
В
О1
В1
Доказательство:
Отметим точки А, В, А1и В1, такие что
ОА = О1А1и ОВ = О1В1.
1. Рассмотрим ОАА1О1:
ОА||О1А1
ОА = О1А1
ОАА1О1–параллелограмм
( по признаку ).
А
О
Значит, АА1||ОО1и АА1= ОО1.
2. Рассмотрим ОВВ1О1:
А1
В
О1
ОВ||О1В1
ОВ = О1В1
ОВВ1О1–параллелограмм
( по признаку ).
В1
Значит, ВВ1||ОО1и ВВ1= ОО1.
Вывод:
АА1||ОО1и ВВ1||ОО1,
АА1||ВВ1
АА1= ВВ1
АА1= ОО1и ВВ1= ОО1,
Следовательно,
четырехугольник АА1В1В –
параллелограмм (по признаку).
А
О
АВ = А1В1
3. Рассмотрим ∆АВ О и ∆А1В1О1.
А1
В
О1
∆АВО = ∆А1В1О1
(по трем сторонам)
В1
Вывод:
А
1.
С
α
D
00α900
1800-α
В
2.
А1
Угол между
скрещивающимися
прямыми АВ и СD
определяется как угол
между пересекающимися
прямыми А1В1и С1D1,
при этом А1В1||АВ и С1D1|| CD.
С1
α
М1
D1
В1
3.
Выбрать любую точку М2.
Построить А2В2||АВ и С2D2|| CD.
Ответить на вопросы:
1. Почему А2В2||А1В1и С2D2|| C1D1?
2. Являются ли углы А1М1D1и А2М2D2
углами с соответственно
параллельными сторонами?
?
1.
Вывод:
Величина угла между скрещивающимися
прямыми не зависит от выбора точки.
Дан куб АВСDА1В1С1D1.
Найдите угол между прямыми:
B1
C1
900
ВС и СС1
1.
A1
D1
450
2.
АС и ВС
900
3.
D1С1и ВС
B
C
450
4.
А1В1и АС
A
D
Дано: ОВ||СD,
ОА и СD– скрещивающиеся.
Найти угол между ОА и СD, если:
A
400
а)
В
450
D
б)
О
900
C
в)
Треугольники АВС и АСDлежат
в разных плоскостях. РК – средняя
линия ∆АDCс основанием АС.
Определить взаимное расположение
прямых РК и АВ, найти угол между
ними, если
D
Ответ:
1) АВ и РК скрещивающиеся,
2) 600
К
P
С
В
А
Скрещивающиеся прямые.
α
a
a|| b
α
b
a
a∩ b
b
Лежат в одной плоскости!
???
Дан куб АВСDA1B1C1D1
B1
АА1||DD1,как противоположные
стороны квадрата, лежат в одной
плоскости и не пересекаются.
C1
Являются ли параллельными
прямые АА1иDD1; АА1и СС1?
Почему?
A1
D1
АА1||DD1;DD1|| CC1→AA1|| CC1
по теореме о трех
параллельных прямых.
B
2. Являются ли АА1иDC
параллельными?
Они пересекаются?
A
D
Две прямые называются
скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости.
a
b
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямыескрещивающиеся.
D
Дано: АВα, СD∩α= С, С АВ.
a
Доказать, что АВ
Скрещивается с СD
С
А
В
b
Доказательство:
Допустим, что СDи АВ лежат в одной плоскости.
Пусть это будет плоскостьβ.
αсовпадает сβ
Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая СD
пересекаетα. Плоскости, которой принадлежат АВ и СDне
существует и следовательно по определению скрещивающихся
прямых АВ скрещивается с СD.Ч.т.д.
C1
B1
Определить взаимное
расположение прямых
АВ1иDC.
D1
A1
2. Указать взаимное
расположение прямой
DCи плоскости АА1В1В
B
3. Является ли прямая АВ1
параллельной плоскости
DD1С1С?
C
A
D
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна.
