Конспект урока "Приращении аргумента, приращение функции"

Приложение 1.

Урок по теме: «Приращение аргумента, приращение функции».

Цели:

образовательные: сформировать понятия приращения функции и приращения аргумента, секущей, геометрического смысла приращения функции; показать применение данных понятий при решении задач.

развивающие: развитие вычислительных навыков, умений логически и аргументированно рассуждать, обобщать и абстрагировать.

воспитательные: воспитание познавательного интереса к предмету.

Тема предыдущего урока: Контрольная работа «Декартовы координаты и векторы в пространстве».

Тема последующего урока: Определение производной.

Оборудование: учебник; компьютер, проектор и экран.

Схема урока:

1.АЗ.

1) мобилизующее начало урока (постановка цели работы на уроке).

2)устная работа с целью актуализации опорных знаний.

3)подведение итогов первого этапа урока и постановка задач на следующий этап.

2.ФНЗ и СД.

1)беседа с целью введения понятий приращения функции и приращения аргумента.

2) первичное закрепление определений приращения функции, приращения аргумента фронтально.

3) беседа с целью раскрытия геометрического смысла приращения функции.

4) первичное закрепление геометрического смысла приращения аргумента и приращения функции фронтально.

5) подведение итогов второго этапа урока и постановка задач на следующий этап.

3. ФУН.

1) Решение задач фронтально у доски преподавателем.

2) Решение задач обучающимися у доски с целью закрепления введённых понятий.

3) Подведение итогов урока.

4) Выдача домашнего задания.

Ход урока.

1.АЗ.

1) Организационный момент:

Взаимное приветствие преподавателя и обучающихся, проверка готовности обучающихся к уроку.

Обсуждение темы и целей урока. (Слайд 1 и 2.)

2) устная работа с целью актуализации знаний:

1. Формула периметра прямоугольника;

2. Формула площади прямоугольника;

3. Определение функции, определение тангенса угла;

4. Как найти значение функции в данной точке?

Пример:

Найти значение функции f(x) = x² + 2x в точке x₀ = -3.

Решение: f(x₀) = f(-3) = (-3)²+ 2∙(-3) = 9 - 6 = 3

Ответ: f(-3) = 3

3) Итак, мы поработали устно и вспомнили некоторые теоретические сведения, которые нам будут нужны при изучении нового материала. А теперь мы выясним, что же такое приращение аргумента и приращение функции.

2.ФНЗ и СД.

1) Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение.

Например: Дан график функции у = 4 -х²

П о графику найти значение функции в точке х₁= 1 и

х₂ = 2.

Разность х₂ – х₁ = 2 - 1 = 1; ∆x =1

f (1) = 3; f(2) = 0; f(2) – f(1) = 0 - 3 = -3

∆f = -3 (Слайд3.)

В приведенном примере мы не только вычислили значения функции f(x) в некоторых точках, но и оценили изменения ∆f этой функции при заданных изменениях аргумента ∆х.

При сравнении значений функции f в некоторой фиксированной точке х₀ со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х₀, удобно выражать разность f(x) - f(x₀) через разность х -х₀, пользуясь понятиями “приращение функции” и “приращение аргумента”.

Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х₀. Разность х - х₀ называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х₀ и обозначается ∆х. Таким образом, ∆х= х -х₀, откуда следует, что х = х₀+∆х.

Говорят также, что первоначальное значение аргумента х₀ получило приращение ∆х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) - f(x₀) = f(х₀ + х)– f(x₀).

Эта разность называется приращением функции f в точке х₀, соответствующим приращению ∆х, и обозначается ∆f, т. е. по определению

∆f = f (х₀+∆х) – f(x_0), откуда f (х₀ +∆х) = f(x₀) +∆f.

Обратите внимание: при фиксированном значении х₀ приращение ∆f есть функция от ∆х. (Слайд 4.)

2) Что такое приращение аргумента?

Что такое приращение функции?

3) Теперь выясним геометрический смысл приращения аргумента, приращения функции. (Слайд 5.)Рассмотрим график функции у = f (x). Геометрический смысл приращения функции можно понять, рассмотрев рисунок. (Слайд 6.) Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции f, называют секущей к графику f. Уравнение прямой на плоскости имеет вид у = кх + b. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (х₀; f(x₀) и (х; f(x)), равен tga. ∆ABC – прямоугольный.

или k = tgα =

4) объяснить в чём заключается геометрический смысл приращения аргумента и приращения функции.

5) Итак, мы выяснили что такое приращение аргумента и приращение функции и в чём состоит их геометрический смысл. Теперь мы научимся применять данные определения при решении задач.

3.ФУН.

1. Решение задач у доски преподавателем.

а) Найти приращение аргумента и приращение функции в точке х₀, если

f(x) = x² x₀ = 2 x = 1,9

Δx = x - x₀;

Δx = 1,9 – 2 = - 0,1;

Δx = f(x) - f(x₀);

Δf(x) = f(1,9) – f(2) = 1,9² – 2² = 3,61 – 4 = - 0,39

Ответ: Δx = - 0,1; f(x) = - 0,39

(Слайд5).

б) Найти угловой коэффициент секущей к графику функции f(x) = , проходящей через точки с данными абсциссами х₁ и х₂. Какой угол (острый или тупой) образует секущая с осью Ох.

f(x) = x²; x₁ = 0; x₂ = 1

Решение tgα =

Δx = x – x₀; Δf = f(x) - f(x₀);

Δx = 1 – 0 = 1; Δf = f(1) - f(0) = · 1² - · 0² =

k = tgα = 0, значит α – острый

Ответ: tgα = ; α - острый

(Слайд 7.)

2) «3»

а) Стороны прямоугольника равны 15 м и 20 м. Найдите приращение его периметра и площади, если меньшую сторону увеличили на 0, 11 м. (Решение на слайде 8).

б) Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции f(x) = x², проходящей через точки с данными абсциссами x₁=-1 , x₂=-2. Какой угол образует секущая с осью Ох.

в) Найдите приращение функции f в точке х₀, если

f(x) = 3x+1 x₀ = 5 ∆x = 0, 01.

«4»

Выполнить задания на «3» и дополнительно:

Найдите приращение функции и приращение аргумента в точке x₀, если f(x) = , x₀ = 1,22 , x = 1,345.

«5» Выполнить задание на «4» и дополнительно:

Выразите Δf и через x₀ и Δx и преобразуйте полученные выражения: f(x)= -x³ +3x.

3) Подведение итогов урока.

4) Домашнее задание: «3»

а) Выучить теорию.

б) Радиус круга равен 2 см. Найдите погрешность, допущенную при вычислении его площадь, если погрешность при измерении длины радиуса равна 0,2 см.

«4» в) Найдите приращение функции f в точке х₀ , если: а) f(x) = x₀ = 2 ∆x = 0,1;

б) f(x) = tgx, x₀ = , x = .

«5» Выразите Δf и через x₀ и Δx и преобразуйте полученные выражения: f(x)= x³ -2x.