Рабочая программа факультативного курса по математике "Математическая логика"

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

факультативного курса

по математике

«Математическая логика на английском языке»

в 8 классе

на 2016-2017 учебный год

Составитель: Шапихова З.С.

Учитель математики

с. Ефремовка

Пояснительная записка

Программа  предназначена  для  проведения  факультативного  курса в  8 классе. Программа  разработана  в  рамках  внедрения  программы  полиязычия  в Казахстане. Может  быть использована   как в  общеобразовательной  школе. так  и  в  спецеализированных школах и гимназиях  с  углубленным  изучением английского  языка.

Цель факультатива состоит в том, что он направлен на расширение и углубление знаний учащихся по математике и английского языка, развитие их теоретического мышления и логической культуры, знакомство с приемами и способами решения задач повышенной сложности.

Новизна факультативного занятия заключается в том, что программа включает новые для учащихся задачи, которые обеспечат более осознанное восприятие учебного материала. Творческие задания позволяют решать поставленные задачи и вызвать интерес у учащихся 8 класа. Включенные в программу задания позволяют повышать образовательный уровень всех учащихся, так как каждый сможет работать в зоне своего ближайшего развития.

Отличительные особенности данного факультативного занятия в том, что предлагаемый материал для учащихся излагается доступно, происходит планомерное развитие их интереса к предмету. Сложность задач нарастает постепенно. Приступая к решению более сложных задач, рассматриваются вначале простые, входящие как составная часть в решение трудных. Развитию интереса способствуют математические игры, викторины, проблемные задания и т.д.

Программа ориентирована на учащихся 8 классов, которым интересна как сама математика, так и процесс познания нового.

Факультативные занятия рассчитаны на 1 час в неделю, в общей сложности –34 ч в учебный год.

Преподавание факультатива строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Факультативные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал и работать над ликвидацией пробелов знаний учащихся, и внедрять принцип опережения.

Предлагаемая программа систематизирует знания по данной теме, ориентирует учащихся  на дальнейшее обучение по математическому профилю.

Ожидаемые результаты освоения программы:

В ходе освоения содержания программы факультативных занятий «Математическая логика» ожидаются: 1. Развитие общеучебных умений, навыков и способов познавательной деятельности школьников; 2. Освоение учащимися на более высоком уровне общих операций логического мышления: анализ, синтез, сравнение, обобщение, систематизация и др., в результате решения ими соответствующих задач и упражнений, дополняющих основной материал курса; 3. Повышение уровня математического развития школьников в результате углубления и систематизации их знаний по основному курсу; 4. Формирование устойчивого интереса школьников к предмету в ходе получения ими дополнительной информации, основанной на последних достижениях математической науки и педагогической дидактики.

В результате изучения на факультативе учащиеся научатся:

1. Применять полученные математические знания в решении жизненных задач.

2. Закрепить навык индивидуальной работы, работы в группах и парах сменного состава.

3. Использовать дополнительную математическую литературу с целью углубления материала, расширения кругозора, формирования мировоззрения, раскрытия прикладных аспектов математики.

4. Планировать свою работу; последовательно, лаконично, доказательно вести рассуждения; фиксировать в тетради информацию, используя различные способы записи.

Календарно-тематическое планирование

Содержание программы.

Проценты. Определение процента. Нахождение части от числа и числа по его части. Процент как часть от числа, разные способы нахождения. Процентное содержание. Задачи повышенной трудности на проценты. (3 часа.)

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: определение процента. Учащиеся должны уметь: находить процент от числа, находить часть от числа и число по его части, уметь выражать процент десятичной дробью и наоборот, находить число по его проценту, составлять текстовое описание при решении задач на проценты, при составлении уравнения, уметь решать задачи на процентное содержание вещества в растворе (это очень пригодится для успешного изучения химии, которая начинается в 8-м классе), уметь решать задачи на влажность и о сплавах. Подобные задания часто встречаются на олимпиадах по математике для 8-го класса.

Неравенство треугольника. Неравенство треугольника. Необходимое и достаточное условие существования треугольника с заданными сторонами. Следствие из неравенства треугольника. Медианы треугольника. Неравенства о сумме медиан треугольника. Доказательство закона отражения в оптике с помощью неравенства треугольника. Решение задач повышенной трудности с использованием неравенства треугольника. (3 ч.).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: неравенство треугольника, его следствие, необходимое и достаточное условие существования треугольника с заданными сторонами. Учащиеся должны уметь: решать геометрические задачи средствами алгебры, составляя и решая уравнения, отбрасывая неверный ответ, проверив неравенство треугольника; уметь доказывать равенства и неравенства с помощью неравенства треугольника, уметь выбирать пути применения неравенства треугольника для успешного доказательства неравенств, уметь высказывать гипотезу, уметь строить контрпримеры для опровержения ложных утверждений.

Треугольники и многоугольники. Теорема о сумме углов треугольника на плоскости. Сумма углов треугольника на конусе с вершиной конуса внутри треугольника. Положительная и отрицательная кривизна конуса. Сумма углов треугольника на сфере. Сумма углов выпуклого многоугольника. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника. Интегральная кривизна ломанных и гладких кривых. Применение интегральной кривизны для вывода формулы суммы острых углов звёздчатого многоугольника. Теорема о внешних углах треугольника. Признаки равенства треугольника. Свойства равнобедренного и прямоугольного треугольника. Медиана. Доказательство равенств и неравенств о медианах.(4 ч.).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать теоремы о сумме углов треугольника на плоскости и на конусе, теоремы о сумме внутренних и о сумме внешних углов выпуклого многоугольника, теорему о внешних углах треугольника, признаки равенства треугольника, свойства равнобедренного треугольника, понятие интегральной кривизны ломанной и гладкой кривой, методы нахождения интегральной кривизны, признаки подобия треугольников. Учащиеся должны уметь: применять нужную теорему для решения задач на доказательство, уметь пользоваться уже доказанными утверждениями, уметь проводить доказательства от противного, пользуясь теоремой о сумме углов треугольника на плоскости, уметь вычислять интегральную кривизну и находить сумму острых углов звёздчатого многоугольника, применять признаки подобия треугольников именно там, где это необходимо, доказывать нестандартные равенства и неравенства.

Целочисленные уравнения.

Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Свойства взаимно простых чисел. Теоремы о наибольшем общем делителе. Геометрический смысл Наибольшего общего делителя. Простые числа. Спираль Улама. Методы решения линейных уравнений в целых числах. Необходимое и достаточное условие существования целых решений линейных уравнений. (3 ч.).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: определение наибольшего общего делителя, определения простого числа и взаимно простых чисел, необходимое и достаточное условие существования целочисленных решений линейных уравнений. Учащиеся должны уметь: находить наибольший общий делитель разными способами, уметь выбирать наилучший способ, уметь определять, существует ли решение линейного уравнения в целых числах, уметь решать линейные уравнения в целых числах наиболее рациональным способом. Уметь решать текстовые задачи, приводящие к линейным уравнениям с целыми решениями.

Логика. Принцип Дирихле.

Элементы математической логики. Высказывания. Кванторы всеобщности и существования. Операции над высказываниями. Теорема де Моргана. Метод доказательства от противного. Применение принципа Дирихле в геометрии, алгебре, арифметике. (3 ч.).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: суть метода доказательства от противного, в чём заключается принцип Дирихле. Учащиеся должны уметь в каждой задаче определять, что в ней «клетки», а что «зайцы», в каждой задаче уметь строить «клетки» и размещая в них «зайцев», делать правильные выводы.

Метод математической индукции

Индукция и дедукция. Аксиомы Пеано. Метод математической индукции. Обобщённый метод математической индукции. «Парадоксы» метода. (2 ч.).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: суть метода математической индукции. Учащиеся должны уметь доказывать методом математической индукции несколько классов утверждений: делимость, тождества, неравенства, уметь доказывать утверждения текстовых задач, уметь обнаруживать ошибки в рассуждениях с применением метода математической индукции. Уметь определять, какой метод надо применять: метод математической индукции или принцип Дирихле.

Делимость целых чисел

Делимость суммы, разности и произведения. Деление с остатком. Определение сравнимости по модулю. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности и фактор-множества. Теорема о суммах цифр. Деление многочленов уголком. Применение принципа Дирихле для доказательства утверждений о делимости. Признаки делимости на 3, на 9, на 2, 4, 8, 5, 10, 11. Признаки делимости на простые числа. Задачи повышенной сложности о суммах цифр и делимости. (5 ч.).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: понятие сравнимости чисел по модулю, понятие отношения эквивалентности, класса эквивалентности и фактор-множества, теорему о суммах цифр, признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 8, 10, 11. Учащиеся должны уметь проверять, является ли данное отношение отношением эквивалентности, по заданному отношению эквивалентности представлять устройство классов эквивалентности и структуру фактор-множества, выводить самостоятельно признаки делимости на простые числа 17, 19, и т. д., уметь применять признаки делимости и теорему о суммах цифр для решения нестандартных задач.

Тождественные преобразования

Комбинаторика. Факториал. Размещения, сочетания, выборка с возвращением и без возвращения. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона, его доказательство. Числовое выражение. Равенство. Разложение на множители. Формулы сокращённого умножения. Формулы , . Упрощение выражений. Метод выделения полного квадрата. Избавление от иррациональности в знаменателе дроби. (5 ч.).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: понятие тождества, формулы перестановок, размещений, сочетаний, формулы сокращённого умножения, формулы , , бином Ньютона. Учащиеся должны уметь решать несложные комбинаторные задачи, строить треугольник Паскаля до любого этажа, записывать формулу бинома Ньютона для любой натуральной степени, применять формулы сокращённого умножения для доказательства тождеств и для упрощения выражений, уметь выделять полный квадрат, избавляться от иррациональности в знаменателе.

Теорема Виета

Понятие комплексного числа. Основная теорема алгебры. Теорема Виета для квадратного трёхчлена. Теорема Виета для уравнения произвольной степени (доказательство). Нахождение целых корней уравнений с помощью теоремы Виета. Нахождение рациональных корней многочлена, теорема о рациональных корнях многочлена. Доказательство иррациональности . Решение уравнения на компьютере: метод дихотомии (половинного деления). (3 ч.).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать основную теорему алгебры, теорему Виета для квадратного трёхчлена и для многочлена произвольной степени, теорему о рациональных корнях многочлена. Учащиеся должны уметь определять число коней многочлена, применять теорему Виета и теорему о рациональных корнях многочлена для нахождения рациональных корней, доказывать иррациональность чисел вида , .

Модули

Определение модуля. Свойства модуля. Системы уравнений (неравенств), совокупности уравнений (неравенств), равносильность. Приёмы решения уравнений с модулями. Модуль как расстояние. Метод интервалов. Решение уравнений и неравенств с модулем в общем случае. Уравнения и неравенства с вложенными модулями. (3 ч.).

Предполагаемые результаты. Учащиеся должны знать: определение модуля, свойства модуля, методы решения систем и совокупностей линейных уравнений и неравенств. Учащиеся должны уметь решать неравенства методом интервалов, решать уравнения и неравенства с модулем, пользуясь модулем как расстоянием, уметь заменить уравнение или неравенство с модулями равносильной совокупностью систем уравнений и неравенств, уметь решать эти совокупности и неравенства, грамотно записывать ответ и делать проверку. Уметь решать уравнения и неравенства с вложенными модулями.

Список литературы.

1. Программы. Факультативные курсы. Сборник № 2. М., «Просвещение», 1990 г.

2. Галочкин А. И. «Числа и многочлены». Методические указания для учащихся. М., Московский университет, 1988 г.

3. Иванова Е. Ю. «Планиметрия». Методические разработки для учащихся. М., Московский университет, 1996 г.

4. Иванова Е. Ю. «Проценты». Методические разработки для учащихся. М., Московский университет, 1997 г.

5. Семёнов В. И. «Некоторые методические и методологические аспекты углубленного изучения математики». Кемерово, 1998 г.

6. Фоминых Ю. Ф. «Диофантовы уравнения». Журнал Математика в школе, № 6, 1996 г.

7. Фоминых Ю. Ф. «Принцип Дирихле». Журнал Математика в школе, № 3, 1996 г