kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Нажмите, чтобы узнать подробности

Данная работа использовалась при изучении раздела математическая логика. Работа состоит из пяти разделов: основные этапы развития логики, формальная логика, основные понятия логики, логические операции, законы  логики. Основное внимание уделено истории развития логики, как науки, Портретная галерея  ученых внесших вклад в развитие логики.

Просмотр содержимого документа
«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ »

DVS films – Saratov - 2012 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА  И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

DVS films – Saratov - 2012

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

DVS films – Saratov - 2012 Содержание Основные этапы развития логики 3 1 Формальная логика 2 Основные понятия логики 3 3 Законы логики 4

DVS films – Saratov - 2012

Содержание

Основные этапы развития логики

3

1

Формальная логика

2

Основные понятия логики

3

3

Законы логики

4

DVS films – Saratov - 2012 Понятие логики Логика (др.-греч. λογική — «наука о правильном мышлении», «искусство рассуждения» от λόγος — «речь» ) — наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка. Наука о способах Наука о способах Логика Наука о формах

DVS films – Saratov - 2012

Понятие логики

Логика (др.-греч. λογική — «наука о правильном мышлении», «искусство рассуждения» от λόγος — «речь» ) — наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка.

Наука о способах

Наука о способах

Логика

Наука о формах

DVS films – Saratov - 2012 Основные этапы развития логики  Логика как самостоятельная наука начала формироваться в Индии, Китае, Греции задолго до нашей эры. Логика как самостоятельная наука начала формироваться в Индии, Китае, Греции задолго до нашей эры. Наиболее обстоятельно теоретические проблемы логики были разработаны и систематизированы в Древней Греции. Наиболее обстоятельно теоретические проблемы логики были разработаны и систематизированы в Древней Греции.

DVS films – Saratov - 2012

Основные этапы развития логики

  • Логика как самостоятельная наука начала формироваться в Индии, Китае, Греции задолго до нашей эры.
  • Логика как самостоятельная наука начала формироваться в Индии, Китае, Греции задолго до нашей эры.
  • Наиболее обстоятельно теоретические проблемы логики были разработаны и систематизированы в Древней Греции.
  • Наиболее обстоятельно теоретические проблемы логики были разработаны и систематизированы в Древней Греции.

DVS films – Saratov - 2012 Основные этапы развития логики Древняя Греция Китай Индия Начало истории логики «Органон» Аристотеля – первые труды по формальной логике Развитие логики Аристотеля исламскими логиками Схоластическая логика. Представители: Уильям Оккама, Альберт Саксонский и Уолтер Берли.  Дж. Буль, О. де Морган, Г. Фреге, Ч. Пирс Внесли огромный вклад в развитие символической логики Развитие и подъем средневековой европейской логики до XIV в . Приминение математических методов для обнаружения истинного значения выражений естественного языка Конец XIX – нач.XX вв. – заложены основы математической (символической) логики

DVS films – Saratov - 2012

Основные этапы развития логики

Древняя Греция

Китай

Индия

Начало истории логики

«Органон» Аристотеля

– первые труды по

формальной логике

Развитие логики Аристотеля

исламскими логиками

Схоластическая логика. Представители:

Уильям Оккама,

Альберт Саксонский и Уолтер Берли.

Дж. Буль,

О. де Морган,

Г. Фреге, Ч. Пирс

Внесли огромный

вклад в развитие

символической

логики

Развитие и подъем

средневековой

европейской логики до XIV в .

Приминение математических методов для обнаружения истинного значения выражений естественного языка

Конец XIX – нач.XX вв. –

заложены основы

математической

(символической) логики

DVS films – Saratov - 2012 Древняя Греция Демокрит (460-370 гг. до н. э.). Он - создатель системы логики, которая была отражена в специальном трактате «О логике, или Каноны».

DVS films – Saratov - 2012

Древняя Греция

Демокрит

(460-370 гг. до н. э.).

Он - создатель системы логики, которая была отражена в специальном трактате «О логике, или Каноны».

DVS films – Saratov - 2012 Древняя Греция Сократ (около 470-399 гг. до н. э.) Сократ, считал, что любой предмет может быть познан лишь в том случае, если его можно свести к общему понятию. И судить о нем необходимо на основе этого понятия.

DVS films – Saratov - 2012

Древняя Греция

Сократ

(около 470-399 гг. до н. э.)

Сократ, считал, что любой предмет может быть познан лишь в том случае, если его можно свести к общему понятию. И судить о нем необходимо на основе этого понятия.

DVS films – Saratov - 2012 Древняя Греция Платон (427-347 гг. до н. э.). Излюбленным логическим приемом Платона была дихотомия, т.е. деление понятия А на В и не-В (например, преступления делятся на умышленные и неумышленные)..

DVS films – Saratov - 2012

Древняя Греция

Платон

(427-347 гг. до н. э.).

Излюбленным логическим приемом Платона была дихотомия, т.е. деление понятия А на В и не-В (например, преступления делятся на умышленные и неумышленные)..

DVS films – Saratov - 2012 Древняя Греция Аристотель (384-322 гг. до н. э.). Обнаружил, что знания, каков бы ни был их источник, выражаются в языке. Чтобы их исследовать, нужно рассмотреть формальную, то есть логическую структуру предложений и основных типов понятий, которые выражают и формулируют знания.  Заслуга Аристотеля в том, что он открыл и сформулировал законы правильного мышления: закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего.

DVS films – Saratov - 2012

Древняя Греция

Аристотель

(384-322 гг. до н. э.).

Обнаружил, что знания, каков бы ни был их источник, выражаются в языке. Чтобы их исследовать, нужно рассмотреть формальную, то есть логическую структуру предложений и основных типов понятий, которые выражают и формулируют знания.

Заслуга Аристотеля в том, что он открыл и сформулировал законы правильного мышления: закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего.

DVS films – Saratov - 2012 Древняя Греция

DVS films – Saratov - 2012

Древняя Греция

DVS films – Saratov - 2012 Логика в средневековье У. Оккам (1285-1349) Представитель номинализма, полагал, что реально существуют только единичные предметы, а общие понятия - лишь имена, названия для них.

DVS films – Saratov - 2012

Логика в средневековье

У. Оккам

(1285-1349)

Представитель номинализма, полагал, что реально существуют только единичные предметы, а общие понятия - лишь имена, названия для них.

DVS films – Saratov - 2012 Арабоязычная логика Аль-Фараби  (870-950) Прокомментировал весь аристотелевский «Органон». Его логика направлена на анализ научного мышления. Выделяет в логике две ступени: одна охватывает представления и понятия; другая - теорию суждений, выводов и доказательств.

DVS films – Saratov - 2012

Арабоязычная логика

Аль-Фараби (870-950)

Прокомментировал весь аристотелевский «Органон». Его логика направлена на анализ научного мышления. Выделяет в логике две ступени: одна охватывает представления и понятия; другая - теорию суждений, выводов и доказательств.

DVS films – Saratov - 2012 Арабоязычная логика Ибн Сина (980-1037) Он стремится обобщить аристотелевскую силлогистику, установить зависимость между категорическими и условными суждениями .

DVS films – Saratov - 2012

Арабоязычная логика

Ибн Сина (980-1037)

Он стремится обобщить аристотелевскую силлогистику, установить зависимость между категорическими и условными суждениями .

DVS films – Saratov - 2012 Эпоха Возрождения (XV-XVI вв.) Ф. Бекон (1561-1626). Задача логики, состоит в обосновании индуктивных выводов, в которых рассуждения человека идут от частного знания к знанию общему. Он предложил использовать логику в качестве эффективного орудия для осуществления научных открытий.

DVS films – Saratov - 2012

Эпоха Возрождения (XV-XVI вв.)

Ф. Бекон

(1561-1626).

Задача логики, состоит в обосновании индуктивных выводов, в которых рассуждения человека идут от частного знания к знанию общему.

Он предложил использовать логику в качестве эффективного орудия для осуществления научных открытий.

DVS films – Saratov - 2012 Эпоха Возрождения (XV-XVI вв.) Р. Декарт (1596-1650). 1) истинно лишь то, что познано, проверено и доказано; 2) расчленять сложное на простое; 3) восходить от простого к сложному, от более очевидного к менее очевидному; 4) исследовать предмет во всех деталях.

DVS films – Saratov - 2012

Эпоха Возрождения (XV-XVI вв.)

Р. Декарт

(1596-1650).

1) истинно лишь то, что познано, проверено и доказано; 2) расчленять сложное на простое; 3) восходить от простого к сложному, от более очевидного к менее очевидному; 4) исследовать предмет во всех деталях.

DVS films – Saratov - 2012 Немецкая классическая философия И. Кант (1724-1804) И. Кант выступил против абсолютизации законов логики. Логика, по его мнению, должна изучать форму мышления в отрыве от его содержания, т.е. независимо от объекта мышления.

DVS films – Saratov - 2012

Немецкая классическая философия

И. Кант

(1724-1804)

И. Кант выступил против абсолютизации законов логики. Логика, по его мнению, должна изучать форму мышления в отрыве от его содержания, т.е. независимо от объекта мышления.

DVS films – Saratov - 2012 Немецкая классическая философия Г. Гегель (1770-1831) Свое отношение к этой науке, как «метафизической», он строил исходя из объективно-идеалистической идеи о тождестве законов мышления и бытия.

DVS films – Saratov - 2012

Немецкая классическая философия

Г. Гегель

(1770-1831)

Свое отношение к этой науке, как «метафизической», он строил исходя из объективно-идеалистической идеи о тождестве законов мышления и бытия.

DVS films – Saratov - 2012 Российская школа логики М.И. Каринский (1840-1917) Основной замысел его логической теории характеризуется стремлением построить аксиоматико-дедуктивную систему логики, исходя из основного отношения равенства (т.е. «тождества»); описать в ней дедуктивные и индуктивные умозаключения.

DVS films – Saratov - 2012

Российская школа логики

М.И. Каринский

(1840-1917)

Основной замысел его логической теории характеризуется стремлением построить аксиоматико-дедуктивную систему логики, исходя из основного отношения равенства (т.е. «тождества»); описать в ней дедуктивные и индуктивные умозаключения.

DVS films – Saratov - 2012 Цели и задачи логики Основная цель (функция) логики - исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие. Цель Одна из главных задач логики — определить, как  прийти  к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления.. Задача Логика служит одним из инструментов почти любой науки . Вывод

DVS films – Saratov - 2012

Цели и задачи логики

Основная цель (функция) логики - исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие.

Цель

Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления..

Задача

Логика служит одним из инструментов почти любой науки

.

Вывод

DVS films – Saratov - 2012  Формальная логика Форма́льная ло́гика  — конструирование и исследование правил преобразования высказываний, сохраняющих их истинностное значение безотносительно к содержанию входящих в эти высказывания понятий. Основоположником формальной логики является Аристотель , чьи труды о логике в дальнейшем стали основой данного течения. В истории философии — отдельный раздел или направление логики конца XIX—начала XX века.

DVS films – Saratov - 2012

Формальная логика

Форма́льная ло́гика — конструирование и исследование правил преобразования высказываний, сохраняющих их истинностное значение безотносительно к содержанию входящих в эти высказывания понятий.

Основоположником формальной логики является Аристотель , чьи труды о логике

в дальнейшем стали основой данного течения.

В истории философии — отдельный раздел или направление логики конца XIX—начала XX века.

DVS films – Saratov - 2012  Основные понятия логики

DVS films – Saratov - 2012

Основные понятия логики

  • Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно.
  • Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть.
  • Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом.
  • Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение.
  • Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА или ЛОЖЬ.
DVS films – Saratov - 2012 Логические законы Закон противоречия — «не противоречь сам себе». Два несовместимых суждения не могут быть одновременно истинными. Закон исключенного третьего — «А или не-А истинно, третьего не дано». Два противоположных суждения не могут быть одновременно ложными (либо истинными), одно из них необходимо истинно (либо ложно). Зако́н то́ждества —«Если А, то А, или А ≡ А». Предмет суждения должен оставаться тождественным самому себе в этом суждении. Простой категорический силлоги́зм (греч. συλλογισμός) — рассуждение, состоящее из трёх простых атрибутивных высказываний: двух посылок и одного заключения . Посылки силлогизма разделяются на бо́льшую (которая содержит предикат заключения) и меньшую (которая содержит субъект заключения).

