Презентация урока "Комбинаторные задачи по геометрии"

Комбинаторные задачи в геометрии

• В последнее время интерес к комбинаторике в школьном курсе математики заметно возрос. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей включены в новые стандарты по математике для основной и профильной школ. Формирование комбинаторных представлений и развитие комбинаторного мышления школьников входит в число основных целей обучения математике.

Обычно, когда говорят об элементах комбинаторики, имеют в виду задачи алгебраического содержания. Однако и комбинаторными задачами можно заниматься и на уроках геометрии, начиная с 7 по 11 класс.

Точки и прямые на плоскости

Точки и прямые на плоскости

• Сколько прямых проходит через различные пары из трех точек, не лежащих на одной прямой?

Ответ: 3.

• Сколько прямых проходит через различные пары из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

Ответ: 6.

• Сколько прямых проходит через различные пары из пяти точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

Ответ: 10.

Точки и прямые на плоскости

• Сколько прямых проходит через различные пары из n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой? Укажите способ построения таких точек.

Решение. Пусть А 1 …, Аn — n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Для построения таких точек достаточно отметить их на окружности.

Выясним, сколько прямых проходит через точку А 1 и оставшиеся точки. Так как число оставшихся точек равно n – 1 и через каждую из них и точку А 1 проходит одна прямая, то искомое число прямых будет равно n - 1. Заметим, что рассуждения, проведенные для точки А 1 , справедливы для любой точки. Поскольку всего точек n и через каждую из них проходит n - 1 прямая, то число посчитанных прямых будет равно n ( n -1).

При указанном подсчете мы каждую прямую посчитали дважды и поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, равно n ( n -1).

2

Точки и прямые на плоскости

• Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь три прямые?

Ответ: 3.

• Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые?

Ответ: 6.

• Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь пять прямых?

Ответ: 10.

Окружности

• Вместо прямых на плоскости можно рассмотреть окружности и выяснить количество их точек пересечения.

• Какое наибольшее число точек пересечения могут иметь две окружности?

Учащиеся изображают в тетради две окружности и выясняют, что наибольшее число точек пересечения

равно 2.

• Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь три окружности?

Ответ: 6.

Многоугольники

• Сколько диагоналей имеет четырехугольник?

Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число диагоналей равно 2.

• Сколько диагоналей имеет пятиугольник? Ответ: число диагоналей равно 5.

• Сколько диагоналей имеет шестиугольник? Ответ: число диагоналей равно 9.

Многоугольники

• Сколько диагоналей имеет n -угольник?

Решение. Зафиксируем какую-нибудь вершину n -угольника. Учитывая, что диагональю является отрезок, соединяющий несоседние вершины многоугольника, получаем, что через данную вершину проходит n - 3 диагонали. Поскольку общее число вершин равно n , через каждую из них проходит n - 3 диагонали, и при таком подсчете каждая диагональ считается дважды, получаем, что общее число диагоналей равно n ( n -3)

2 .

• Может ли многоугольник иметь:

а) 10 диагоналей;

б) 20 диагоналей;

в) 30 диагоналей.

Решение. По результатам предыдущей задачи шестиугольник имеет 9 диагоналей, семиугольник — 14, восьмиугольник — 20, девятиугольник — 27, десятиугольник — 35. Ясно, что многоугольники с большим числом сторон имеют большее число диагоналей. Поэтому многоугольник может иметь 20 диагоналей и не может иметь 40 или 30 диагоналей.

Многоугольники

• Может ли прямая пересекать все стороны 2 n -угольника?

Решение. Пример

приведен на рисунке . Ответ: да.

Многоугольники

• Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая

ломаная с пятью сторонами?

Решение. Каждая сторона ломаной может пересекаться только с несоседними сторонами. Таких сторон у пятисторонней ломаной две. Значит, число точек самопересечения не превосходит 5 x 2 = 5.

2

Пример замкнутой пятисторонней

ломаной с пятью точками

самопересечения дает пентаграмма.

Многоугольники

Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная с (2 n + 1)-й стороной? Приведите примеры для n = 3, n = 4.

Решение аналогично решению предыдущей задачи; примеры ломаных приведены на рисунке.

Ответ: (2 n + 1)( n - 1).

разрезание

• Греческий крест (рис. 1) разрежьте на несколько частей и составьте из них квадрат.

Решение. Заметим, что если стороны квадратов, из которых составлен греческий крест, равны 1, то сторона искомого квадрата равна 5 . Требуемое разрезание показано на рисунке 2.

Рис. 1

Рис. 2

разрезание

• Греческий крест разрежьте двумя разрезами и составьте из полученных частей квадрат.
• Решение показано

на рисунке.

Графы

Графы

• Сможет ли экскурсовод провести посетителей по выставке, план которой приведен на рисунке, так, чтобы они побывали в каждом зале только один раз?

Вершины графа — это вход, выход, двери, соединяющие залы, перекрестки, а ребра — залы и коридоры. Где на выставке следовало бы сделать вход и выход, чтобы можно было провести, экскурсию по всем залам, побывав в каждом из них в точности один раз?

Прямые и плоскости в пространстве

• В пространстве даны n точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Сколько плоскостей проходит через различные тройки из этих точек?

Решение. Поскольку плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой, то число плоскостей равно числу сочетаний из n по три, то есть равно

n ( n - 1)( n – 2)

6 .

Многогранники

• Может ли в пирамиде быть 21 ребро?

Ответ: нет, в пирамиде число ребер четно.

• Может ли в призме быть 16 ребер?

Ответ: нет, в призме число ребер делится на три.

• Чему равна число диагоналей в n -угольной призме?

Ответ: n ( n - 3).

• Сколько осей симметрии имеет куб?

Многогранники

• Сколько имеется различных движений, переводящих в себя:

а) правильный тетраэдр; б) куб;

в) октаэдр; г) икосаэдр;

д) додекаэдр?

Ответ: а) 24 ; б) 48 ; в) 48 ; г) 120 ; д) 120 .

• Может ли у многогранника быть семь ребер?

Решение. В вершинах такого многогранника не может сходиться четыре ребра, так как в этом случае число ребер многогранника было бы больше семи. Если же в каждой вершине многогранника сходится по три ребра, то число ребер многогранника должно делиться на три.

Ответ: нет .

Теорема Эйлера для многогранников

• Решение большого класса комбинаторных задач по геометрии основывается на теореме Эйлера о числе вершин, ребер и граней выпуклого многогранника.

• Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет:

а) 12 ребер; б) 15 ребер?

Ответ: а) В = 6, Г = 8; б) В = 7, Г = 10.

• Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно:

а) 12; б) 15?

Ответ: а) В = 8, Г = 6; б) В - 10, Г = 7.