Программа дистанционного курса по математике "Координаты и векторы"

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края

«Крымский индустриально-строительный техникум»

ПРОГРАММА ДИСТАНЦИОННОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ 1 КУРСА.

Раздел «Координаты и векторы»

Разработчик А. Ю. Демина, преподаватель математики

ГБПОУ КК КИСТ

2015

Программа дистанционного курса по математике для 1 курса.

Раздел «Координаты и векторы»

Пояснительная записка.

Дистанционный курс предназначен для обучающихся 1 курса, изучающих математику на базовом уровне. Изучение раздела «Координаты и векторы». Курс рассчитан на 10 занятий по 1 часу.

Цели курса:

- организация дистанционного обучения математике;

- повышение мотивации получения знаний обучающимися;

- широкий кругозор, творческий потенциал и активная жизненная позиция обучающихся;

- сотрудничество и сотворчество обучающихся и преподавателя;

- копилка педагогического опыта, профессиональный диалог педагогов.

Участники:

- обучающиеся 1 курса;

- преподаватель математики.

В связи с быстрым развитием науки и общества возрастает значение формирования научной картины мира, которая должна быть у каждого человека, независимо от сферы его деятельности. Наука постоянно развивается, и ее достижения внедряются в различные сферы нашей жизни. Поэтому знания основ науки и способов деятельности необходимы для успешной адаптации личности к изменяющимся условиям.

Данный курс способствует:

 оказанию действенной помощи детям-инвалидам, тем обучающимся, которые находятся на домашнем обучении или по болезни вынуждены пропускать занятия;

 развитию коммуникативных способностей обучающихся в процессе общения с учителем и другими обучающимися через средства удаленной связи;

 развитие у обучающихся умений и навыков пользования сетевыми технологиями.

Разделы курса:

1. Теоретический – базовый, содержащий информацию по теме.

2. Задания для обучающихся по темам данного раздела.

Занятие № 1.

Тема: Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве.

Расстояние между точками.

В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 – 1650) впервые введшего координаты в геометрию.

Рене Декарт родился в 1596 г. в городе Лае на юге Франции, в дворянской семье. Отец хотел сделать из Рене офицера. Для этого в 1613 г. он отправил Рене в Париж. Много лет пришлось Декарту пробыть в армии, участвовать в военных походах в Голландии, Германии, Венгрии, Чехии, Италии, в осаде крепости гугенотов Ла-Рошали. Но Рене интересовала философия, физика и математика. Вскоре по приезде в Париж он познакомился с учеником Виета, видным математиком того времени Мерсеном, а затем и с другими математиками Франции. Будучи в армии, Декарт все свое свободное время отдавал занятиям математикой. Он изучил алгебру немецких, математику французских и греческих ученых.

После взятия Ла-Рошели в 1628 г. Декарт уходит из армии. Он ведет уединенный образ жизни с тем, чтобы реализовать намеченные обширные планы научных работ.

Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. Самым известным трудом Декарта является его “Геометрия”. Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию, как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа - отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями.

Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Общее начало координат обозначается буквой O.

Прямые Ох, Оу, Оz называются координатными осями:

Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат

Точка пересечения осей называется началом координат - точка О.

Точка О разбивает каждую ось на две полупрямые – полуоси, которые называются положительной и отрицательной.

Три плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оуz, Оzх.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты: М (х,у,z).

Координатой х точки А называется число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОА_х: положительное, если точка А_х лежит на положительной полуоси х. и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси. Если точка А_х совпадает с точкой О, то полагают х=0.

Аналогично определяются координаты y и z точки А.

Расстояние между точками

Выразим расстояние между двумя точками через координаты этих точек.

Пусть даны две произвольные точки своими координатами:

A₁ (x₁;y₁;z₁) и A₂ (x₂;y₂;z₂)

Тогда расстояние между точками A₁ и A₂ вычисляется по формуле:

Пример 1.

Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).

Решение.

В условии задачи дано:. Найти d.

Применив формулу d = , получим:

d = АВ =

Пример 2.

Найти координаты точки О₁, которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что О₁А = О₁В = О₁С. Пусть искомая точка О₁ имеет координаты (а; b). По формуле d = найдем:

О₁А = √((а – 7)² + (b + 1)²);

О₁В = √((а + 2)² + (b – 2)²);

О₁С = √((а + 1)² + (b + 5)²).

Составим систему из двух уравнений:

{√((а – 7)² + (b + 1)²) = √((а + 2)² + (b – 2)²),

{√((а – 7)² + (b + 1)²) = √((а + 1)² + (b + 5)²).

После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:

{(а – 7)² + (b + 1)² = (а + 2)² + (b – 2)²,

{(а – 7)² + (b + 1)² = (а + 1)² + (b + 5)².

Упростив, запишем

{-3а + b + 7 = 0,

{-2а – b + 3 = 0.

Решив систему, получим: а = 2; b = -1.

Точка О₁ (2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2).

Вопросы для самопроверки:

1..Как вводится декартова система координат? Из чего она состоит?

2. Как определяются координаты точки в пространстве?

3. Чему равна координата начала координат?

4. Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?

5. Как найти длину отрезка, если даны координата его начала и конца?

6. Даны точки А(1; 2; 3), В(0; 1; 2), С(0; 0; 3), D(1; 2; 0). Какие из этих точек лежат:

1) в плоскости ОXY; 2) на оси OZ; 3) в плоскости OYZ

Занятие № 2.

Тема: Практическое занятие: Нахождение расстояния между точками.

Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка в пространстве.

Даны две произвольные точки A₁ (x₁;y₁;z₁) и A₂ (x₂;y₂;z₂)

Тогда серединой отрезка A₁A₂ будет точка С с координатами x, y, z, где

Пример 1.

Найдите координаты середины отрезка: а) AB, если A(1, 2, 3) и B(-1, 0, 1)

Решение:

Ответ: (1, 1, 2)

б) CD, если C(3, 3, 0) и D(3, -1, 2)

Ответ: (3, 1, 1).

Пример 2.

Даны координаты вершин параллелограмма: А(-2; 5; 0), В(-1; 6; -3), С(4; 3; -6),

D(3; 2; -3). Найти координаты точки пересечения диагоналей.

Решение:

Диагонали АС и BD пересекаются в точке О и точкой пересечения делятся пополам, т.е. точка О является серединой отрезков АС и BD.

Найдем координаты середин диагоналей АС и BD

Середина АС:

Середина BD:

Ответ: О(1;4;-3)

Пример 3.

На каком расстоянии находится точка A(1, -2, 3) от координатной плоскости:

а) Oxy; б) Oxz; в) Oyz

Ответ: а) 3; б) 2; в) 1

Задания для самостоятельной работы

1. В плоскости OXY найти точку D(x; y; 0), равноудаленную от трех данных точек: А(0;1;-1), В(-1;0;1), С(0;-1;0)

1. Доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, если А(6; 7; 8), В(8; 2; 6), С(4; 3; 2), D(2; 8; 4)

1. Докажите, что середина отрезка с концами в точках А(a; c; -b) и B(-a; d; b) лежит на оси OY.

Занятие № 3

Тема: Уравнения сферы, плоскости.

Различные виды уравнения прямой

Различные виды уравнения плоскости

Плоскость в пространстве можно задать различными способами (точкой и век­тором, перпендикулярном плоскости, тремя точками и т. д.), в зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикуляр­ной данному вектору. Ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости, назы­вают ее нормальным вектором. Если дана точка М₀(х₀, у₀, z₀) и нормальный вектор = (А, В, С) плоскости, то ее уравнение имеет вид:

А(х-х_о)+В(у-у₀)+С(z-z₀) = 0. (1)

В этом уравнении коэффициенты А, В, С являются координатами нормального вектора

Равенство (4.9) выражает необходимое и достаточное условие перпендикуляр­ности двух векторов: = (А,В,С) и М₀М = (х-х₀, у-у₀, z-z₀), где М(х,у,z) - любая точка плоскости

Общее уравнение плоскости. Уравнение первой степени относительно декар­товых координат: Ах+Ву+Сz+D=О (2)

где А, В, С одновременно в нуль не обращаются, т.е. А²+В² + С² 0,

определяет плоскость в пространстве. Урав­нение (2) называется общим уравнением плоскости. Отметим частные случаи этого уравнения.

Если D=0, то уравнение (2) при­нимает вид:

Ах + Ву + Сг = 0 и определяет плоскость, проходящую че­рез начало координат.

Если С = О, то уравнение (2) принимает вид:

Ах + Ву + D=0 и определяет плоскость, параллельную оси Оz .

Если С = О, D = 0, то уравнение (2) принимает вид: Ах + Ву = 0

и определяет плоскость, проходящую через ось Оz .

Уравнение сферы:

Различные виды уравнений прямой в пространстве

Прямую в пространстве можно задать различными способами (точкой и векто­ром, параллельным ей; двумя точками и т. п.), в связи с чем рассматривают раз­личные виды ее уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b, где k – угловой коэффициент прямой.

1. Если b = 0, то получаем y = kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей острый угол с осью ОХ, если k0, тупой угол, если kk = tg

2. Если k = 0, то уравнение имеет вид: y = b – прямая, параллельная оси ОХ.

Уравнение прямой, проходящей через данную току в данном направлении:

Векторно-параметрическое уравнение прямой. Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный ей. Если даны точка М₀(х₀, у₀,z₀) и направляющий вектор а = (a₁, а₂, a₃) прямой, то

г = г₀ + а/, (1)

где г = ОМ - радиус-вектор точки М(х, у, z), г₀ = ОМ₀ - радиус-вектор точки М₀(х₀, у₀,z₀). - переменная величина (параметр).

Параметрические уравнения прямой. Переходя от векторного соотношения к координатным, получаем

х = х₀ + а₁t у = у₀+а₂t z = z₀+а₃t. (2)

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀,z₀), и имеющей направляющий вектор а = (а₁, а₂, а₃).

Канонические уравнения прямой. Выражая параметр t из уравнений (2) и приравнивая полученные выражения, находим, что (3)

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Если даны две точки М₁(х₁, у₁,z₁),

М₂(х₂, у₂,z₂), то уравнение прямой имеет вид:

Уравнение прямой в отрезках:

a, b – отрезки, отсекаемые на осях координат.

Занятие № 4

Тема: Практическое занятие «Составление уравнений прямой»

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3; -2) под углом 135к

оси ОХ.

Решение.

Угловой коэффициент прямой k = tg 135 = -1. Уравнение прямой примет вид:

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-5; 4) и В(3; -2)

Решение.

Применим уравнение , получим:

1. Преобразовать уравнение прямой в уравнение в отрезках на осях.

Решение.

Уравнение в отрезках имеет вид:

Разделим обе части уравнения на 6:

1. Треугольник задан вершинами: А(-3;4), В(-4;-3), С(8;1). Составить уравнение медианы AD

Решение.

Медиана AD проходит через точку А и середину стороны ВС. Найдем координаты середины отрезка ВС – точка D

Составим уравнение прямой, проходящей через две данные точки A и D:

Задания для самостоятельной работы

1. Составьте уравнения сторон треугольника, вершинами которого служат точки:

А(-3;-2), В(1;5), С(8;-4)

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(2;3) и образующей с осью абсцисс угол

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(-4;-1) и пересекающей ось ординат в точке (0;3)

Занятие № 5

Тема: Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Действия с векторами: сложение векторов, умножение вектора на число

При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений. Такие величины называются скалярными или, короче, скалярами. Скалярными величинами, например, являются длина, площадь, объем, масса, температура тела и др.

Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называются векторными. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец. Если А – начало вектора и В – его конец, то вектор обозначается символом . Вектор можно обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней, например, . Изображается вектор отрезком со стрелкой на конце. Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора , то мы будем говорить, что вектор приложен в точке А.

Длина вектора называется его модулем и обозначается символом ||. Модуль вектора обозначается ||.

Вектор , для которого || = 1, называется единичным. Обозначается .

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора .

Вектор, длина которого равна 0, называется нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления, а начало и конец его совпадают. Обозначается .

Векторы и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Они могут быть одинаково или противоположно направлены.

Два векторы и называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

В этом случае пишут: = . Все нулевые векторы считаются равными. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить, помещая его начало в любую точку пространства. Такой вектор называется свободным.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой, или два любые коллинеарны, то эти вектора также компланарны.

Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору , обозначается –. Для вектора противоположным будет вектор .

Действия с векторами

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Определение. Пусть и – два свободных вектора (рис. а). Возьмем произвольную точку О и построим вектор =, затем от точки А отложим вектор =. Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается + (рис. б).

A

O + B

B

O + C

а) б) в)

Определение. Разностью двух векторов и называется третий вектор =–, сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если =–, то += (рис. г).

A

– = г)

Определение. Произведением (или ) вектора на действительное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную ||||, и то же направление, что и вектор , если 0, и направление, противоположное направлению вектора , если

Свойства:

1. Если || , то =. Теорема о коллинеарности.

2. + = +. Переместительный закон.

3. 

4. 

5. 

Занятие № 7

Тема: Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.

Любой вектор а можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде: а = хi + уj + zk, причем коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.

Коэффициенты x, y, z в разложении вектора а по координатным векторам называются координатами вектора а в данной системе координат.

Определение. Углом между векторами и называется наименьший угол (), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым после приведения этих векторов к общему началу.

Осью называется направленная прямая. Направление прямой на рисунке обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси считается положительным, противоположное – отрицательным.

Рассмотрим ось l, положительное направление которой совпадает с направлением единичного вектора , расположенного на оси l. Такой вектор называется ортом оси l.

Определение Углом между вектором и осью l называется угол между векторами и .

O

l

Определение. Компонентой (составляющей) вектора на ось l называется

Определение Проекцией вектора на ось l () называется длина его компоненты на ось l, взятая со знаком «плюс», если направление компоненты совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси l.

Если = 0, то полагают = 0.

Теорема 1. Проекция вектора на ось l равна произведению его модуля на косинус угла между этим вектором и осью l: = .

Свойства:

1. 2.

Задания для самостоятельной работы.

1. Дан ромб ABCD, причем AB = 5, В плоскости ромба выбран базис (a,b) такой, что AB = a, AD = b. Найдите в этом базисе координаты векторов

2. Что можно сказать о координатах вектора с в разложении по векторам а и в, если вектор с

а) коллинеарен вектору а;

в) коллинеарен вектору в;

с) противоположен вектору в?

3. Назовите координаты вектора:

а) 3i – 2j - k;

в) -i + 3k;

с) i + j + k

Занятие №8

Тема: Координаты вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается символом или (,). Если угол между векторами и равен , то

= .

Через обозначим проекцию вектора на ось с направлением вектора . Так как и , можно записать

= ,

т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось с направлением первого.

Раскроем физический смысл скалярного произведения. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа A указанной силы определяется равенством

,

т.е. равна скалярному произведению векторов и .

Свойства:

1. (переместительное свойство);

2. ( называется скалярным квадратом вектора);

3. (распределительное свойство);

4. (сочетательное свойство относительно числового множителя).

Примечание:

1. 

2. Два вектора и перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда

= 0.

Скалярное произведение векторов в координатной форме:

Пусть даны два вектора: и , тогда

=

(1)

Условие ортогональности можно представить в виде = 0.

Задания для самостоятельной работы.

1. Вычислите скалярное произведение , если a = 8, b = 5 и

2. Пусть a и b – единичные перпендикулярные векторы. Вычислите скалярное произведение

3. Что можно сказать о расположении векторов a и b, если их скалярное произведение:

а) положительно;

в) отрицательно;

с) равно нулю?

4. При каком расположении векторов a и b справедливо соотношение:

а) =

в) = -

Занятие № 9

Тема: Практическое занятие:

Действия с векторами, заданными координатами

Действия над векторами

1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов

1. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

1. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число

Опр. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны

1. Скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.

2. Скалярное произведение векторов

Задачи

1. Даны векторы а = (2;3;-1), b = (0;1;4), с = (1;0;-3). Определите координаты векторов:

а) 2а – b – 2c

b)

с) а – b – 3c

1. Найдите угол между векторами: а = (1;1;1) и b = (1;-1;-1),

а = (2;2;0) и b = (0;2;2)

Тестовые задания по теме «Векторы в пространстве»

1. Вектор - это:

а) направленный отрезок; б) отрезок определенной длины;

в) направленный отрезок определенной длины

1. Скалярная величина характеризуется:

а) числовой величиной; б) числовой величиной и направлением; в) направлением

1. Единичный вектор – это:

а) отрезок, имеющий длину = 1; б) отрезок длиной = 0; в) вектор, имеющий длину = 1

1. Векторы называются равными, если:

2. а) равны их модули; б) равны их длины, направление не имеет значения;

в) они сонаправлены и имеют равные длины

1. Векторы называются коллинеарными, если:

а) они лежат на параллельных прямых; б) они лежат на одной прямой;

в) они лежат на параллельных прямых или на одной прямой

1. Векторы называются компланарными, если:

а) они лежат на параллельных плоскостях; б) они лежат на одной плоскости; в) они лежат на параллельных плоскостях или на одной плоскости

1. Чему равна длина вектора АВ = (-3;0;4):

а) 5; б) ; в)

1. Какие из следующих пар векторов перпендикулярны:

а) а = (3;-5;0) и в = (2; 4; 1); б) а = (8;2;-1) и в = (3; 0;7);

в) а = (2;5;0) и в = (-10; 4; 3)

1. Найдите координаты вектора, заданного точками А(-2;3; 6) и В(3; 5;-4)

а) (1;2;-10); б) (5;2;2); в)(5;2;-10)

1. Построить сумму векторов с помощью правила параллелограмма:

1. Всякий ли вектор в пространстве является вектором на плоскости и наоборот?

а) да б) нет

1. Компланарны ли любые два вектора в пространстве?

а) да б) нет

1. Найти скалярное произведение векторов а=(3,4,12) и в=(-1,0,5)

2. Скалярное произведение двух векторов равно 0,если

а) векторы коллинеарны; б) векторы противоположны

в) перпендикулярны; г) параллельны

Занятие № 10

Контрольная работа.

Контрольная работа по теме «Координаты и векторы» Вариант № 1 Даны координаты вершин треугольника АВС: А(2;-3;5), В(-4;7;6), С(0;5;-3). Найти: Координаты векторов Длины сторон треугольника АВС Координаты середин сторон треугольника: M, N, K Скалярное произведение векторов Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В	Контрольная работа по теме «Координаты и векторы» Вариант № 2 Даны координаты вершин треугольника АВС: А(-2;3;1), В(0;-3;6), С(4;2;-3). Найти: Координаты векторов Длины сторон треугольника АВС Координаты середин сторон треугольника: D, E, F Скалярное произведение векторов Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В
Контрольная работа по теме «Координаты и векторы» Вариант № 3 Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4;-3;5), В(-2;0;6), С(4;5;-3). Найти: Координаты векторов Длины сторон треугольника АВС Координаты середин сторон треугольника: K, L, M Скалярное произведение векторов Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В	Контрольная работа по теме «Координаты и векторы» Вариант № 4 Даны координаты вершин треугольника АВС: А(2;0;5), В(-4;1;6), С(0;5;-3). Найти: Координаты векторов Длины сторон треугольника АВС Координаты середин сторон треугольника: M, N, K Скалярное произведение векторов Составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В