Олимпиада есептері

Құрастырған : Албан Асан Барманбекұлы атындағы орта мектеп-гимназиясының директоры, математика пәнінің мұғалімі, "Шапағат" медалінің иегері, "Ерен еңбегі үшін" медалінің иегері, "Райымбек ауданының құрметті азаматы" атағының иегері Нөкеев Әділжан Қасымханұлы

Оқушыларды өребәйгеге дайындау жолдары

Құрметті, жас талап! Математика әлеміне кіру - ол өмір! Өмірде сан түрлі жұмбағы көп кедергілер кездеседі, ал сен оны тез шешіп, барлық қиыншылықты жеңе білуің қажет! Ол үшін жан-жақты білімді, тез ойланып, шешімін дұрыс қабылдайтын деңгейде болуың керек. Осы ретте саған математика көмектеседі. Сондықтан, өзіңді кішкене кезіңнен бастап ұшқыр, тез ойлай білуге тәрбиеле.

І. Мектеп бағдарламасында натурал санның бөлінгіштік қасиеттері барын білеміз. Әдетте мектеп оқулықтарында натурал санның 2-ге, 3-ке, 5-ке, 6-ға, сонымен қатар 9-ға және 10-ға бөлінушілік қасиеттері үйретіледі. Мысалы, сан 2-ге қалдықсыз бөліну үшін жұп сандармен немесе нөлмен аяқталу қажет, 3-ке қалдықсыз бөліну үшін санның құрамындағы цифрлардың қосындысы 3-ке бөліну керек. Сан қалдықсыз 6-ға бөліну үшін құрамындағы сандардың қосындысы 3-ке бөліну қажет және соңы жұп санмен аяқталу қажет, осы сияқты 18-ге бөліну үшін 6-ға және 3-ге бөліну қажет және 24-ке қалдықсыз бөліну үшін 3-ке және 8-ге бөлінгіштік белгілердің қасиеттерін қарастырса жеткілікті. Ал біз қарастырайын деп отырған бөлінгіштік белгілер: 4-ке, 8-ге, 13-ке т.с.с көп жағдайда ескере бермейтін белгілер.

1. 4-ке бөлінгіштік белгісі: егер берілген санның соңғы екі цифры да нөл немесе осы соңғы екі цифрдан құралған екітаңбалы сан 4-ке бөлінсе, онда бұл сан 4-ке қалдықсыз бөлінеді;

2. 8-ге бөлінгіштік белгісі: егер берілген санның соңғы үш цифры да нөл немесе осы соңғы үш цифрдан құралған үштаңбалы сан 8-ге бөлінсе, онда бұл сан 8-ге қалдықсыз бөлінеді;

3. 13-ке бөлінгіштік белгісі: егер берілген санның соңғы цифрын алып тастағандағы қалған сан мен 4 еселенген соңғы цифрының қосындысы 13-ке бөлінсе, онда бұл сан 13-ке қалдықсыз бөлінеді.

4. 11-ге бөлінгіштік белгісін дәлелде: егер санның жазылуындағы тақ орындағы цифрлардың қосындысы мен жұп орындағы цифрлардың қосындысының айырмасы 0-ге тең немесе 11-ге бөлінетін болса болса, онда берілген сан 11-ге қалдықсыз бөлінеді.

Түсінікті болу үшін осылардың бірнешеуіне тоқтала кетсек:

1. 4-ке бөлінгіштік белгінің дәлелденуі: кез келген белгісіз санды түрінде жазатыны белгілі.

Алдымен берілген санды ондық санау жүйесімен жазайық:

Енді теңдіктің оң жағынан -сін жақша сыртына шығарсақ, мынандай екі қосылғышқа жіктеледі:

алғашқы қосылғыштағы көбейткіші 4-ке бөлінетіндіктен, немесе цифрларынан құралған екітаңбалы сан 4-ке бөлінсе немесе нөл болса, онда берілген санымыз 4-ке қалдықсыз бөлінеді.

2. 8-ге бөлінгіштік белгінің дәлелденуі: 1-ші белгідегідей берілген санды қосылғыштарға жіктеп жазып және теңдіктің оң жағынан -сін ортақ көбейткіш ретінде жақша сыртына шығарсақ, теңдік былай түрленеді:

бұл жайтта да алғашқы қосылғыштағы саны 8-ге бөлінетіндіктен,

немесе цифрларынан құралған үштаңбалы сан 8-ге бөлінсе немесе нөл болса, бұл сан 8-ге қалдықсыз бөлінеді.

3. 13-ке бөлінгіштік белгінің дәлелденуі: Кез келген санынан соңғы мүшесін алып тастап, пайда болған санына 4 санын қосқанда шығатын нәтиженің 13-ке бөлінетінін дәлелдейік. Берілген санды алдыңғы дәлелдеулердегідей ондық санау жүйесімен жазып алсақ:

Дәлелдеуге қажетті санды да осы түрде жазайық:

осы шарт орындалса, берілген санымыз 13-ке қалдықсыз бөлінеді.

. Бұдан 39 саны 13-ке қалдықсыз бөлінеді, дәлелдеу керегі де осы.

4. 11-ге бөлінгіштік белгісін өз беттеріңізше дәлелдеп көріңіздер. Нұсқау: мысалы 11-ге қалдықсыз бөлінетін бірнеше санды қарастырайық, 55, 66, 121,715, 9416 т.с.с. Шарт бойынша тақ орындағы цифрлардың қосындысынан жұп орындағы цифрлардың қосындысын азайтқанда нәтиже нөлге тең болу керек немесе 11-ге бөлінетін сан шығу керек.

ІІ. Егер бүтін санның квадратының соңғы цифрының алдындағы цифры тақ болса, квадратының соңғы цифры қандай болады?

Шешімі: шартты қанағаттандыратын және соңы 6-мен аяқталатын сандар бар. Енді жалпы түрде дәлелдесек:

өрнегіндегі -тан басқасы 10-ға қалдықсыз бөлінеді және соңы кемінде бір нөлмен аяқталады, ал оның алдындағы сан жұп сан. Шартымызды қанағаттандыру үшін -тың алдыңғы цифры тақ сан болу керек(Мұндағы d≥4). Соңғы цифры

4-пен, 6-мен аяқталатын сандар. Олардың квадраттарының соңғы цифрының алдындағы тақ сан болады. Ендеше, соңғы цифрдың алдындағы тақ болса, міндетті түрде 6-мен аяқталады.

ІІІ. Студенттер арасында өткен шахмат турнирына 2 оқушы қатысты. Олар екеуі бірге 6,5 ұпай жинады, ал барлық студенттер теңдей ұпай жинады. Шахмат турниріне неше студент қатысқан? (Турнирде әр қатысушы бір адаммен ойнайды және жеңсе 1 ұпай, тең түссе 0,5 ұпай, ал жеңілсе 0 ұпай)

Шешімі: турнирге x ойыншы қатысты десек, шарт бойынша ойын ойнады және ұпай жинады. Оның ішінде 2 оқушы болғандықтан, студенттердің саны . Ал олардың жинаған ұпайлары . Барлық студенттер тең ұпай жинағандықтан:

болады. Мұндағы натурал сан барлық ұпайдың қосындысы, барлық ойнаған ойын санымен тең.

бұдан екені көрініп тұр. Ендеше студенттер саны 13-211.

Тексерсек: ойын болды және барлық ұпайлар саны да 78. Бұдан

78-6,571,5 студенттер саны 11 екенін ескерсек ұпайдан тиеді. ІV.Тікбұрышты үшбұрыштың жан-жағына шаршылар салынған. Олардың төбелері суретте көрсетілгендей етіп қосылған. Осыдан пайда болған үшбұрыштардың аудандары теңдей болатынын дәлелдеңіз.

Шешуі:

Берілген АВС тікбұрышты үшбұрыштың α сүйір бұрышына тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының синусы мен косинусын өрнектейтін формуланы қолданамыз:

1. , ;

2.

, ,

Жоғарыдан екенін білеміз. Олай болса, , ал

екенін байқау қиын емес.Бұдан:

шығады. Яғни . Дәлелдеу керегі де осы.

V.Қосындысы мен айырымы жай сан болатын екі жай санды табыңдар.

Шешімі: Жай сандар 2-ден басталады, 2,3,5,7,.... Жай сандардың ішінде жұп сан 2 ғана, ал қалғаны тақ сан болады. Сонда, 2-ден басқа жай сандарды қосқанда жұп сан шығады. Алғанда да жұп сан шығады. Себебі, олар тақ сандар. Екі шарт қатар орындалуы үшін біреуі жұп сан болу керек. Ендеше біреуі 2 болуы қажет. Қандай санға 2-ні қосқанда, қандай саннан 2-ні азайтқанда жай сан шығады деп іздеу керек:

2n+1+2=2n+3

2n-2=2n-1

Екеуі де жай сан болу керек.

Бұның біреуі 2-ге тең, сонда 2n-1; 2n+1; 2n+3 жай сандар. Мұндай қатар тұрған жай сандар : 3; 5; 7.

Сонда: 5+2=7, 5-2=3. Жауабы: 5 пен 2.

VІ. Суретте көрсетілген арифметикалық ребусты шешіңіз. Бірдей әріптерге бірдй цифрлар, әр түрлі әріптерге әр түрлі цифрлар сәйкес келеді.

VІІ. Берілген тіктөртбұрышты көлденеңінен 92-ге бөлінетін төрттаңбалы сан жазып, тігінен 92-ге бөлінетін 3 таңбалы сандарды жазып, толтырыңдар.

VІІІ. Е және К нүктелері өздері жатқан қабырғалардың ортасы болатын ABCD параллелограмның қызыл түспен боялған бөлігі сары түспен боялған бөлігінен екі есе үлкен болатынын көрсетіңіз.