DVS films – Saratov - 2012

Логические законы

  • Закон противоречия — «не противоречь сам себе». Два несовместимых суждения не могут быть одновременно истинными.
  • Закон исключенного третьего — «А или не-А истинно, третьего не дано». Два противоположных суждения не могут быть одновременно ложными (либо истинными), одно из них необходимо истинно (либо ложно).
  • Зако́н то́ждества —«Если А, то А, или А ≡ А». Предмет суждения должен оставаться тождественным самому себе в этом суждении.

Простой категорический силлоги́зм (греч. συλλογισμός) — рассуждение, состоящее из трёх простых атрибутивных высказываний: двух посылок и одного заключения .

Посылки силлогизма разделяются на бо́льшую (которая содержит предикат заключения) и меньшую (которая содержит субъект заключения).

DVS films – Saratov - 2012 Простой категорический силлогизм В силлогизм входит три термина: S — меньший термин:  субъект заключения (входит также в меньшую посылку); P — больший термин:  предикат заключения (входит также в большую посылку); M — средний термин:  входит в обе посылки, но не входит в заключение. Всякий человек смертен бо́льшая посылка Сократ смертен заключение Сократ — человек меньшая посылка

DVS films – Saratov - 2012

Простой категорический силлогизм

В силлогизм входит три термина:

S — меньший термин: субъект заключения (входит также в меньшую посылку);

P — больший термин: предикат заключения (входит также в большую посылку);

M — средний термин: входит в обе посылки, но не входит в заключение.

Всякий человек смертен

бо́льшая посылка

Сократ смертен

заключение

Сократ — человек

меньшая посылка

DVS films – Saratov - 2012 Аналогия Анало́гия (др.-греч. ἀναλογἰα — соответствие, сходство) — подобие, равенство отношений; сходство предметов (явлений, процессов) в каких-либо свойствах, а также познание путём сравнения . Между сравниваемыми вещами должно иметься как различие, так и подобие; то, что является основой сравнения, должно быть более знакомым, чем то, что подлежит сравнению. Пример: Два куба. Одинаковая величина и форма – основа сравнения , наиболее явный общий признак. Сравниваемые признаки предметов – различные между собой оттенки одного цвета. 1 2 Модель аналогии (лат. modus — образец, копия, образ) — предметная, математическая или абстрактная система, имитирующая или отображающая принципы внутренней организации, функционирования, особенностей исследуемого объекта (оригинала), непосредственное изучение, которого, по разным причинам, невозможно или усложнено.

DVS films – Saratov - 2012

Аналогия

Анало́гия (др.-греч. ἀναλογἰα — соответствие, сходство) — подобие, равенство отношений; сходство предметов (явлений, процессов) в каких-либо свойствах, а также познание путём сравнения .

Между сравниваемыми вещами должно иметься как различие, так и подобие; то, что является основой сравнения, должно быть более знакомым, чем то, что подлежит сравнению.

Пример: Два куба.

Одинаковая величина и форма –

основа сравнения , наиболее

явный общий признак.

Сравниваемые признаки

предметов – различные между

собой оттенки одного цвета.

1

2

Модель аналогии (лат. modus — образец, копия, образ) — предметная,

математическая или абстрактная система, имитирующая или отображающая

принципы внутренней организации, функционирования, особенностей

исследуемого объекта (оригинала), непосредственное изучение, которого,

по разным причинам, невозможно или усложнено.

DVS films – Saratov - 2012 Доказательство Доказательство — это совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо суждения с помощью других истинных и связанных с ним суждений. Структура доказательства: Тезис — утверждение, истинность которого надо доказать Аргументы и факты  — это те истинные суждения, которыми пользуются при доказательстве тезиса Демонстрация (форма доказательства) — способ обоснованной логической связи между утверждаемым тезисом и аргументами Виды Прямое Виды Прямое

DVS films – Saratov - 2012

Доказательство

Доказательство — это совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо суждения с помощью других истинных и связанных с ним суждений.

Структура доказательства:

Тезис — утверждение, истинность которого надо доказать

Аргументы и факты — это те истинные суждения, которыми пользуются при доказательстве тезиса

Демонстрация (форма доказательства) — способ обоснованной логической связи между утверждаемым тезисом и аргументами

Виды

Прямое

Виды

Прямое

образованны из простых высказываний с помощью логических связок (операций). DVS films – Saratov - 2012 Высказывания Высказыванием является повествовательное предложение, которое формализует некоторое выражение мысли. Это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: истина или ложь. Пример:  A(x) = «В городе x идет дождь.» A — высказывательная форма, x — объект. Высказывательной формой  называется логическое высказывание, в котором один из объектов заменён переменной. При подстановке вместо переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание. Виды Элементарные Элементарные Виды

образованны из простых

высказываний с

помощью логических

связок (операций).

DVS films – Saratov - 2012

Высказывания

Высказыванием является повествовательное предложение, которое формализует некоторое выражение мысли.

Это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: истина или ложь.

Пример:

A(x) = «В городе x идет дождь.»

A — высказывательная форма, x — объект.

Высказывательной формой называется логическое высказывание, в котором один из объектов заменён переменной.

При подстановке вместо переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание.

Виды

Элементарные

Элементарные

Виды

DVS films – Saratov - 2012 Логические операции Основные операции над логическими высказываниями: Дизъюнкция двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ A B 1 1 1 F 0 1 0 0 1 1 0 1 0 Конъюнкция двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И. A 1 B 1 1 F 1 0 0 0 1 0 0 0 0

DVS films – Saratov - 2012

Логические операции

Основные операции над логическими высказываниями:

Дизъюнкция двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно.

Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ

A

B

1

1

1

F

0

1

0

0

1

1

0

1

0

Конъюнкция двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны.

Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И.

A

1

B

1

1

F

1

0

0

0

1

0

0

0

0

DVS films – Saratov - 2012 Логические операции Отрицание логического высказывания  — логическое высказывание, принимающее значение «истинно», если исходное высказывание ложно, и наоборот. Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО. А 1 неА 0 0 1 A B 1 F 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 Импликация  двух логических высказываний A и B — логическое высказывание, ложное только тогда, когда B ложно, а A истинно. Обозначается символом

DVS films – Saratov - 2012

Логические операции

Отрицание логического высказывания — логическое высказывание, принимающее значение «истинно», если исходное высказывание ложно, и наоборот.

Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

А

1

неА

0

0

1

A

B

1

F

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

Импликация двух логических высказываний A и B — логическое высказывание, ложное только тогда, когда B ложно, а A истинно.

Обозначается символом "следовательно" и выражается словами ЕСЛИ … , ТО …

A

1

B

F

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Равносильность (эквивалентность) двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или ложны.

www.themegallery.com Операции над высказываниями РАЗМИНКА 1. 2. 3.

www.themegallery.com

Операции над высказываниями

РАЗМИНКА

1.

2.

3.

www.themegallery.com Операции над высказываниями Формула является  тождественно истинной (тождественно ложной) , если она истинна (ложна) при любых значениях входящих в неё переменных. Задача 1.1 Показать, что операция есть тождественно истинная, а - тождественная ложь. А 0 не А 1 1 0 0 0 А 0 не А 1 1 1 0 1

www.themegallery.com

Операции над высказываниями

Формула является  тождественно истинной (тождественно ложной) , если она истинна (ложна) при любых значениях входящих в неё переменных.

Задача 1.1

Показать, что операция

есть тождественно истинная, а

- тождественная ложь.

А

0

не А

1

1

0

0

0

А

0

не А

1

1

1

0

1

www.themegallery.com Операции над высказываниями А 0 В 0 ⌐ А 0 1 1 ⌐ В 1 0 1 1 1 ⌐ В→⌐А 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 А 0 В А → В 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1

www.themegallery.com

Операции над высказываниями

А

0

В

0

А

0

1

1

В

1

0

1

1

1

В→⌐А

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

А

0

В

А → В

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

DVS films – Saratov - 2012 Операции над высказываниями А 0 В А ≈ В 0 А 0 0 1 1 1 В 1 0 0 А→В 0 0 1 0 1 1 1 В→А 1 1 0 1 1 (А→В)и(В→А) 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1

DVS films – Saratov - 2012

Операции над высказываниями

А

0

В

А ≈ В

0

А

0

0

1

1

1

В

1

0

0

А→В

0

0

1

0

1

1

1

В→А

1

1

0

1

1

(А→В)и(В→А)

