Основные понятия теории вероятностей в школьном курсе

Занятие № 1

Андрусенко Т.Г.,

учитель математики,

МАОУ «Гимназия № 19», г.Миасс

• раздел математики, изучающий закономерности случайных событий.

Случайное событие - событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе

наблюдения или эксперимента .

Частота события – число, которое показывает, сколько раз произошло

интересующее нас

событие в ходе

наблюдения или

эксперимента .

Относительная частота случайного события

в серии испытаний - это отношение частоты события к общему числу

испытаний.

Если в длинной серии эксперимен-тов со случайными исходами значения относительных час-тот близки к некоторому опреде-ленному числу, то это число принимают за вероятность данного случайного события .

Вероятностью события называется отношение числа благоприятных

для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов.

И обозначают Р(А) , где А –

обозначение интересующего нас

событие.

Благоприятные исходы – это

исходы, при которых происходит интересующее нас событие .

Равновозможные исходы –

это получение того или иного результата при равных возмож-ностях для всех событий.

Из 25 экзаменационных билетов ученик успел подготовить 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет,

который он не подготовил ?

Антон и Игорь бросают белый и чёрный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что если при очередном бросании в сумме выпадает 8 очков, то выигрывает Антон, а если в сумме выпадает 7 очков, то выигрывает Игорь. Можно ли считать, что шансы в этой игре у мальчиков одинаковые ?

Из 16 собранных велосипедов 4 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов ?

В партии из 1000 деталей отдел технического контроля обнаружил 12 нестандартных деталей. Какова относительная частота

появления нестандартных

деталей?

На учениях по стрельбе из винтовки относительная частота поражения цели у некоторого стрелка оказалась равной 0,8. Сколько попаданий в цель можно ожидать от этого стрелка на соревнованиях, если каждый

участник произведёт по 20

выстрелов ?

Многократная проверка показала, что всхожесть семян огурцов определённого сорта равна 0,9. Посадили 85 семян этого сорта. Найдите ожидаемое число проросших семян.

Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным ?

Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадает:

• 1 очко;
• Более трёх очков

Ученик записал в тетради произвольное двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6 ?

В новом доме 93 квартиры, из которых 3 находятся на первом этаже, а 6 – на последнем. Квартиры распределяют по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется

квартира на первом или

последнем этаже?

Андрей и Олег договорились, что если при бросании двух игральных кубиков в сумме выпадает число, кратное 5, то выигрывает Андрей, а если в сумме выпадает число, кратное 6, то выигрывает Олег. Справедлива ли эта игра и если нет, то у кого из мальчиков шансов выиграть больше ?

Спасибо за

внимание!

Занятие 2

Андрусенко Т.Г.,

учитель математики,

МАОУ «Гимназия № 19», г.Миасс

События А и В называются несовместными , если наступление одного из них исключает наступление другого.

Например.

При бросании игрального кубика

А – выпало 3 очка.

В – выпало чётное число.

Пусть в коробке находится 19 шаров: 10 белых, 4 красных и 5 зеленых. Из коробки вынимают один шар. Какова вероятность того, что шар оказался цветным (т. е. красным или зелёным).

Два события называют независимыми , если наступление одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого.

Например. При бросании двух игральных кубиков.

А – выпало четное число на первом

кубике

В – выпало нечетное число

на втором кубике

Пусть в одном из двух ящиков находится 15 деталей, из которых 2 нестандартные, а в другом – 20 деталей, из которых 3 нестандартные. Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся нестандартными ?

События называются противоположными , если наступление одного из них исключает наступление другого.

Например. При бросании игрального кубика.

А – выпало 6 очков

В – не выпало 6 очков.

Сумма вероятностей противоположных событий всегда

равна 1.

В результате многократных наблюдений установили, что вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,9, а другого – 0,8. Каждый из стрелков сделал по одному выстрелу по мишени. Какова вероятность того, что мишень будет

поражена ?

Достоверное событие –

событие, которое при проведении опыта или наблюдения происходит всегда .

Например. Выпадение очка на грани

игрального кубика.

Невозможное событие –

событие, которое не может произойти ни при каком исходе наблюдения или опыта.

Например. При кидании игрального

кубика не может

выпасть 8 очков.

Для украшения ёлки принесли коробку, в которой находится 10 красных, 7 зелёных, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется:

1)красным;

2) зелёным;

3)Красным или зеленым.

Есть 4 карточки: с буквами « o », « m », « c », « n ».

Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли и выложили рядом. Какова вероятность того, что в результате появилось слово « cmon » или слово « nocm »?

В одной партии электролампочек 3% бракованных, а в другой 4% бракованных. Наугад берут по одной лампочке из каждой партии. Какова вероятность того, что обе лампочки окажутся

бракованными ?

На одной полке стоит 12 книг, две из которых – сборники стихов, а на другой – 15 книг, три из которых сборники стихов. Наугад берут по одной книге с каждой полки. Какова вероятность того, что обе книги окажутся сборниками стихов ?

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты ( считая , что клиенты

заходят независимо друг от друга).

Вероятность остановки за смену одного станка , работающего в цехе, равна 0,15, а другого – 0, 16. Какова вероятность того, что оба станка за смену не

остановятся ?

В некоторой настольной игре игрок бросает сразу два кубика и делает столько ходов, какова сумма выпавших очков. Какова

вероятность того, что игрок

сделает менее

10 ходов ?

В вазе 11 гвоздик, из которых 4 красные. В темноте наугад вынимают три гвоздики. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них будет

красной ?

На карточках написаны натуральные числа от 1 до 10 включительно. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад открыли одну карточку. Какова вероятность того, что на

ней будет написано простое число

или число, большее 7 ?

Спасибо за

внимание!

Решение задач

Андрусенко Т.Г.,

учитель математики,

МАОУ «Гимназия № 19», г.Миасс

Антон, Боря, Вова и Гриша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Вова .

В фирме такси в данный момент 20 машин: 4 чёрных, 5 серых, 8 коричневых и 3 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему подъедет коричневое такси.

В чемпионате мира участвуют 24 команды. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по шесть команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1,1,1,1,1,1 ,2,2,2,2,2,2, 3,3,3,3,3,3,

4,4,4,4,4,4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе ?

При игре в техасский покер каждый игрок получает на руки две карты. Известно, что в какой-то момент вероятность получить на руки две карты одинакового достоинства равна 0,17. Найдите вероятность того, что полученные карты будут различного достоинства.

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной и больше 5?

Из 20 билетов, предлагаемых на экзамене, школьник может ответить только на 17. Какова вероятность того, что школьник не сможет ответить на выбранный наугад билет ?

В чемпионате по художественной гимнастике участвуют 20 спортсменок: 6 из России, 5 из Германии, остальные – из Франции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая седьмой, окажется из Франции .

Научная конференция проводиться в 5 дней. Всего запланировано 15 докладов – первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции ?

Из 1 000 собранных на заводе кофемолок 7 штук бракованные. Эксперт проверяет одну наугад выбранную кофемолку из этой тысячи. Найдите вероятность того, что проверяемая кофемолка окажется бракованной.

Завод производит холодильники. В среднем на 100 качественных приходится 15 холодильников со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный холодильник окажется качественным. Результат округлите до сотых.

Перед началом первого турнира чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 16 теннисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе Максим Зайцев. Найдите вероятность, того что в первом турнире Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая команда начнёт игру с мячом. Команда «Изумруд» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Изумруд» выиграет жребий ровно один раз.

Одновременно бросают две игральные кости.

Найдите вероятность того, что в сумме выпадет четыре очка. Результат округлите до сотых.

При изготовлении подшипников диаметром 55 мм. Вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не более, чем на 0,01 мм., равна 0,925. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 54,99 мм., или больше, чем 55,01 мм.

Автоматическая линия изготавливает лампочки. Вероятность того, что готовая лампочка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая лам­почка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забра­кует неисправную лампочку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную лампочку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная лампочка будет забракована системой контроля.

Спасибо за

внимание!