Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные 9 класс

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых выполняется неравенство

, что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные 9 класс »

Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

9класс

math-rus.ucoz.net

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств. Пример 1 . Доказать что для любого х ϵ R Доказательство . 1 способ . 2 способ

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.

Пример 1 . Доказать что для любого х ϵ R

Доказательство . 1 способ .

2 способ .

для квадратичной функции

что означает её положительность при любом действительном х .

для х ϵ R

для х ϵ R т. к.

Пример 2 . Доказать, что для любых x и y

Доказательство.

Пример 3 . Доказать, что

Доказательство.

Пример 4 . Доказать, что для любых a и b

Доказательство.

для любых действительных х и у

2. Метод от противного

Вот хороший пример применения данного метода.

Доказать, что для a, b ϵ R.

Доказательство.

Предположим, что .

Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.

Ч.Т.Д.

Пример 5 . Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство

Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:

, что является обоснованием исходного неравенства .

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С , для которых выполняется неравенство

, что невозможно ни при каких действительных А,В и С . Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

0 = для х ϵ R для х ϵ R" width="640"

Использование свойств квадратного трехчлена

Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена , если

и .

Пример 6 . Доказать, что

Доказательство.

Пусть , a=2, 20

для х ϵ R

0, D D= = P(x)0 и верно при любых действительных значениях х и у. для х ϵ R" width="640"

Пример 7 . Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство

Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:

, а 0, D

D= = P(x)0 и

верно при любых действительных значениях х и у.

для х ϵ R

Пример 8 . Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть ,
Это означает, что для любых действительных у и неравенство
выполняется при любых действительных х и у.

для х ϵ R

Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9 . Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , ,
.
Получаем исследуемое неравенство
( )* ( ) 0 , что доказывает неравенство для а ϵ R" width="640"
Использование свойств функций.
Пример 10 . Докажем неравенство
для любых а и b .
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
Если а= b ,то верно
причем равенство достигается только при а= b=0.
2) Если
, на R =
( )* ( ) 0 , что доказывает неравенство
для а ϵ R
" width="640"
Пример 11 . Докажем, что для любых

Доказательство.
на R.
Если , то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =
1)" width="640"
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12 . Доказать, что для любого n ϵ N

Проверим истинность утверждения при
- (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k1)

3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.
Сравним и : ,
Имеем:
Вывод: утверждение верно для любого n ϵ N .
*3

Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического
, где
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда
Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
0, тогда Пусть n=3, , , , тогда" width="640"
Пусть n=2 , , , тогда
Пусть n=2, a0, тогда
Пусть n=3, , , , тогда
Пример 13 . Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.

Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых ; справедливо соотношение
Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.

-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство Неравенство может применяться для выражений вида Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли." width="640"
Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли утверждает, что если х -1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство
Неравенство может применяться для выражений вида
Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Пример 16 . Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство. Положив х =0,5 и применив теорему Бернулли для выражения
, получим требуемое неравенство.
Пример 17 . Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.
по теореме Бернулли, что и требовалось.

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.