Презентация для урока по наглядной геометрии в 5 классе по теме "Правильные многогранники."

В мире правильных многогранников.

Составитель:

Баланина Нелли Финагатовна, учитель математики

• «Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой архитектора» – это высказывание принадлежит великому французскому архитектору нашего столетия Ле Корбюзье (1887–1965).

Правильный многогранник

Выпуклый многогранник называется правильным , если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников:

куб

тетраэдр

октаэдр

додекаэдр

икосаэдр

Кол-во

Тетраэдр

ребер

6

Кол-во

Куб

12

4

Октаэдр

Кол-во

вершин

Додекаэдр

4

граней

12

Вид

8

грани

Икосаэдр

30

6

6

30

8

20

12

12

20

Тетраэдр.

Эта фигура состоит из четырех правильных тре-

угольников. Если развернуть их на плоскости, они

образуют равносторонний треугольник — символ

Бога.

Как и равносторонний треугольник, тетраэдр

представляет собой воплощение самой гармонии

и равновесия. Угловые же точки куба, как и

квадрата, находятся на разных расстояниях друг

от друга, а это значит, что в этих фигурах есть

постоянное напряжение.

Куб.

Куб — квадрат в трех измерениях, каждая грань которого

имеет те же характеристики, что и остальные, поэтому он

стал эмблемой правды. В иконографии часто используется

как постамент для аллегорических фигур Правды и Истории.

Согласно преданию народа майя, Древо Жизни выросло из

куба. Как в иудаизме, так и в исламе куб являет собой центр

веры. Паломники в Мекке обходят вокруг кубического соо-

ружения Каабы, наиболее почитаемой мусульманской свя-

тыни.

Развертка куба в пространство представляет

собой крест, и если христианские церкви обычно

строятся так, что имеют в плане форму креста,

то это именно потому, что крест — развертка в

плоскость кубического камня: церковь должна

представлять собой утверждение религии Христа на земле

на долгие времена.

Октаэдр.

Собственно говоря, октаэдр является

«двойником» куба: если соединить

центры смежных граней куба, то

получится октаэдр.

Додекаэдр.

Додекаэдр — настолько сакральная форма, что во времена Пифагора, если бы кто-то произнес это слово вне пифагорейской школы, его убили бы на месте. Двумя стами годами позже, когда жил Платон, он уже мог говорить о нем, но очень осторожно. «Это отчасти объяснялось тем, что с додекаэдром связывали пятый элемент — эфир, или прану. В алхимии обычно речь идет только о четырех элементах: огне, земле, воздухе

и воде, а о пране говорится редко, потому что она считается очень сакральной. Другая причина в том, что

в те времена тщательно скрывалось древнее знание, согласно которому додекаэдр близок к внешнему краю энергетического поля человека и является высшей формой сознания... Додекаэдр — это конечная точка геометрии, и он очень важен. На микроскопическом уровне додекаэдр и икосаэдр — это взаимосвязанные параметры ДНК, план - карта всей жизни»

Икосаэдр.

• Если соединить центры граней додека-эдра прямыми линиями, то получится икосаэдр. Соединив центры граней икосаэдра, снова получим додекаэдр. Многие многогранники имеют «двойни-ков». Вообще многогранник — одна из трехмерных геометрических фигур. Во все времена им предавали магическое значение.

Историческая справка.

Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы , в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. 

Большое значение в этих  школах приобретают рассуждения, с  помощью которых удалось получать новые геометрические свойства. 

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.

Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый   или звездчатый пятиугольник.

Пентаграмма , на языке математики - это правильный

невыпуклый или   звездчатый пятиугольник.

  Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех  основных элементов:  огня, земли, воздуха и воды. Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.

огонь

тетраэдр

земля

куб (гексаэдр)

воздух

октаэдр

вода

икосаэдр

вселенная

додекаэдр

Леонард Эйлер (1707 – 1783 гг.) немецкий математик и физик

Эйлер родился в швейцарском городе Базеле в 1707 году.

Начальное обучение будущий ученый прошел дома под

руководством отца, учившегося некогда математике у

Якоба Бернулли. В 13 лет Эйлер поступил на факультет

искусств Базельского университета.

Среди других предметов на этом факультете изучались

элементарная математика и астрономия, которые препо-

давал Иоганн Бернулли. Вскоре Бернулли заметил талант

юного слушателя и начал заниматься с ним отдельно. Так

как в то время не существовало учебников по математике, вместе разбирать

прочитанное. «Несомненно, это лучший способ делать успехи в математичес-

ких науках, – писал Эйлер впоследствии. После разъяснения одной трудности

десятки других исчезали

Теорема Эйлера.

Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его рёбер и Г - число граней. Тогда верно равенство В-Р+Г=2.

Число = В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранни-ка. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта харак-теристика равна 2. То что эйлерова характеристика равна 2 для некоторых знакомых нам многогранников, видно из таблицы.

Многогранник

Число

Тетраэдр

вершин

Куб

4

Число

ребер

Число

8

6

Октаэдр

граней

Додекаэдр

4

12

6

6

20

Икосаэдр

12

2

n-угольная пирамида

30

2

12

8

n+1

12

n-угольная призма

2

30

20

2n

2n

2

n+1

2

3n

2

n+2

2

Правильные многогранники

в природе и исскустве.

кристаллы

живопись

архитектура

вирусы

пчелинные соты

оригами

«Правильные многогранники и природа»

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии ( Circjgjnia icosahtdra ) по форме напоминает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Чтобы установить его форму, брали разные многогранники, направляли их на свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

Часто люди, рассматривали чудесные, переливающиеся многогранники кристалов, не могут поверить, что их создала природа, а не человек. Именно поэтому родилось так много удивительных сказаний о кристаллах. Сохранились письменные материалы, например, так называемый «папирус Эберса», который содержит описание методов лечения камнями с особыми ритуалами и заклинаниями. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим

широко пользуется куба, кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напомина

ют отточенный с двух сторон карандаш, т.е. форму шестиугольной призмы, на основании которой поставлены шестиугольные пирамиды. Алмаз чаще всего встречается в форме октаэдра, иногда куба и даже кубооктаэдра. Исландский шпат, который раздваивает изображение, имеет форму косого параллелепи педа. Гранат – ромбододекаэдр (двенадцатигранник), у которого все грани –.

Использование многогранников в архитектуре

От простого наклонного остекле-

ния в форме односкатной или

двускатной крыши до крыш с

более сложной геометрией типа

многогранников,куполов или

пирамид.

Великая пирамида в Гизе . Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.

Во всем облике японского строения очевидна идея преобразования пространства, подчинения его новой логике - логике "завоевания" природ ного ландшафта, которому противо поставлена четкая геометрия проникающих архитектурных форм.

Геометрическая конструкция,

которую построил солнцеед,

целитель и строитель пирамид

Николай Николаевич Долгорукий

Многогранники в живописи

Сальвадор Дали -обращение к правильному многограннику-додекаэдру. Форму додекаэдра по мнению древних и имела  ВСЕЛЕННАЯ , т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности  правильного додекаэдра.

Перед вами изображение картины художника Сальвадора Дали "Тайная Вечеря". Это огромное полотно, в котором художник решил посоревноваться с Леонардо да Винчи. Обратите внимание,  что изображено на переднем плане картины? Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Знаменитый художник,

увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) ,

в известной гравюре

''Меланхолия ''.

На переднем плане изобразил

додекаэдр.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. Архитекторы, художники. Леонардо да  Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.''

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер создал уникальные и очаровательные работы, в которых исполь- зован или показан широкий круг математических идей.

Вот только две из его работ: «Порядок и хаос» и «Звезды».

Оригами.

Оригами - увлекательное занятие не только для детей, но и для

подростков и даже взрослых! В руках каждого бумага оживает:

машет крыльями журавлик, семенит, спускаясь с горки, челове-

Сколько радости, сколько восторга! Ни с чем несравнимо

чувство удовлетворения от выполненной своими руками

поделки. Такая игрушка мила сердцу, с ней разговаривают, ее

Бережно хранят! Прыгающие лягушки, надувные шарики,

Коробочки для всевозможных мелочей, изящно сложенные

салфетки для праздничного стола – мир оригами бесконечен!!!

Бумага – благодатный материал. Ее легк о сгибать резать,

скручивать, можно подкрасить, а если подмочить – возникнет

бумажная скульптура. Метод мокрого складывания дается не

сразу, сначала нужно поупражняться на более простых

фигурках.

Одной из моделей оригами является кусудама. Кусудама – это

яркий многогранник, в котором японцы хранят сухие целебные

травы. Его обычно подвешивают у постели больного .

Развёртки

Тетраэдр

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

Как можно сделать из бумаги?

Плетем куб

• Вырежьте три полоски: белую, чёрную, красную.
• Сложите белую полоску.
• Оберните её чёрной полоской.
• Получим куб, у которого передняя и задняя грани белые, остальные – чёрные.
• Третью полоску (красную) пропустите сзади куба в щель между белой и чёрной полосками, согните и конечные квадраты также пропустите в щель между передней белой гранью и чёрной полоской.

многогранники