Презентация на тему: проект "Логарифмическая функция"

Проект на тему :

«Логарифмическая функция»

Подготовили: ученики 11 «А» класса

Кашлева Татьяна, Попова Валерия

Руководитель: учитель математики

Киселева Татьяна Владимировна

Содержание

• Введение
• Цели и задачи
• История возникновения
• Понятие логарифмической функции и ее график
• Натуральный логарифм
• Десятичный логарифм
• Логарифмическая спираль
• Логарифмы в жизни
• Логарифмы в Едином Государственном Экзамене
• Вывод
• Заключение
• Список используемой литературы

Введение

• На уроках алгебры в 11 классе мы впервые столкнулись с понятием логарифмической функции. Так как эта тема для нас новая и неизведанная, мы решили исследовать ее подробнее. К тому же в заданиях ЕГЭ по математике часто встречаются задания с логарифмами. Перед нами встали вопросы: кто изобрел логарифмы? когда? Встречаются ли в повседневной жизни логарифмы?

Цели и задачи

• Цель: Подробно изучить логарифмическую функцию.
• Задачи:

• Изучить литературу, интернет ресурсы.
• Закрепить знания о логарифмической функции.
• Оформить презентацию для защиты работы.

История возникновения

В XVI в. резко возрос объем работы, связанный с вычислениями. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, необычайно быстро вошли в практику.

Первые таблицы логарифмов составлены

независимо друг от друга шотландским

математиком Дж. Непером (1550—1617) и

швейцарцем И. Бюрги (1552—1632).

Джон Непер

Йост Бюрги

Первые таблицы десятичных логарифмов (1617 г.) были составлены по совету Непера английским математиком Г. Бриггсом (1561 —1630). Многие из них были найдены с помощью выведенной Бриггсом приближенной формулы:

Логарифмическая линейка

• Через 10 лет после появления

логарифмических таблиц

английский математик Д .Гунтер

изобрел логарифмическую линейку.

• Затем логарифмическую линейку вытеснили калькуляторы.

Но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры , ни калькуляторы.

Понятие логарифмической функции, ее свойства и график

• Логарифм - определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.

log a b=x, a x =b

График логарифмической функции

0 при x (1; ), y Монотонность: при 0 при a 1 функция возрастает при x (0; +∞ ) Экстремумов нет. График функции проходит через точку: (1; 0) Асимптота x = 0 " width="640"

Свойства

• Область определения (0; +∞)
• Область значений: у R
• Чётность /нечётность: функция не является ни четной, ни
• Нечетной
• Нули функции: y = 0 при x = 1
• Промежутки знакопостоянства: если 0 0 при
• x (0; 1), y 1, то y 0 при x (1; ), y
• Монотонность:

при 0

при a 1 функция возрастает при x (0; +∞ )

• Экстремумов нет.
• График функции проходит через точку: (1; 0)
• Асимптота x = 0

Натуральный логарифм

• Натуральный логарифм  — это логарифм по основанию  e , где  e  — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281828. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln( x ), log e ( x ).
• Натуральный логарифм числа  x  (записывается как  ln(x) ) — это показатель степени, в которую нужно возвести число  e , чтобы получить  x . Например,  ln(7,389...)  равен 2, потому что  e 2 = 7,389... . Натуральный логарифм самого числа  e  ( ln(e) ) равен 1, потому что  e 1  =  e , а натуральный логарифм 1 ( ln(1) ) равен 0, поскольку  e 0  = 1.
• Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа  a  как площадь под кривой  y  = 1/ x  от 1 до  a . Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется натуральный логарифм, привела к появлению названия «натуральный».

График натурального логарифма

0. Принято обозначать его lg b. Примеры: lg 1 = 0; lg 10 = 1 lg 0, = --1 " width="640"

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм  — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа  есть решение уравнения  10 x =b

Десятичный логарифм числа b существует, если b0. Принято обозначать его lg b. Примеры:

lg 1 = 0; lg 10 = 1 lg 0, = --1

График десятичной функции

Логарифмическая спираль

Спираль называется логарифмической, так

как её уравнение связано с

Логарифмической функцией.

Вращение ножей в

механизмах, изгиб трубы

турбины – примеры того,

где встречается

логарифмическая спираль.

В математике

логарифмическая спираль

впервые упоминается в

1638 году Рене Декартом.

Якоб Бернулли открыл

Поразительное свойство

спирали: кривая с

«твёрдым» характером.

Она не изменяется при

сжатиях, растяжениях

и поворотах .

Логарифмы в жизни

Психология и физиология

Человеческое восприятие многих явлений хорошо описывается логарифмическим законом.

Закон Вебера — Фехнера — эмпирический психофизиологический закон, заключающийся в том, что интенсивность ощущения пропорциональна логарифму интенсивности стимула — громкости звука, яркости света.

Закон Фиттса: чем дальше или точнее выполняется движение организма, тем больше коррекции необходимо для его выполнения и тем дольше эта коррекция исполняется.

Время на принятие решения при наличии выбора можно оценить по закону Хикса.

Логарифмы в жизни

• Теория музыки

Чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение

для  . Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов .

• Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих побудило выработать приёмы точной числовой оценки громкости звука «бел».

Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму величины раздражения .

Логарифмы в жизни

• Биология
• Ряд биологических форм хорошо соответствует логарифмической спирали — кривой, у которой касательная в каждой точке образует с радиус-вектором в этой точке один и тот же угол, то есть прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен:

Раковина наутилуса

• Рога архаров (горных козлов) закручены по логарифмической спирали. И можно сказать, что эта спираль является математическим символом в соотношении форм роста.

• Астрономия
• Галактики тоже кружат

по спирали.

• Яркость звёзд оценивают

по логарифмической

шкале с основанием 2,5.

• А величина звезды

представляет собой

логарифм её яркости

Логарифмы в ЕГЭ (примеры заданий) В5, В7, С3

Заключение

В данной работе была подробно изучена логарифмическая функция. Изучена литература и интернет ресурсы. Знания о логарифмической функции закреплены с помощью решения заданий.

Применение исследовательского проекта

• Логарифмическая функция крайне важна в экономике, физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов, астрономии и др. Форма логарифмической спирали присуща многим природным объектам.
• Физика — интенсивность звука (децибелы).
• Астрономия — шкала яркости звёзд.
• Химия — активность водородных ионов ( pH).
• Сейсмология — шкала Рихтера.
• Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
• История — логарифмическая шкала времени.