Показательная функция с комплексным показателем

Показательная функция с комплексным показателем. Формулы Эйлера

Епихина Е.В., преподаватель математики ГБПОУ МИПК им. И. Федорова

Формула Эйлера

Степень с комплексным показателем показателем определяется равенством

=

Можно доказать, что

=()

т.е.

В частности, при x=0 получается соотношение

,

Которое называется формулой Эйлера.

Комплексные показатели

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями, например, при умножении чисел показатели складываются, при делении – вычитаются, при возведении в степень – перемножаются.

Показательная функция имеет период, равный 2, т.е. В частности, при получается соотношение

Тригонометрическую форму комплексного числа можно заменить показательной формой:

Формулы

Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

Формулы Эйлера

Формула Эйлера устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменив в ней на и на , получим

Складывая и вычитая эти равенства, получим

Эти две простые формулы, также называемые формулы Эйлера и выражающие тригонометрические функции через показательные, позволяют алгебраическим путем получить основные формулы тригонометрии.

Примеры

Найти 1) ; 2) 3)

По формуле получим

1);

2)

3)по формуле получим

Примеры

Представить в показательной форме числа:

1)2)

1) Здесь , , По формуле получим .

2) Здесь По формуле имеем .

Примеры

Представив числа и в показательной форме, вычислить 1); 2); 3); 4).

Для числа имеем: т.е. . Для числа имеем: .

1)По формуле находим

2)По формуле получим

3)По формуле имеем

4.По формуле находим