Дано: АВ скрещивается с СD.
Построитьα: АВα, СD ||α.
C
Доказать, чтоα– единственная.
В
А
Через точку А проведем прямую
АЕ, АЕ||СD.
2. Прямые АВ и АЕ пересекаются
и образуют плоскостьα. АВα,
СD||α.α– единственная плоскость.
Е
D
3. Доказательство:
α– единственная по следствию из
аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ,
пересекает АЕ и, следовательно, прямую СD.
Построить плоскостьα, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямымаиb.
Построение:
b
Через точку К провести
прямую а1||а.
а
2. Через точку К провести
прямуюb1||b.
3. Через пересекающиеся
прямые проведем
плоскостьα.α– искомая
плоскость.
К
а1
b1
Дано:D(АВС),
АМ = МD; ВN = ND; CP = PD
D
К ВN.
Определитьвзаимное
расположение прямых:
M
P
а)NDиAB
б) РК и ВС
в) МNиAB
N
С
А
К
В
Р1
Дано:D(АВС),
АМ = МD; ВN = ND; CP = PD
D
К ВN.
Определитьвзаимное
расположение прямых:
M
P
а)NDиAB
б) РК и ВС
в) МNиAB
N
С
г) МР иAС
А
д) КNиAС
К
е) МDиBС
В
N
α
Дано:a||b
a
М
MN∩ a =M
b
Определить
взаимное расположение
прямыхMN u b.
Скрещивающиеся.
Плоскости имеют одну общую точку
Плоскости не имеют общих точек
Плоскости пересекаются по прямой
Плоскости совпадают
Плоскости параллельны
.
A
a
A,
A
=
װ
∩= a,
Aa
Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей,
то она пересекает и другую плоскость.
а
Дано: ,
Доказать:
Проведём в плоскости прямую а, пересекающую плоскость в некоторой точке В.
Тогда по теореме: если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость. Значит прямая а пересекает в некоторой точке А.
Следовательно, плоскости и
имеют общую точку А, т.е. пересекаются.
Теорема доказана
а
В
А
Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
Дано : ║ , ║ .
Доказать : ║ .
Пусть ∩ = с.
Пусть М с.
М и М . .
Это противоречит теореме, которая звучит так: через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и только одну. Значит, предположение было неверным, следовательно || .
Теорема доказана.
М
с
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости
соответственно параллельны
двум прямым другой плоскости,
то эти плоскости параллельны.
Дано: a , b , a ∩ b = M,
a װ a 1 , b װ b 1 , a 1 β , b 1 β .
Доказать: װ
a
М
b
α
a 1
b 1
β
a ║ β , b ║ b 1 , b 1 β = b ║ β . 2)Получили: a ∩ b = M , a ║ β , b ║ β по доказанному предыдущему признаку параллельности плоскостей . Теорема доказана. a М b α װ a 1 b 1 β" width="640"
1)По условию известно, чтоa, b, a ∩ b = M
иa║a1, b║b1, a1β,b1β.
Тогда по признаку параллельности
прямой и плоскости имеем:
a║a1, a1β= a║β,
b║b1, b1β= b║β.
2)Получили:
a ∩ b = M,
a ║β,b║β
по доказанному предыдущему
признаку параллельности плоскостей.
Теорема доказана.
a
М
b
α
װ
a 1
b 1
β
Тетраэдр
76
Параллелепипед
77
Правильный Тетраэдр
Тетра́эдр — многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.
Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.
Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.
Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
Свойства
Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали, соединяющей противоположные вершины.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Плоскость – грань
Прямая – ребро
Точка – вершина
вершина
грань
ребро
80
Если две точки одной прямой лежат в плоскости, то и
вся прямая лежит в этой плоскости.
81
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то
a ║ β , b ║ b 1 , b 1 β = b ║ β . 2)Получили: a ∩ b = M , a ║ β , b ║ β по доказанному предыдущему признаку параллельности плоскостей . Теорема доказана. a М b α װ a 1 b 1 β" width="640"
