kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Уравнения-следствия: возведение уравнения в четную степень

Нажмите, чтобы узнать подробности

Важным моментом в подготовке к итоговой аттестации является организация обобщающего повторения. Умения решать уравнения отрабатывается в течение всего школьного курса математики. Иррациональные уравнения, как правило, вызывают затруднения, поэтому требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Уравнения-следствия: возведение уравнения в четную степень»

Уравнения-следствия: возведение уравнения в четную степень

Продолжительность: 2 урока.

Цель урока:

  • (для учителя) формирование у учащихся целостного представления о методах решения иррациональных уравнений.

  • (для учащихся) Развитие умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации (слайд 2). Подготовка к ЕГЭ.

План первого урока (слайд 3)

  1. Актуализация знаний

  2. Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень

  3. Практикум по решению уравнений

План второго урока

  1. Дифференцированная самостоятельная работа по группам «Иррациональные уравнения на ЕГЭ»

  2. Итог уроков

  3. Домашнее задание

Ход уроков

I. Актуализация знаний

Цель: повторить понятия, необходимые для успешного освоения темы урока.

Фронтальный опрос.

– Какие два уравнения называются равносильными?

– Какие преобразования уравнения называют равносильными?

– Данное уравнение заменить равносильным с пояснением применённого преобразования: (слайд 4)

а) х+ 2х +1; б) 5 = 5; в) 12х = -3; г) х = 32; д) = -4.

– Какое уравнение называют уравнением-следствием исходного уравнения?

– Может ли уравнение-следствие иметь корень, не являющийся корнем исходного уравнения? Как называются эти корни?

– Какие преобразования уравнения приводят к уравнениям-следствиям?

– Что называется арифметическим квадратным корнем?

Остановимся сегодня более подробно на преобразовании «Возведение уравнения в чётную степень».

II. Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень 

Объяснение учителя при активном участии учащихся:

Пусть 2m (mN) – фиксированное чётное натуральное число. Тогда следствием уравнения f(x) =g(x) является уравнение (f(x)) = (g(x)).

Очень часто это утверждение применяется при решении иррациональных уравнений.

Определение. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня, называется иррациональным.

При решении иррациональных уравнений используют следующие методы: (слайд 5)

  1. Переход к равносильной системе:
    а)  =   или 
    Из двух систем решают ту, которая проще.
    б)  = а, аR
    если а ≥ 0, то  = а  f(x) = а;
    если а в)  = g(x)  

  2. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

  3. Метод введения новых переменных.

Внимание! Методы 2 и 3 требуют обязательной проверки.

ОДЗ не всегда помогает устранить посторонние корни.

Вывод: при решении иррациональных уравнений важно пройти три этапа: технический, анализ решения, проверка(слайд 6).

III. Практикум по решению уравнений

Решить уравнение:

а) х + 1 =  

После обсуждения способа решения уравнения возведением в квадрат, решить переходом к равносильной системе.

Выводрешение простейших уравнений с целыми корнями можно провести любым знакомым методом.

б)  = х – 2 

Решая методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, учащиеся получают корни х = 0, х= 3 - , х= 3 + , проверить которые подстановкой сложно и трудоёмко. (Слайд 7). Переход к равносильной системе

 позволяет быстро избавиться от посторонних корней. Условию х ≥ 2 удовлетворяет только х.

Ответ: 3 + 

Выводиррациональные корни проверять лучше переходом к равносильной системе.

в)  = х – 3 

В процессе решения этого уравнения получаем два корня: 1 и 4. Оба корня удовлетворяют левой части уравнения, но при х = 1 нарушается определение арифметического квадратного корня. ОДЗ уравнения не помогает устранить посторонние корни. Переход к равносильной системе даёт правильный ответ.

Вывод: хорошее знание и понимание всех условий определения арифметического квадратного корня помогает перейти к выполнению равносильных преобразований.

г)  - 4 = 

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

х + 13 - 8 + 16 = 3 + 2х - х, уединив радикал в правую часть, получаем

26 – х + х = 8. Применение дальнейших действий по возведению в квадрат обеих частей уравнения, приведёт к уравнению 4-й степени. Переход к ОДЗ уравнения даёт хороший результат:

Решение:

найдём ОДЗ уравнения:

       х = 3.

Проверка:  - 4 = , 0 = 0 верно.

Ответ: 3.

Вывод: иногда возможно провести решение с помощью определения ОДЗ уравненияно обязательно сделать проверку.

д)  =  

Решение: ОДЗ уравнения: -2 – х ≥ 0  х ≤ -2.

При х ≤ -2,   ≥ 0.

Следовательно, левая часть уравнения отрицательна, а правая – неотрицательна; поэтому исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Вывод: сделав правильные рассуждения по ограничению в условии уравнения, можно без труда найти корни уравнения, или установить, что их нет.

е)  +  = 7 

На примере решения этого уравнения показать двукратное возведение уравнения в квадрат, объяснить смысл фразы «уединение радикалов» и необходимость проверки найденных корней.

ж) 4 - 5 = 8;

з)  +  = 1.

Решение этих уравнения провести методом замены переменной до момента возвращения к исходной переменной. Закончить решение предложить тем, кто раньше справится с заданиями следующего этапа.

Контрольные вопросы

  • Как решать простейшие иррациональные уравнения?

  • Что необходимо помнить при возведении уравнения в чётную степень? (могут появиться посторонние корни)

  • Как лучше проверять иррациональные корни? (с помощью ОДЗ и условий совпадения знаков обеих частей уравнения)

  • Для чего необходимо уметь анализировать математические ситуации при решении иррациональных уравнений? (Для правильного и быстрого выбора способа решения уравнения).

IV. Дифференцированная самостоятельная работа по группам «Иррациональные уравнения на ЕГЭ» 

Класс разбивается на группы (по 2-3 человека) по уровням обученности, каждая группа выбирает себе вариант с заданием, обсуждает и решает выбранные задания. По мере необходимости обращается к учителю за консультацией. После выполнения всех заданий своего варианта и проверки ответов учителем, участники группы индивидуально заканчивают решение уравнений ж) и з) предыдущего этапа урока. Для 4 и 5 вариантов (после проверки ответов и решения учителем) на доске записаны дополнительные задания, которые выполняются индивидуально.

Все индивидуальные решения в конце уроков сдаются учителю на проверку.

Вариант 1

Решите уравнения:

а)  = 6; 
б)  = 2
в)  = 2 – х; 
г) (х + 1) (5 – х) (+ 2 = 4.

Вариант 2

Решите уравнения:

а)  = 4; 
б) = 2
в) = 1 – х; 
г) (х + 1) (5 – х) (+ 2 = 4.

Вариант 3

Решите уравнения:

а) = 3; 
б) = 4х;
в)  -  = 1;
г)  +  =  + 3.

Вариант 4

1. Решите уравнение:

а) = 4; 
б)  = 3 – 2х;

2. Решить систему уравнений:

Вариант 5

1. Решите уравнение:

а) = 
б)  = 3 – 2х;

2. Решить систему уравнений:

Дополнительные задания:

  1. Решить относительно х уравнение:  ·  = а;

  2. Решить уравнение:  +  = 4 – х.

V. Итог уроков

Какие трудности испытывали при выполнении заданий ЕГЭ? Что необходимо для устранения этих трудностей?

VI. Домашнее задание

Повторить теорию решения иррациональных уравнений, прочитать пункт 8.2 в учебнике (обратить внимание на пример 3).

Решить № 8.8 (а, в), № 8.9 (а, в), № 8.10 (а).




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Мероприятия

Целевая аудитория: Прочее

Скачать
Уравнения-следствия: возведение уравнения в четную степень

Автор: Игнатьева Наталья Львовна

Дата: 13.04.2017

Номер свидетельства: 409079


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства