Моделирование фракталов в системе Maxima

• Моделирование фракталов в системе Maxima

• Maxima

Maxima  — система для работы с символьными и численными выражениями, включающая дифференцирование, интегрирование, разложение в ряд, преобразование Лапласа, обыкновенные дифференциальные уравнения, системы линейных уравнений, многочлены, множества, списки, векторы, матрицы и тензоры.

• Из истории Maxima

• Профессор Уильям Шелтер из Техасского университета в Остине поддерживал один из вариантов системы, известный как DOE Macsyma, с 1982 года до самой своей смерти в 2001 году.
• Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
• Фрактал (от латинского слова fractus, что означает разбитый, поделенный на части)

Бенуа Мандельброт

• Что такое фракталы

Фрактал - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого.

• Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

В неживой природе:

• Границы географических объектов (стран, областей, городов) Береговые линии Горные хребты Снежинки Облака Молнии Морозные узоры на оконных стёклах Кристаллы
• Границы географических объектов (стран, областей, городов)
• Береговые линии
• Горные хребты
• Снежинки
• Облака
• Молнии
• Морозные узоры на оконных стёклах
• Кристаллы

В живой природе:

• Кораллы Морские звезды и ежи Морские раковины Цветы и растения (брокколи, капуста) Кроны деревьев и листья растений Плоды (ананас) Кровеносная система и бронхи людей и животных
• Кораллы
• Морские звезды и ежи
• Морские раковины
• Цветы и растения (брокколи, капуста)
• Кроны деревьев и листья растений
• Плоды (ананас)
• Кровеносная система и бронхи людей и животных

Свойства фракталов

• Обладает сложной структурой при любом увеличении;
• Является (приближенно) самоподобной;
• Обладает дробной метрической размерностью, которая больше топологической;
• Может быть построена рекурсивными процедурами

• Обзор пакета fractals

• треугольник Серпинского, фракталы «Дерево», «Папоротник»;
• множество Мандельброта и множества Жюлиа;
• снежинки Коха;
• отображения Пеано: кривые Серпинского и Гильберта.

• Функции пакета fractals

• Примеры

Треугольник Серпинского

• Примеры

Снежинка Коха

• Примеры

Множество Мандельброта

• Примеры

Множество Жюлиа

• Обзор пакета dynamics

• паутинная диаграмма;
• бифуркационная диаграмма;
• эволюция орбиты одно- и двумерного отображений;
• «игра в хаос»;
• система итерированных функций, заданная аффинными преобразованиями;
• множества Жюлиа, Мандельброта;

• Функции пакета dynamics

• «Игра в хаос»

• Построение аттрактора системы итерированных функций

• Множествo Жюлиа

• Множество Мандельброта