Мир тригонометрии

Мир тригонометрии

Общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней №2 отдела образования администрации города Кировское

Учитель математики Чумакова Г.В.

«Великая книга природы может быть прочтена только теми, кто знает язык, на котором она написана, и этот язык – математика.»

Галилео Галилей

(1564 – 1642)

История первая- « Гипатия »

Мир тригонометрии- основные тригонометрические тождества

Мир тригонометрии: основные тригонометрические тождества

Цели урока:

• образовательные - систематизация уже имеющихся знаний по тригонометрии, отработка навыков преобразования тригонометрических выражений
• воспитательные - воспитание самостоятельности, работоспособности, способности к сотрудничеству, воспитание патриотизма
• развивающие - развитие коммуникативных способностей, навыков сотрудничества, повышение интеллектуального уровня, кругозора, повышение мотивации к изучению математики

Задачи урока:

• - знакомство учащихся с историей математики
• -повторение ранее изученного материала по тригонометрии
• -повторение формул тригонометрии
• - отработка навыка преобразования тригонометрических выражений с помощью основных тригонометрических формул

Актуализация опорных знаний:

• Сформулируйте определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, косинуса и тангенса .
• Найдите синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, противолежащий катет которого равен 8 , а гипотенуза равна 10 .
• Назовите знаки тригонометрических функций по четвертям. 
• Что такое 1 радиан?

Актуализация опорных знаний:

• Перевести:
• в радианы 30°,45°,60°,90,270°,-720°

• в градусы  π, π/3, π/2, -3π, π/18

Может ли синус быть равным

• 0,75; 5/3; -0,35; 0; √3 - 2 ?

Переход от градусной меры углов к радианной Переход от радианной меры углов к градусной  

Вариант №1

• 1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: --45, 60
• 2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: п/6

Вариант №2

• Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: -1080 , 390
• 2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: п/10

Вариант №3

• 1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: 40, 1200
• 2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: 5.

Зачем нам нужна тригонометрия

950

а

х

Тригономе́трия

• (от греч. τρίγονο (треугольник ) и греч. μετρειν ( измерять ), то есть измерение треугольников ) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

Тригонометрия – слово греческое и в переводе означает «измерение треугольников». Возникновение тригонометрии связано с измерениями на земле, строительным делом, астрономией. А первое знакомство с ней произошло тогда, когда вы взяли в руки транспортир.

9

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд.

Леонард Эйлер (1707 – 1783)

Иоганн Бернулли (1642-1727 )

Разделы тригонометрии

• Тригонометрия делится на плоскую, или прямолинейную, и сферическую тригонометрию .
• Теория тригонометрических функций (гониометрия) и её приложения к решению плоских прямоугольных и косоугольных треугольников мы с вами изучаем в средней школе

Основные формулы плоской тригонометрии

Теорема синусов:

Теорема косинусов:

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Дугу он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin( 90° - a)).

9

Теорема тангенсов:

Площадь треугольника:

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

9

Сферическая тригонометрия, являющаяся частью сферической геометрии, рассматривает соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов на сфере.

Исторически сферическая тригонометрия и геометрия возникли из потребностей астрономии, геодезии, навигации, картографии. Подумайте, какое из этих направлений в последние годы получило столь бурное развитие, что его результат уже применяется в современных коммуникаторах. … Современное применение навигации – это система спутниковой навигации, которая позволяет определить местоположение и скорость объекта по сигналу его приемника.

9

При каждом сокращении сердца по всему организму – начиная от синусного узла – распространяется электрический ток. Его можно зарегистрировать с помощью электрокардиографа. Он вычерчивает электрокардиограмму (синусоиду).

Давайте прислушаемся к биению своего сердца. Сердце – самостоятельный орган. Головной мозг управляет любой нашей мышцей, кроме сердечной. У нее есть собственный центр управления – синусный узел. При каждом сокращении сердца по всему организму – начиная от синусного узла (размером с просяное зерно)– распространяется электрический ток. Его можно зарегистрировать с помощью электрокардиографа. Он вычерчивает электрокардиограмму (синусоиду)

9

Сложение гармоник дает колебание более сложной формы, а естественные, природные звуки и звуки музыкальных инструментов складываются из большого количества гармоник.

Теперь поговорим о музыке. Математика – это музыка, это союз ума и красоты.  Музыка – это математика по вычислениям, алгебра по абстрагированию, тригонометрия по красоте. Гармоническое колебание (гармоника) – это синусоидальное колебание.

9

Почему летом теплее, чем зимой?

• Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты
• Зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом в моменты наивысшего подъёма над горизонтом солнце приближается к зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара.
• ПОТОК ЭНЕРГИИ, ИДУЩЕЙ ОТ Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных лучей она по-разному распределяется по земной поверхности. Больше всего её приходится на заданный участок поверхности при отвесном падении света. Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше их приходится на тот же участок.

Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты

Именно эту зависимость применяет курортник, загорающий под солнцем юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы солнечные лучи как можно менее отклонялись от перпендикуляра к плоскости топчана.

9

Сферы

применения

• Астрономия
• Геодезия
• Картография
• Механика
• Оптика
• Акустика

• Строительство
• Архитектура
• Дизайн
• Навигация
• Медицина
• Музыка
• Спорт

ТРИГОНОМЕТРИЯ

9

Формулы приведения

y

π/2+t π/2 π/2-t

1). Определить четверть

π – t 2π+t 2).Определить знак функции

π х 3).От ОХ – не меняем на кофункцию

2π-t

π+t От ОУ – меняем на ко функцию.

3π/2+t

3π/2-t 3π/2

История вторая- « ЭЙЛЕР »

Тест

1 вариант 

2 вариант

Упростить выражение:

7 cos 2 а +7sin 2 а - 5

а) 1+cos 2 а; б) 2; в) –12; г) 12

2) Упростить выражение:

5 – 4 sin 2 а - 4cos 2 а

а) 1; б) 9; в) 1+8sin 2 а; г) 1+cos 2 а.

3) Упростить выражение:

(1 – cos 2 а): cos 2 а – tg 2 а

а) ctg 2 а; б) 0; в) ctg 2 а - tg 2 а; г) 2tg 2 а

4) Упростить выражение

cos 4 х + sin 2 х·cos 2 х

а) cos 2 x; б) 2sin 2 х; в)- cos 2 х; г) cos 4 х

• Упростить выражение

9 cos 2 а+ 9sin 2 а - 10

а) -1 б) 0 в) sin 2 а г) 10

2) Упростить выражени

8 – 3 sin 2 а - 3cos 2 а

а)1+ sin 2 а б) cos 2 а-1 в) 1 г) 5

3) Упростить выражение:

  (1 –sin 2 а): sin 2 а– сtg 2 а

а) sin 2 а ; б) 0; в) 2сtg 2 а г) sin 2 а

4) Упростить выражение

  sin 4 х + sin 2 х·cos 2 х

а) sin 4 х б) 2sin 2 х в) sin 2 x г) cos 2 x

Тригонометрия –

это просто и понятно !

Ответы:

Вариант 1: 1а, 2г, 3б, 4в Вариант 2: 1б, 2а, 3б, 4а

0 . Значит, sin t= sin²t=1 - 0,16 , 2 2 sin²t=0,84, Т.К. tЄ2ч, то sin t 0 .С В Ответ: sint= + sint = Ответ: ." width="640"

Работа с формулами. Подготовка к экзаменам

Дано cost=0,4; 90°

Найти : sint

Решение:

1 способ . 2 способ . cos = 2/5 ; СВ=

1)sin²t + cos²t=1, А

sin²t=1 - cos²t, 5 Т.К. t Є 2 ч, то sin t 0 .

Значит, sin t=

sin²t=1 - 0,16 , 2 2

sin²t=0,84,

Т.К. tЄ2ч, то sin t 0 .С В

Ответ:

sint= +

sint =

Ответ: .

Групповая работа

1 ГРУППА.

В треугольнике АВС АС = ВС = 5, . Найдите АВ.

Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

3 ГРУППА.

В треугольнике АВС угол С равен 90  ,

Найдите

Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

2 ГРУППА.

1)В треугольнике АВС угол С равен 90  , угол А равен 60  , АВ = 8. Найдите АС.

Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке

Это интересно!

Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони. Протяните руку (любую) и разведите как можно сильнее пальцы (как на плакате). Приглашается один ученик. Мы измеряем углы между нашими пальцами.

Берется треугольник, где есть угол в 30, 45 и 60 90 и прикладываем вершину угла к бугру Луны на ладони. Бугор Луны находится на пересечении продолжений мизинца и большого пальца. Одну сторону совмещаем с мизинцем, а другую сторону – с одним из остальных пальцев.

Оказывается между мизинцем и большим пальцем угол 90, между мизинцем и безымянным – 30, между мизинцем и средним – 45, между мизинцем и указательным – 60. И это у всех людей без исключения.

Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, т.е. 0.

Введем нумерацию пальцев:

мизинец № 0 – соответствует 0,

безымянный № 1 – соответствует 30,

средний № 2 – соответствует 45,

указательный № 3 – соответствует 60,

большой № 4 – соответствует 90.

9

История третья- « АРХИМЕД »

Подведение итогов урока:

Сегодня на уроке

я повторил …

Сегодня на уроке

я научился …

Мне необходимо

еще поработать над …

Сегодня на уроке мне понравилось…

 

Домашнее задание

Проверь себя

Найти ширину

реки.

х

а



Башня

Измерить высоту.

a



h

Источники информации:

 

• http://laila50.livejournal.com/111671.html
• http://blogs.mail.ru/mail/kareglazka_liana/726E0A12FACCD455.html
• http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/Archimedes_and_the_burning_mirrors.html
• http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/ARHIMED.html?page=0,3
• http://kid-mathematics.narod.ru/eiler.htm
• http://flotprom.ru/publications/history/slava/eiler/
• Н.И. Кованцов «Математика и романтика»