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

DVS films – Saratov - 2012 Операции над высказываниями a) б) Решение: а) А=1, В = 0. 1 ↔ ┐0 = 1 ↔ 1 = 1; б) А=1, В = 0. ┐0 ↔ ┐1 = 1 ↔ 0 = 0;

DVS films – Saratov - 2012

Операции над высказываниями

a)

б)

Решение:

а) А=1, В = 0. 1 ↔ ┐0 = 1 ↔ 1 = 1;

б) А=1, В = 0. ┐0 ↔ ┐1 = 1 ↔ 0 = 0;

DVS films – Saratov - 2012 Операции над высказываниями Решение:  Если треугольник равнобедренный и неравносторонний, то неверно, что он неравнобедренный.

DVS films – Saratov - 2012

Операции над высказываниями

Решение:

Если треугольник равнобедренный и неравносторонний, то неверно, что он неравнобедренный.

DVS films – Saratov - 2012 Операции над высказываниями Решение: Это число либо целое и простое, либо положительное и делящееся на 3.

DVS films – Saratov - 2012

Операции над высказываниями

Решение:

Это число либо целое и простое, либо положительное и делящееся на 3.

DVS films – Saratov - 2012 Операции над высказываниями Если в треугольнике любая его медиана не является высотой и биссектрисой, то этот треугольник не равнобедренный и не равносторонний. Решение: А: «В треугольнике некоторая его медиана является высотой»; В: «В треугольнике некоторая его медиана является биссектрисой»; С: «Этот треугольник равнобедренный»; D: «Этот треугольник равносторонний».

DVS films – Saratov - 2012

Операции над высказываниями

Если в треугольнике любая его медиана не является высотой и биссектрисой, то этот треугольник не равнобедренный и не равносторонний.

Решение:

А: «В треугольнике некоторая его медиана является высотой»;

В: «В треугольнике некоторая его медиана является биссектрисой»;

С: «Этот треугольник равнобедренный»;

D: «Этот треугольник равносторонний».

DVS films – Saratov - 2012 Операции над высказываниями a) б) Решение: а) По определению дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда по меньшей мере одно из этих высказываний истинно. Следовательно, высказывание A v 1 истинно, независимо от логического значения высказывания А. б) Ясно, что высказывания А и ┐А имеют противоположные логические значения (т.е. О и 1 или 1 и 0). Поскольку эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда эти высказывания имеют одинаковые значения истинности, то эквивалентность А↔┐А высказываний А и ┐A ложна, независимо от значения истинности высказывания А.

DVS films – Saratov - 2012

Операции над высказываниями

a)

б)

Решение:

а) По определению дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда по меньшей мере одно из этих высказываний истинно. Следовательно, высказывание A v 1 истинно, независимо от логического значения высказывания А.

б) Ясно, что высказывания А и ┐А имеют противоположные логические значения (т.е. О и 1 или 1 и 0). Поскольку эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда эти высказывания имеют одинаковые значения истинности, то эквивалентность А↔┐А высказываний А и ┐A ложна, независимо от значения истинности высказывания А.

DVS films – Saratov - 2012  Законы логики

DVS films – Saratov - 2012

Законы логики

DVS films – Saratov - 2012  Законы логики Методы доказательства законов алгебры логики 1 способ . Логические рассуждения   Докажем путем логических рассуждений первый закон поглощения:   Покажем, что если правая часть данного выражения истинна, то и левая часть тоже истинна. Пусть правая часть истинна, то есть х = 1, тогда в левой части получаем дизъюнкцию, один из аргументов которой – истина. Тогда по определению дизъюнкции и вся левая часть истинна.   Покажем теперь, что если левая часть истинна, то и правая часть тоже истинна. Пусть левая часть истинна. Тогда по определению дизъюнкции истинна или формула x , или формула x & y, или обе эти формулы одновременно. Если x ложна, тогда по определению конъюнкции x & y тоже ложна. Значит, x может быть только истиной.

DVS films – Saratov - 2012

Законы логики

Методы доказательства законов алгебры логики

1 способ . Логические рассуждения

Докажем путем логических рассуждений первый закон поглощения:

Покажем, что если правая часть данного выражения истинна, то и левая часть тоже истинна. Пусть правая часть истинна, то есть х = 1, тогда в левой части получаем дизъюнкцию, один из аргументов которой – истина. Тогда по определению дизъюнкции и вся левая часть истинна. Покажем теперь, что если левая часть истинна, то и правая часть тоже истинна. Пусть левая часть истинна. Тогда по определению дизъюнкции истинна или формула x , или формула x & y, или обе эти формулы одновременно. Если x ложна, тогда по определению конъюнкции x & y тоже ложна. Значит, x может быть только истиной.

DVS films – Saratov - 2012  Законы логики Методы доказательства законов алгебры логики 2 способ . Построение таблицы истинности     Докажем первый закон де Моргана:   Как видно из построенной таблицы, на одинаковых наборах значений переменных данные формулы принимают одинаковые значения, следовательно, по определению, они тождественны.

DVS films – Saratov - 2012

Законы логики

Методы доказательства законов алгебры логики

2 способ . Построение таблицы истинности

Докажем первый закон де Моргана:

Как видно из построенной таблицы, на одинаковых наборах значений переменных данные формулы принимают одинаковые значения, следовательно, по определению, они тождественны.

DVS films – Saratov - 2012  Законы логики Методы доказательства законов алгебры логики 3способ . Тождественные преобразования      Докажем первый закон поглощения с помощью обратного применения законов поглощения единицы и дистрибутивности:

DVS films – Saratov - 2012

Законы логики

Методы доказательства законов алгебры логики

3способ . Тождественные преобразования

Докажем первый закон поглощения с помощью обратного применения законов поглощения единицы и дистрибутивности:

DVS films – Saratov - 2012 Операции над высказываниями Решение:

DVS films – Saratov - 2012

Операции над высказываниями

Решение:

www.themegallery.com  Законы логики

www.themegallery.com

Законы логики

DVS films – Saratov - 2012 Операции над высказываниями Решение:

DVS films – Saratov - 2012

Операции над высказываниями

Решение:

Your Text Your Text Your Text Your Text Your Text Your Text Your Text Your Text www.themegallery.com Diagram 2004 2001 2002 2003

Your Text

Your Text

Your Text

Your Text

Your Text

Your Text

Your Text

Your Text

www.themegallery.com

Diagram

2004

2001

2002

2003

www.themegallery.com Список литературы Бочаров В. А., Маркин В. И. Основы логики: Учебник. — М.: ИНФРА-М, 2001. Гетманова А. Д. Учебник по логике. - М.: Владос, 1995.

www.themegallery.com

Список литературы

Бочаров В. А., Маркин В. И. Основы логики: Учебник. — М.: ИНФРА-М, 2001.

Гетманова А. Д. Учебник по логике. - М.: Владос, 1995.

DVS films – Saratov - 2012 Thank You ! dvscambodia@mail.ru

DVS films – Saratov - 2012

Thank You !

dvscambodia@mail.ru


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Информатика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Автор: Дубовик Владимир Степанович

Дата: 12.06.2014

Номер свидетельства: 103182

Похожие файлы

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(114) "Программные средства визуализации решений задач теории групп"
    ["seo_title"] => string(63) "programmnye_sredstva_vizualizatsii_reshenii_zadach_teorii_grupp"
    ["file_id"] => string(6) "479383"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1538410182"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(89) "планирование по математике 3 класс Л. Г. Петерсон "
    ["seo_title"] => string(52) "planirovaniie-po-matiematikie-3-klass-l-g-pietierson"
    ["file_id"] => string(6) "154254"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1421140999"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(42) "Информатика как наука. "
    ["seo_title"] => string(21) "informatika-kak-nauka"
    ["file_id"] => string(6) "176142"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1424364118"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(96) "Исследовательская  работа "Ученики А.Н. Колмогорова" "
    ["seo_title"] => string(54) "issliedovatiel-skaia-rabota-uchieniki-a-n-kolmoghorova"
    ["file_id"] => string(6) "161702"
    ["category_seo"] => string(6) "fizika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1422268900"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(131) "Образовательная программа по математике основного общего образования "
    ["seo_title"] => string(80) "obrazovatiel-naia-proghramma-po-matiematikie-osnovnogho-obshchiegho-obrazovaniia"
    ["file_id"] => string(6) "119328"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1413386578"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства