kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Программные средства визуализации решений задач теории групп (пакет Gap)

Нажмите, чтобы узнать подробности

В данном реферате рассматриваются теории групп и пакет Gap. Визуализируется решение задач теории групп.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Программные средства визуализации решений задач теории групп (пакет Gap)»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»



Факультет физико-математический

Кафедра информатики и вычислительной техники



РЕФЕРАТ


ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА ВИЗУАЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ГРУПП (ПАКЕТ GAP)



Автор работы _____________________________________ Е. Д. Понятова


Направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль Математика. Информатика


Руководитель работы

канд. физ. мат. наук, доцент__________________________Т. В. Кормилицына



Оценка __________











Саранск 2021


Теория групп составляет важную часть в курсе алгебры. Понятие группы является одним из фундаментальных в математическом образовании.

В настоящее время основы теории групп стала составной частью подготовки не только бакалавров математиков, но и специалистов в области физики, химии и информатики. Основные идеи теории групп изучаются студентами и в рамках таких фундаментальных математических дисциплин как «Алгебра», «Алгебра и геометрия», «Геометрия и алгебра» и других.

Разработка системы компьютерной алгебры GAP, название которой расшифровывается как "Groups, Algorithms and Programming", была начата в 1986 г. в г.Аахен, Германия. В 1997 г. центр координации разработки и технической поддержки пользователей переместился в Университет г.Сент-Эндрюс, Шотландия. В настоящее время GAP является уникальным всемирным совместным научным проектом, объединяющим специалистов в области алгебры, теории чисел, математической логики, информатики и др. наук из различных стран мира. Основные центры разработки системы находятся в университетах г.Сент-Эндрюс (Шотландия), гг. Аахен, Брауншвейг (Германия) и Университете штата Колорадо (США). Текущая версия системы - GAP 4.4.10 - была выпущена в октябре 2007 г.

Изначально система GAP разрабатывалась под Unix, а затем была портирована для работы в других операционных системах. В настоящее время она работает в разнообразных версиях Unix/Linux, а также в Windows и Mac OS. Заметим, что ряд пакетов, расширяющих функциональность системы, работает только в среде Unix/Linux.

GAP является свободно распространяемой, открытой и расширяемой системой. Она распространяется в соответствии с GNU Public License. Cистема поставляется вместе с исходными текстами, которые написаны на двух языках: ядро системы написано на Си, а библиотека функций - на специальном языке, также называемом GAP, который по синтаксису напоминает Pascal, однако является объектно-ориентированным языком. Пользователи могут создавать свои собственные программы на этом языке, и здесь исходные тексты являются незаменимым наглядным пособием. Наконец, разработчики программ для GAP могут оформить свои разработки в виде пакета для системы GAP и представить их на рассмотрение в Совет GAP. После прохождения процедуры рецензирования и одобрения советом GAP такой пакет включается в приложение к дистрибутиву GAP и распространяется вместе с ним. Процедура рецензирования позволяет приравнивать принятые Советом GAP пакеты к научной публикации, и ссылаться на них наравне с другими источниками.

Помимо уже упомянутых пакетов, система состоит из следующих четырех основных компонент:

  • ядра системы, обеспечивающего поддержку языка GAP, работу с системой в программном и интерактивном режиме;

  • библиотеки функций, в которой реализованы разнообразные алгебраические алгоритмы (более 4000 пользовательских функций, более 140000 строк программ на языке GAP);

  • библиотеки данных, включая, например, библиотеку всех групп порядка не более 2000 (за исключением 49487365422 групп порядка 1024, точное количество которых, кстати, также было определено с помощью системы GAP), библиотеку примитивных групп подстановок, таблицы характеров конечных групп и т.д., что в совокупности составляет эффективное средство для выдвижения и тестирования научных гипотез;

  • обширной (около полутора тысяч страниц) документации, доступной в разнообразных форматах (txt, pdf, html), а также через Интернет.

Система GAP была задумана как инструмент комбинаторной теории групп - раздела алгебры, изучающего группы, заданные порождающими элементами и определяющими соотношениями. В дальнейшем, с выходом каждой новой версии системы сфера ее применения охватывала все новые и новые разделы алгебры. В разнообразии областей алгебры, охватываемых GAP сегодня, можно убедиться, даже только лишь прочитав названия разделов обширнейшей документации по системе, занимающей около 1500 страниц (которая, кстати, не только входит в состав дистрибутива, но и доступна через Интернет). Вычислительная мощь системы может быть продемонстрирована находящимся на ее сайте примером определения того, что кубик Рубика имеет 43252003274489856000 различных состояний, и сборки кубика Рубика из произвольного начального состояния в среднем за 100 ходов.

GAP дает возможность производить вычисления с гигантскими целыми и рациональными числами, допустимые значения которых ограничены только объемом доступной памяти. Далее, система работает с циклотомическими полями, конечными полями, p-адическими числами, многочленами от многих переменных, рациональными функциями, векторами и матрицами. Пользователю доступны различные комбинаторные функции, элементарные теоретико-числовые функции, разнообразные функции для работы с множествами и списками.

Группы могут быть заданы в различной форме, например, как группы подстановок, матричные группы, группы, заданные порождающими элементами и определяющими соотношениями. Более того, построив, например, групповую алгебру, можно вычислить ее мультипликативную группу, и даже задать ее подгруппу, порожденную конкретными обратимыми элементами групповой алгебры. Ряд групп может быть задан непосредственным обращением к библиотечным функциям (например, симметрическая и знакопеременная группы, группа диэдра, циклическая группа и др.).

Функции для работы с группами включают определение порядка группы, вычисление классов сопряженных элементов, центра и коммутанта группы, верхнего и нижнего центрального рядов, ряда коммутантов, Силовских подгрупп, максимальных подгрупп, нормальных подгрупп, решеток подгрупп, групп автоморфизмов, и т.д. Для ряда конечных групп доступно определение их типа изоморфизма.

Теория представлений групп также входит в область применения системы GAP. Здесь имеются инструменты для вычисления таблиц характеров конкретных групп, действий над характерами и интерактивного построения таблиц характеров, определения теоретико-групповых свойств на основании свойств таблицы характеров группы. Модулярные представления групп (т.е. представления над полем, характеристика которого делит порядок группы) также могут быть исследованы с помощью GAP.

При успешном запуске GAP на экране появится эмблема GAP. После нее будет напечатана дополнительная информация о версии системы и установленных компонентах, например:

Точный вид этого сообщения будет зависеть от набора установленных пакетов и их совместимости с операционной системой.

Язык программирования

Символы и категории слов в GAP. GAP воспринимает следующие символы: цифры, буквы (верхний и нижний регистры), пробел, символы табуляции и новой строки, а также специальные символы.

"

'

(

)

*

+

,

.

/

:

;

=

~

{

\

]

^

_

{

}

#

Составленные из символов слова относятся к следующим категориям:

  • ключевые слова (зарезервированные последовательности букв нижнего регистра);

  • идентификаторы (последовательности цифр и букв, содержащие не менее одной буквы и не являющиеся ключевым словом);

  • строки (последовательности произвольных символов, заключенная в двойные кавычки);

  • целые числа (последовательности цифр);

  • операторы и ограничители в соответствии со следующим списком

+

*

/

^

~


=

=


:=

.

. .

,

;


[

]

{

}

(

)

Ключевые слова:

and

do

elif

else

end

fi

for

function

if

in

local

mod

not

od

or

repeat

return

then

until

while

quit




Идентификаторы состоят из букв, цифр, символов «_», и должны содержать не менее одной буквы или символа «_». При этом регистр является существенным. Примеры идентификаторов:

A

100x

LongIdentifier

Hello

_100

HELLO

Открытая для пользователей система GAP создавалась на основе подстановочного представления группы. Кроме большого количества запрограммированных алгоритмов, позволяющих строить списки групп с нужными пользователю свойствами, система GAP содержит и готовые таблицы групп.

Приведём список некоторых групп из библиотеки системы GAP с указанными в скобках командами обращения к этим группам, причём параметр filt в этих командах определяет способ задания группы. Например, при filt=IsPermGroup получаем подстановочное представление группы, а при filt = IsMatrixGroup — её линейное представление.

Циклическая группа порядка n (CyclicGroup( [filt, ]n ));

Абелева группа, разложимая в прямую сумму групп порядков ints[1],ints[2],...,ints[n] для списка ints натуральных чисел (AbelianGroup( [filt,]ints ));

Группа диэдра порядка n (DihedralGroup( [filt, ]n ));

Знакопеременная группа степени deg (AlternatingGroup( [filt, ]deg ));

Симметрическая группа степени deg (SymmetricGroup( [filt, ]deg ));

Группа Матье степени degree (MathieuGroup( [filt, ]degree ));

Общая линейная группа обратимых d × d матриц над кольцом R (GL([filt, ]d, R ));

Общая линейная группа обратимых d × d матриц над конечным полем из q элементов (GL( [filt, ]d, q ));

Специальная линейная группа обратимых d × d матриц над кольцом R (SL( [filt, ]d, R ));

Специальная линейная группа обратимых d × d матриц с единичным определителем над конечным полем из q элементов (SL( [filt, ]d, q ));

Проективная специальная линейная группа, изоморфная фактор-группе группы SL(d, q) по её центру (PSL( [filt, ]d, q ));

Группы имеют широкое распространение в математике и встречаются обычно в виде групп преобразований [3]. Всякая абстрактная группа реализуется как группа преобразований. Для изучения внутреннего строения группы часто удобнее другой универсальный способ описания произвольной группы, состоящий в задании порождающих элементов и основных (определяющих) соотношений между ними [5].

