ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ

ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ

В последнее время бурное развитие получило новое, актуальное научное направление – компьютерная математика. Ее можно определить как совокупность теоретических, алгоритмических, аппаратных и программных средств,предназначенных для эффективного решения на компьютерной технике всех видов математических задач, включая символьные преобразования и вычисления с высокой степенью визуализации всех видов вычислений. Применение компьютерной математики существенно расширяет возможности автоматизации всех этапов математического моделирования.

Возможны два подхода к компьютерной реализации моделей и решению задач компьютерными методами.

Первый подход. Для проведения вычислений пользователь должен освоить азы алгоритмизации, изучить один или несколько языков программирования, таких, как Бейсик, Паскаль, Фортран, СИ, а также численные методы расчётов.

Второй подход заключается в использовании готовых программ и сводится к созданию блочной компьютерной модели. Для облегчения расчетов были созданы специализированные программные комплексы для автоматизации математических и инженерно-технических расчётов: Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive и другие.

Системы компьютерной математики (СКМ) позволяют провести исследование проблемы, анализ данных, моделирование, тестирование, проверку существования решения, оптимизацию, документирование и оформление результатов, они позволяют сосредоточить основное внимание на существе проблемы, оставляя в стороне технику классической математики, детали вычислительных методов и алгоритмических процедур, нюансы языков программирования и команд операционной системы.

Средства компьютерной математики интенсивно внедряются в аппарат­ные средства современной вычислительной техники. Пожалуй, ярче всего это проявляется в развитии программируемых микрокалькуляторов. Даже калькуляторы начала 80-х годов удивляли знающих пользователей своими математическими способностями. Например, помещаемые в нагрудном кар­мане рубашки научные калькуляторы НР-15С запросто вычисляли сложные интегралы и производные функций, оперировали матрицами с действитель­ными и комплексными элементами, решали системы линейных и нелиней­ных уравнений и позволяли довольно просто реализовать практически лю­бые численные методы вычислений.

Новые поколения микрокалькуляторов освоили символьные вычисления и графику умеренного разрешения. Так, микрокалькуляторы HP-48Sи НР-95 способны выполнять множество аналитических операций, есть даже микро­калькуляторыTI-89 иTI-92 с встроенной системой символьной ма­тематики классаDerive. Эти и многие другие калькуляторы заметно продвинулись в части визуализации вычислений как при вводе данных, так и выводе их результатов. Экраны их дисплеев уже отображают таблицы, математические формулы и графики.

Современные микропроцессоры, математические сопроцессоры и графические процессоры видеоплат используют средства компьютерной математики, связанные с обработкой массивов информации, ин­терполяцией и аппроксимацией функ­ций, дискретным преобразованием Фу­рье и т.д. К сожалению, доступ пользо­вателей к аппаратным средствам компь­ютерной математики практически за­крыт. В тоже время с позиций математи­ки в этих средствах нет ничего нового, что не было бы "прозрачно" реализова­но в современных программных средст­вах ЭВМ – в системах компьютерной математики. И вообще надо сказать, что программные средства математики развиваются намного быстрее аппаратных.

В настоящее время компьютерные математические системы можно (достаточно условно) подразделить на 7 основных классов:

1. Системы для численных расчетов

2. Табличные процессоры

3. Матричные системы

4. Системы для статистических расчетов

5. Системы для специальных расчетов

6. Системы для аналитических расчетов (компьютерной алгебры)

7. Универсальные системы

Каждая из математических систем имеет определенные специфические для нее свойства, которые необходимо учитывать при решении конкретных математических задач.

Компьютерные математические системы как класс специализированных программных средств, рассчитанных на индивидуальную работу, возникли лишь в начале 80-х годов XXвека. Этому способствовало зарождение в это же время индустрии персональных компьютеров (ПК), что открыло дорогу таким системам к массовому пользователю. Отдельные системы (например,MATLAB) были известны задолго этого, но они были реализованы лишь на больших ЭВМ и были доступными ограниченному кругу лиц. Эти системы представляли средства коллективного пользования, применение которых даже для решения простых задач требовало участия многих специалистов.

Сейчас такие системы благодаря их установке на ПК доступны педаго­гам и ученым, студентам и школьникам не только в коллективном, но и в индивидуальном порядке. Они используются в университетах и вузах, шко­лах и колледжах (особенно с математическим уклоном). Велика роль таких систем и в автоматизации научно-технических расчетов и в математическом моделировании природных явлений и технических систем и устройств.

В настоящее время применяется множество математических программ – от простых калькуляторов, встроенных в операционные системы типа Win­dows, до универсальных систем, при полной инсталляции занимающих мно­гие сотни Мбайт памяти на жестком диске (MATLAB5.2.1 и 5.3), и программ­ных комплексов, интегрирующих ряд таких программ. Здесь особо надо отметить системы классаMathcad, новые версии которых содержат системный интеграторMathConnex, обеспечивающий прямую интеграциюMathcadс почти полутора десятками программ разного класса.

Интересно и еще одно направление интеграции - объединение возмож­ностей текстовых редакторов (прежде всего в форматах WordиLaTEX) с математическими системами. К таким разработкам относятся Scientific NoteBook, MathOffice, Scientific Workplace и др. Подобные программные комплексы позволяют готовить электронные документы и книги высочайше­го качества с "живыми" примерами математических расчетов.

Помимо указанного деления на классы, правомерно деление компьютер­ных математических систем и по сложности решаемых ими задач. Так, мож­но выделить системы начального уровня (например, DeriveиMuPAD), ори­ентированные на решение задач школьного образования и применение их студентами младших курсов вузов. К системам среднего класса можно отне­сти новую системуMuPADи ставшую весьма популярной системуMathcad. Высший класс представлен системами компьютерной алгебрыMathematica2/3 иMapleVR3/R4/R5.

А такого "монстра" среди систем компьютерной математики, как мат­ричную систему MATLAB5.0/5.3.1 с ее многочисленными пакетами расши­рения и трудно укладываемой в нашем сознании стоимостью, можно отне­сти к особо элитным и потому дорогим системам для избранных и весьма придирчивых пользователей. Это как бы "Мерседес-600" в мире математиче­ских систем. Тем не менее в этой книге вы ознакомитесь со всеми этими системами.

К сожалению, на нашем и мировом рынках массовые системы компью­терной математики представлены только зарубежными программами. Это связано с тем, что современные программы этого класса относятся к числу наиболее сложных программных продуктов, требующих для своей разработ­ки больших интеллектуальных, трудовых и финансовых затрат. Пик разра­ботки таких программ пришелся на начало 90-х годов, что совпало с распа­дом СССР и возникновением в России глубокого экономического и финансо­вого кризиса. В таких условиях, увы, создание программ, способных конку­рировать с многочисленными зарубежными программами компьютерной ма­тематики, стало практически невозможным. Однако благодаря известным дос­тоинствам операционных систем класса Windowsнет никаких принципиаль­ных ограничений на применение зарубежных программ компьютерной мате­матики русскоязычными пользователями, хотя определенные неудобства (на­пример, англоязычные справочные системы) есть налицо.

Рассмотрим особенности каждого из выше упомянутых классов математических систем.

Системы компьютерной математики для численных расчетов.

Задачи, решаемые системами для численных расчетов.

К наиболее распространенным средствам, предоставляемым системами для численных расчетов, относятся:

• арифметические и алгебраические операторы и функции;

• функции для работы с комплексными числами;

• тригонометрические и гиперболические функции;

• обратные тригонометрические и гиперболические функции;

• логические операторы и функции;

• векторные и матричные операторы и функции;

• средства для решения систем линейных алгебраических уравнений;

• специальные математические функции;

• средства арифметики степенных многочленов (полиномов);

• функции для нахождения комплексных корней многочленов;

• функции для решения систем нелинейных алгебраических уравнений;

• средства для решения систем дифференциальных уравнений;

• средства оптимизации функций и линейного программирования;

• средства одномерной и многомерной интерполяции;

• средства создания двухмерных и трехмерных графиков;

• типовые средства программирования.

Системами для численных расчетов являются:

• Встроенные калькуляторы Windows.

• Табличные процессоры.

• Математические системы EurekaиMercury.

Современные универсальные системы имеют следующую типовую структуру:

Рисунок 1. Типовая архитектура СКМ

Во всем мире созданы десятки СКМ, но широкую известность получило лишь несколько систем

MuPAD – СКМ начального уровня. Они ориентированы на школьное и высшее образование по специальностям, не требую-щим расширенной математической подготовки. Обладают недоста-точно развитыми, хотя и постоянно улучшающимися возможностями графической визуализации результатов вычислений. Система Derive

Mathcad – система, ориентированная на высшее образование, выполнение умеренно сложных численных и аналитических расчетов с максимальным использованием естественного математического языка представления вычислений [7, 24]. Имеет прекрасный интер-фейс и обширные возможности графической визуализации вычисле-ний. Является самой массовой СКМ.

Maple, Mathematica – универсальные системы, ориентирован-ные на выполнение аналитических вычислений на любом уровне, вплоть до профессионального [8, 9]. Широко применяются в системе высшего образования и в практике выполнения научных расчетов.

MATLAB+Simulink – мощные и большие (занимают до 1-1,5 Гбайт на жестком диске) системы, ориентированные на матричные и численные методы вычислений, реализацию численных расчетов по-вышенной сложности, математическое моделирование систем и уст-ройств [10]. Имеют десятки пакетов расширения по различным облас-тям математики и многим (в том числе новейшим) сферам ее приме-нения.

Можно выделить следующие общие направления развития со-временных СКМ:

• превращение СКМ в интеллектуальные системы представления знаний и их экспертной оценки;

• интеграция систем друг с другом и с рядом других офисных и гра-фических программ;

• расширенные возможности вычислений, охватывающие все прак-тически важные и фундаментальные области математики;

• расширенная степень визуализации вычислений;

• превращение СКМ в универсальные системы;

• внедрение новых функций, например для вейвлет-преобразований, обработки сигналов, реализации нечеткой логики, нейронных сетей и др.;

• внедрение в СКМ средств, позволяющих на их основе готовить полноценные электронные учебники в различных форматах;

• возможность создания документов с текстами, формульными вы-ражениями, рисунками и графиками высочайшего полиграфиче-ского качества.

Указанные в этих направлениях достоинства СКМ делают их в одинаковой мере привлекательными для научных работников и инже-неров, преподавателей и студентов образовательных учреждений и даже для лиц, просто увлекающихся математическими расчетами.

Достоинства СКМ MathCad как справочного инструмента и мощного редактора математических текстов не вызывают сомнений, также бесспорны его возможности в качестве совершенного калькулятора для научных расчетов.

Трудно переоценить значение СКМ в сфере образования. В 70-х годах прошлого века курсовые работы по математике выполнялись на механических вычислительных машинах (арифмометрах) "Феликс" и требовали многих дней кропотливой работы, которая выполняется в СКМ за доли секунды. Появилась возможность, образно говоря, "пощупать математику руками".

Более того, СКМ MathCad в полном смысле является высокоинтеллектуальной базой знаний. Наличие интеллекта СКМ в принципиальном толковании – вопрос очень тонкий. Действительно ли он есть? Или все это только искусное применение очень мощного инструмента и умение творчески истолковать нетривиальный результат? Оставим это философам. Но если определить интеллект программного продукта как способность решать сложные математические задачи, не только в случаях, когда технический ход решения не контролируется пользователем (а, может быть, просто неизвестен ему), но и в ситуации, когда общий алгоритм и выбор способа решения остаются за пределами его внимания, когда важна лишь твердая уверенность в принципиальном существовании такого решения, надежность самой СКМ и возможность оперативной и корректной проверки результата, например, обратным преобразованием, то все это в современных СКМ есть, или почти есть. Типичный примеры упомянутых задач – поискпервообразной или решение ЛОДУ. СКМ развиваются – было показано, что задачи, которые приводились как пример ограниченности творческих возможностей СКМ MathCad прежних версий, успешно решаются в новых. По-видимому, скоро подобных примеров вообще не останется.

Были продемонстрированы достоинства символьных методов расчета и большие возможности современных СКМ по их реализации.

Сравнительная оценка различных СКМ показывает, что для целей изучения математики и решения прикладных задач общего характера более всего подходит СКМ MathCad, а для узкоспециальных высокопрофессиональных задач предпочтительней СКМ Мathematica.

Кратко перечислим перспективы совершенствования СКМ:

• совершенствование серверных интернет-услуг СКМ;

• совершенствование алгоритмов символьных вычислений, лозунг "Даешь любую задачу – и ЕГЭ, и конкурсную!";

• дальнейшее развитие методов графической визуализации, интеллектуальное совершенствование интерфейса пользователя;

• развитие программных средств СКМ MathCad;

• поддержка современных аппаратных решений, многоядерных процессоров и новых технологий распараллеливания вычислений, нейронных архитектур;

• расширение возможностей и скорости логического анализа, особенно при одновременной обработке многих тысяч переменных, интеграция с ГИС;

• совершенствование алгоритмов решения дифференциальных уравнений;

• новые алгоритмы вычисления корней особых уравнений с большим числом (несколько тысяч) неизвестных;

• интеграция алгоритмов биоинформатики и генной инженерии, разработка других перспективных пакетов расширений.

Список использованных источников

1. Королев, В.Т. Математика и информатика: MATHCAD : учебно-методические материалы / В.Т. Королев ; Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Российский государственный университет правосудия ; под ред. Д.А. Ловцов. - М. : Российский государственный университет правосудия, 2015. - 61 с. : ил. ; То же [Электронный ресурс]. - URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=439573 

2. [Электронный ресурс]. – RL: http://www.intuit.ru/studies/courses/3632/874/lecture/14311

3. [Электронный ресурс]. – RL:http://compress.ru/article.aspx?id=12530

4. [Электронный ресурс]. – RL: http://fizmat.smolgu.ru/images/stories/SCMP_2013/scmp-2011.pdf