Определители второго порядка и правило Крамера

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ПРАВИЛО КРАМЕРА

Определители второго порядка

Понятие определителя возникло также в связи с задачей решения систем линейных уравнений. Определитель(илидетерминант) есть число, характеризующее квадратную матрицуAи обозначается обычно символами:detA,|A|.или Если матрица задана явно, в виде таблицы, то определитель обозначают, заключая таблицу в вертикальные линии.

Определитель матрицы второго порядка находится следующим образом:

(2.1)

Он равен произведению элементов главной диагонали матрицы минус произведение элементов второй диагонали.

Например, 

Следует еще раз подчеркнуть, что матрица есть таблица чисел, тогда как определитель есть число, определяемое через элементы квадратной матрицы.

Рассмотрим теперь систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Используя понятие определителя 2-го порядка, решение этой системы можно записать в виде:

(2.2)

где

Это есть правило Крамерарешения системы двух линейных уравнений 0.с двумя неизвестными при условии, что

Пример 2.1.Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера:

Решение.Найдем определители:

Отсюда



Историческая справка.Идея понятия«определителя»могла бы принадлежатьГ. Лейбницу(1646-1716), если бы он развил и опубликовал свои идеи относительно определителей, к которым он пришел в 1693 г. Поэтому приоритет в разработке метода определителей решения систем линейных уравнений принадлежитГ. Крамеру(1704-1752), который опубликовал свои исследования по этой теме в 1750 г. Однако Крамер не построил полноценной теории определителей, к тому же ему не доставало удобного обозначения. Первое обширное исследование, посвященное определителям, былоА. Вандермондом(1735-1796) в 1772 г. Он дал логическое изложение теории определителей и ввел правило разложения определителя с помощью миноров. Полное изложение теории определителей было дано лишь в 1812 г.
Ж. Бине(1786-1856) иО. Коши(1789-1858). Термин«определитель»(«детерминант») в современном его значении был введен Коши (ранее этот термин использовался К. Гауссом для обозначения дискриминанта квадратичной формы).

Определители третьего порядка

Определительматрицы 3-го порядка находится следующим образом

(2.3)

Естественно, что запомнить эту формулу довольно трудно. Однако есть правила, которые облегчают выписывание выражения для определителя 3-го порядка.

Правило треугольников:три слагаемых, входящих в исходное выражение со знаком плюс, есть произведения элементов главной диагонали или треугольников, основания которых параллельны этой диагонали. Остальные три слагаемых, входящих со знаком минус, находятся таким же образом, но относительно второй диагонали.

Правило Саррюса: припишем к матрице справа первый, а затем второй столбец. Тогда "положительные" слагаемые будут находиться на линиях параллельных главной диагонали, а "отрицательные"   на линиях, параллельных второй диагонали.

Пример 2.2.Вычислить определитель



Правило Крамера

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

0.если Здесь

Это есть правило Крамерарешения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 2.3.Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение.Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Тогда

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера.Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы 0)( имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где–определитель основной матрицы,_i–определитель матрицы,полученной из основной, заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

=0,Отметим, что если то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

Определители n-го порядка

Дополнительным миноромM_ijэлементаa_ijназывается определитель, получаемый из данного путем вычеркиванияi-й строки иj-го столбца.Алгебраическим дополнениемA_ijэлементаa_ijназывается минор этого элемента, взятого со знаком (–1)^i+j, т.е.A_ij= (–1)^i+jM_ij.

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a₂₃иa₃₁определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n-го порядка по строке или столбцу.