Аркфункции.

Обратные тригонометрические функции.

• 1.Обратная функция. График обратной функции.
• 2.Свойства и графики обратных тригонометрических функций.
• 3.Примеры решения задач с обратными тригонометрическими функциями.
• 4. Упражнения.
• 5. Тест.

• Сравним две функции

y= f (x) и y= g (x) . Обе они определены на отрезке [a ;b] и имеют областью своих значений отрезок

[c ;d] .Первая функция обладает следующим свойством: для любого y 0 из отрезка [ с; d] есть только одно значение x 0 из отрезка [a ; b] , такое, что

f (x 0 ) =y 0 ...

• Любая горизонтальная прямая , пересекающая ось у между точками c и d, пересекает график первой функции только в одной точке.

Вторая функция этим свойством не обладает.

• Например, для значения y 1 прямая y=y 1 пересекает график функции

y= g (x) в трех точках.

• Значит, в первом случае при каждом фиксированном y 0 из отрезка [c ; d] уравнение

f (x)=y 0 имеет только один корень х 0 , а во втором случае при некоторых у, например, при у=у 1 уравнение g (x)=y 1 имеет более одного корня.

Определение обратимой функции.

• Если функция y=f (x) такова, что для любого её значения у 0 уравнение f (x)=y 0 имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима .
• Если функция y=f (x) обратима, то, выразив х из формулы y=f ( x ) и поменяв затем х и у местами, получим обратную функцию.
• Если функция y=f (x) определена и возрастает

( или убывает) на промежутке X и областью её значений является промежуток Y , то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на Y .

• Пример . Доказать, что у функции у=2х-1 есть обратная, и найти её.
• Решение . Функция у=2х-1 возрастает на всей числовой прямой, значит, у неё есть обратная функция. Выразим х:

х=0,5 (у+1).Поменяем х и у местами : у=0,5(х+1). Это и есть искомая обратная функция.

Графики взаимно обратных функций.

• Если точка (х; у) принадлежит графику функции y=f (x) , то точка (у; х) принадлежит графику обратной функции.
• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.

График функции y=arcsin x .

• Функция y=sin x возрастает на [ - π /2;π /2] , и принимает на нем все свои значения от -1 до 1. Значит, для функции y=sin x ,

- π/2 ≤ x ≤ π/2, существует обратная функция

y= arcsin x .

• График функции y= arcsin x может быть получен из графика функции y=sin x ,

-π/2 ≤ х ≤ π/2, с помощью преобразования симметрии последнего относительно прямой у = х.

Свойства функции y = arcsin x .

• 1)Область определения-
• [-1;1].
• 2 ) Область значений-

[- π /2; π /2].

3)Функция нечетная:

arcsin (-x)=-arcsin (x).

4) Функция возрастающая.

5)Справедливы тождества:

sin (arcsin y)=y, -1 ≤ y ≤ 1;

arcsin (sin x)=x, -π/2 ≤ x ≤ π/2.

График функции y = arccos x.

• Функция y= cos x убывает на отрезке [0; π ] ,принимает на нем все значения от -1 до 1.
• Значит, для функции y=cos x, рассматриваемой на отрезке

[0; π ], существует обратная функция. Это функция

y = arccos x.

График функции y= arccos x

получается из графика функции y=cos x, 0 ≤ x ≤ π, с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х.

Свойства функции y= arccos x.

• 1) Область определения-

[-1;1].

• 2) Область значений- [0; π ].
• 3) Функция не является ни четной, ни нечетной.
• 4)Функция убывающая.
• 5)Справедливы тождества:

cos (arccos y) =y, -1 ≤ y ≤ 1;

arccos (cos x) = x, 0 ≤ x ≤ π ;

arccos (-x) = π – arccos x.

• Для любого х, удовлетворяющего неравенствам -1 ≤ х ≤ 1, справедливо тождество

arcsin x + arccos x = π /2.

График функции y = arctg x.

• Функция y= tg x возрастает на интервале (-π/2; π/2), принимает на нем все свои значения. Поэтому на этом интервале для функции y= tg x существует обратная функция. Она обозначается

y= arctg x.

• График функции y=arctg x получается из графика функции y= tg x ,

- π /2

Свойства функции y = arctg x.

• 1) Область определения – R.
• 2) Область значений –

(-π/2; π/2).

• 3) Функция нечетная:

arctg (-x) = - arctg x.

4) Функция возрастающая.

5) Справедливы тождества:

tg (arctg y) = y , y - любое ;

arctg (tg x) = x,

- π /2 ≤ x ≤π/2.

График функции y = arcctg x.

• Функция y = ctg x убывает на интервале

(0; π), принимает на нем все свои значения. Значит, на этом интервале для функции y=ctgx существует обратная функция. Она обозначается

y= arcctg x.

• График функции y=arcctg x

получается из графика функции y=ctg x, 0

Свойства функции y = arcctg x.

• 1) Область определения – R.
• 2) Область значений –

(0; π).

• 3) Функция не является ни четной, ни нечетной.
• 4) Функция убывающая.
• 5) Справедливы тождества:
• ctg (arcctg y) = y, y – любое;
• arcctg (ctg x) = x, 0
• arcctg (-x) = π - arcctg x;
• arctg x + arcctg x = π /2.

0, то α-угол первой четверти. Cos α = √ (1- sin 2 α) =√(1-4/9) = (√5)/3, tg α =2/√5." width="640"

Примеры решения задач с аркфункциями.

• Пример 1. Найти значение выражения

arcsin ( sin 3).

• Решение. Arcsin (sin 3) = arcsin (sin ( π -3)) = π -3.
• Пример 2. Найти значение выражения

tg (arcsin 2/3 ).

• Решение. Обозначим arcsin 2/3 = α . Эта запись означает, что

– π/2 ≤ α ≤ π/2 и sin α =2/3. Найдем tg α .

Т. к. sin α 0, то α-угол первой четверти.

Cos α = √ (1- sin 2 α) =√(1-4/9) = (√5)/3, tg α =2/√5.

Упражнения 1.

• Вычислить.

1) sin (arcsin π /6); 2) arcsin (sin π /6);

3) sin arcsin sin π /6; 4) sin (2 arctg 3);

5) cos (arcsin 1/3); 6) tg (arccos 3/5);

7) sin (3 π /2 – 2 arctg 4/3);

8) cos ( π /2 -2 arcctg 2/5);

9) arcsin (- sin (7 π /3));

10) cos (2/3 ( arccos x + arcsin x));

11) arcsin ( sin π /3) + arcsin (- √ 3/2);

12) tg 2 ( arccos (-1/4));

13) tg 2 ( 5 arctg √ 3/3 – 0,25 arcsin √ 3/2).

Упражнения 2 .

• Сравнить .

1) arcsin (0,4) и arcsin ( ½);

2) arccos ( π /4) и arccos (0,6);

3) arctg √ 5 и arctg 2;

4) arcctg 6 и arcctg √ 31.

• Найти область определения функции.

1) y = arcsin 2x; 2) arccos (x 2 - 4x + 4);

3) y = arccos ((2x – 1)/x);

4) y = arcsin ( (x 2 – 1)/(x + 2)).

• Построить график функции.

1) y = sin ( arcsin (1/x)); 2) y = cos ( arccos x 2 ).

• 1) Вычислить sin (arctg (-1/7)).

1)- ( √ 7)/14; 2) – ( √ 2)/12; 3) – ( √ 7)/28;

4) – ( √ 2)/10; 5) – (√7)/21.

2) Вычислить sin (2 arccos(-1/4)).

1) –(√13)/8; 2) –(√14)/8; 3) –(√15)/8;

4) –(√17)/8; 5) –(√19)/8.

3) Вычислить sin ( arcctg (-1/6)).

1) (4 √ 37)/37; 2) –(6 √ 35)/35; 3) (5 √ 37)/37;

4) –(5 √35)/37; 5) (6√37)/37.

4) Вычислить cos (arctg (-1/3)).

1) ( √ 10)/5; 2) (3 √ 10)/10; 3) ( √ 10)/10;

4) ( √ 10)/4; 5) ( √ 10)/20.

5) Вычислить tg ( arcsin (1/7)).

1) (5 √ 3)/8; 2) ( √ 3)/4; 3) ( √ 3)/9; 4) (√3)12; 5) (√3)/8.

• 6) Вычислить cos (arcsin 1 + arccos (3/5)).

1) -4/5; 2) 4/5; 3) -3/5; 4) 3/5; 5) -2/5.

• 7) Вычислить

sin ( arctg ((√3)/3) – arcsin (4/5) ).

1) (3 -4√3)/10; 2) (3+4√3)/10; 3) (4√3 -3)/10;

4) (3-√3)/10; 5) (3+√3)/10.

• 8) Вычислить arcsin (sin (-2 π /3) ).

1) -2 π /3; 2) – π /3; 3) π/3; 4) 2π/3.

• 9) Вычислить arccos (- cos (3π/4) ).

1) -3π/4; 2) –π/4; 3) π/4; 4) 3π/4.

• 10) Упростить cos (2 (arctg x + arcctg x)/3 ).

1) ½; 2) (√3)/2; 3) 0; 4)1.