Задача 1. Симметрическая группа имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь следующие нормальные подгруппы[1]:

а) знакопеременную группу U ;

б) «четверную группу Клейна», состоящую из подстановок:

(1), (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3).

Последняя группа абелева.

c:=SymmetricGroup(4); Sym( [ 1 .. 4 ] )

gap NormalSubgroups(c);

[ Group(()), Group([ (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ]), Group([ (2,4,3), (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ]), Sym( [ 1 .. 4 ] ) ]

gap z:=Group([(2,4,3),(1,4)(2,3),(1,3)(2,4)]); Group([ (2,4,3), (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ])

gap IsAbelian(z); false

gap x:=Group([(1,4)(2,3),(1,3)(2,4)]); Group([ (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ])

gap IsAbelian(x); true

Задача 2. Найти число Силовских 5-подгрупп в [4].

gap S:= SymmetricGroup(5); Sym( [ 1 … 5 ] )

gap A5:= CommutatorSubgroup(S, S); Group( [ ( 1, 2, 3), (2, 3, 4), (2, 4) (3, 5) ] ) # задание исходной группы

gap P5:=SylowSubgroup(A5,5); Group( [ ( 1, 5, 4, 3, 2) ] ) # по второй теореме Силова все Силовские р-подгруппы сопряжены, то функция SylowSubgroup возвращает только одну подгруппу, которая является представителем некоторого класса сопряженных подгрупп

gap C5:=ConjugasyClassSubgroups(A, P5); Group( [ ( 1, 5, 4, 3, 2) ] )^G # чтобы получить остальные подгруппы из этого класса, сначала нужно создать класс сопряженных подгрупп данной группы с заданным представителем, а затем получить список содержащихся в нем подгрупп

gap L5:= AsList(C5); [ Group( [ ( 1, 5, 4, 3, 2) ] ), Group( [ ( 1, 3, 5, 4, 2) ] ), Group( [ ( 1, 4, 3, 5, 2) ] ), Group( [ ( 1, 4, 5, 2, 3) ] ), Group( [ ( 1, 5, 2, 4, 3) ] ), Group( [ ( 1, 5, 3, 2, 4) ] )

gap H:= Length(L5); 6



Список использованных источников


  1. Ван дер Варден, Б.Л. Алгебра / Б. Л. Ван дер Варден – М.: Наука, 1976. - 623 с.

  2. Кормилицына, Т. В. Решение задач теории групп в системе компьютерной алгебры GAP / Т. В. Кормилицына, С. М. Миронова // Организация проблемного обучения в школе и вузе / Межвузовский сборник научно-методических трудов. Вып. 3 / Мордов. гос. пед. ин-т – Саранск, 2008. – С. 147 – 149.

  3. Кормилицына, Т. В. Преобразование симметрии и дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / Т. В. Кормилицына // Технические и естественные науки: проблемы, теория, эксперимент: межвуз. сб. науч. тр. / Мордов. гос. университет. – Саранск, 2002. – С. 125 – 128.

  4. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Часть III/ Основные структуры / А. И. Кострикин – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004 – 495 с.

  5. Ларин, С. В. Лекции по теории групп / – Красноярск.: 1994



Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Информатика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: Прочее

Скачать
Программные средства визуализации решений задач теории групп (пакет Gap)

Автор: Понятова Екатерина Дмитриевна

Дата: 24.10.2021

Номер свидетельства: 589461

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(148) "Реферат "Программные средства визуализации решений задач теории групп (пакет Gap)""
    ["seo_title"] => string(80) "referat_programmnye_sredstva_vizualizatsii_reshenii_zadach_teorii_grupp_paket_ga"
    ["file_id"] => string(6) "595366"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1639921381"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(131) "Программные средства визуализации решений задач теории групп (пакет gap)"
    ["seo_title"] => string(75) "programmnye_sredstva_vizualizatsii_reshenii_zadach_teorii_grupp_paket_gap_2"
    ["file_id"] => string(6) "595371"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1639921835"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(114) "Программные средства визуализации решений задач теории групп"
    ["seo_title"] => string(65) "programmnye_sredstva_vizualizatsii_reshenii_zadach_teorii_grupp_2"
    ["file_id"] => string(6) "580704"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1621272214"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(131) "Программные средства визуализации решений задач теории групп (пакет Gap)"
    ["seo_title"] => string(75) "programmnye_sredstva_vizualizatsii_reshenii_zadach_teorii_grupp_paket_gap_1"
    ["file_id"] => string(6) "589462"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1635103433"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства