kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Элементы комбинаторики Теория множеств Математическая логика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Элементы комбинаторики

Теория множеств

Математическая логика

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Элементы комбинаторики Теория множеств Математическая логика»

ГПОУ «Ленинск-Кузнецкий политехнический техникум» Информатика Элементы комбинаторики Теория множеств Математическая логика Преподаватель Щеглова Алена Александровна Теоретическое занятие для студентов I курса Ленинск-Кузнецкий, 2024 г

ГПОУ «Ленинск-Кузнецкий политехнический техникум»

Информатика

Элементы комбинаторики

Теория множеств

Математическая логика

Преподаватель Щеглова Алена Александровна

Теоретическое занятие

для студентов I курса

Ленинск-Кузнецкий, 2024 г

Высказывания Высказывание  это повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить истинно оно или ложно. Примеры: Москва – столица России  H+O=H 2 O

Высказывания

Высказывание это повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить истинно оно или ложно.

Примеры:

  • Москва – столица России
  • H+O=H 2 O

Классификация Высказываний общее начинается со слов: все, всякий, каждый, ни один; частное  некоторые, большинство и т.д. единичное остальные случаи.

Классификация Высказываний

  • общее начинается со слов: все, всякий, каждый, ни один;
  • частное некоторые, большинство и т.д.
  • единичное остальные случаи.

Задание Переместите высказывания к соответствующему типу общее Буква «А» - гласная Все рыбы умеют плавать единичное Некоторые медведи бурые частное

Задание

Переместите высказывания к соответствующему типу

общее

Буква «А» - гласная

Все рыбы умеют плавать

единичное

Некоторые медведи бурые

частное

Логическое выражение Логическое выражение – формула, содержащая логические величины и знаки логических операций. Виды выражений: Простое логическое выражение состоит из одного высказывания. Сложное высказывание содержит высказывания, объединяемых логическими операциями (и, или, не).

Логическое выражение

Логическое выражение – формула, содержащая логические величины и знаки логических операций.

Виды выражений:

  • Простое логическое выражение состоит из одного высказывания.
  • Сложное высказывание содержит высказывания, объединяемых логическими операциями (и, или, не).

2. Марина и Оля старше Светы. Слова в этом предложении начинаются на букву «Ч» или на букву «А». X=3 или X2." width="640"

Задание

Из двух простых высказываний составьте сложное, используя логические связки «И», «ИЛИ»

  • Марина старше Светы. Оля старше Светы.

  • Слова в этом предложении начинаются на букву «Ч». Слова в этом предложении начинаются на букву «А».

  • X=3. X2.

Марина и Оля старше Светы.

Слова в этом предложении начинаются на букву «Ч» или на букву «А».

X=3 или X2.

Логические операции A 1 B 0 A B 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Конъюнкция – в русском языке выражается союзом «И». В математи-ческой логики & или . Например: Представьте логическое выражение в виде логической формулы: Число 6 делится на 2 и число 6 делится на 3.   Решение

Логические операции

A

1

B

0

A B

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

Конъюнкция – в русском языке выражается союзом «И». В математи-ческой логики & или .

Например: Представьте логическое выражение в виде логической формулы:

Число 6 делится на 2 и число 6 делится на 3.

Решение

Логические операции  А B 1 A B 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 Дизъюнкция - в русском языке выража-ется союзом «ИЛИ». В математической логики Например: Представьте логическое выражение в виде логической формулы . Буква «А» - первая буква в слове «аист» или «сова»   Решение

Логические операции

А

B

1

A B

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

Дизъюнкция - в русском языке выража-ется союзом «ИЛИ». В математической логики

Например: Представьте логическое выражение в виде логической формулы .

Буква «А» - первая буква в слове «аист» или «сова»

Решение

Логические операции Отрицание – унарная операция записывается в виде или  А 0 1 1 1 В русском предложении выражена словами «не», «неверно».  Например: Неверно, что 4 делится на 3.  4 делится на 3 =А= 0

Логические операции

Отрицание – унарная операция записывается в виде или

А

0

1

1

1

В русском предложении выражена словами «не», «неверно».

Например: Неверно, что 4 делится на 3.

4 делится на 3 =А= 0

Задание Задание: Пусть А – «я сегодня полил цветы», а В – «я сегодня дочитал книгу». Выразите следующие формулы на обычном языке: 1. 2. 3.    Я сегодня полил цветы и дочитал книгу. Я сегодня полил цветы и не дочитал книгу. Я сегодня не полил цветы и не дочитал книгу.

Задание

Задание: Пусть А – «я сегодня полил цветы», а В – «я сегодня дочитал книгу». Выразите следующие формулы на обычном языке:

1.

2.

3.

Я сегодня полил цветы и дочитал книгу.

Я сегодня полил цветы и не дочитал книгу.

Я сегодня не полил цветы и не дочитал книгу.

Задание Заполните таблицу истинности А В 1 1 1 0 0 1 0 0  Решение

Задание

Заполните таблицу истинности

А

В

1

1

1

0

0

1

0

0

Решение

Логические операции Если «основание», то «следствие»; Когда «основание», тогда «следствие»; Коль скоро «основание», то «следствие»;  Импликация – двухместная операция, обозначается Записывается: А 1 В 1 1 А В 1 0 0 0 0 1 1 0 1

Логические операции

Если «основание», то «следствие»;

Когда «основание», тогда «следствие»;

Коль скоро «основание», то «следствие»;

Импликация – двухместная операция, обозначается

Записывается:

А

1

В

1

1

А В

1

0

0

0

0

1

1

0

1

Задание Используя связку «если …, то…», измените высказывания: 1. Человек любящий животных , - добрый.  2. В високосном году 366 дней.  Если человек любит животных, то он – добрый. Если год високосный, то в нем 366 дней.

Задание

Используя связку «если …, то…», измените высказывания:

1. Человек любящий животных , - добрый.

2. В високосном году 366 дней.

Если человек любит животных, то он – добрый.

Если год високосный, то в нем 366 дней.

Логические операции Эквивалентность Языковой аналог – союзы если и только если; тогда и только тогда, когда … . Обозначается или Пример: Людоед голоден тогда и только тогда, когда он давно не ел. Людоед голоден = А А 1 В 1 А В 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 Он давно не ел = В

Логические операции

Эквивалентность

Языковой аналог – союзы если и только если; тогда и только тогда, когда … . Обозначается или

Пример: Людоед голоден тогда и только тогда, когда он давно не ел.

Людоед голоден = А

А

1

В

1

А В

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

Он давно не ел = В

Логические операции Последовательность выполнения операций: действие в скобках; отрицание; конъюнкция; дизъюнкция; импликация; эквивалентность.

Логические операции

Последовательность выполнения операций:

  • действие в скобках;
  • отрицание;
  • конъюнкция;
  • дизъюнкция;
  • импликация;
  • эквивалентность.

Задание Найдите все значения переменных, при которых выра-жение принимает заданное значение А В 1 1 1 0 0 1 0 0 Решение

Задание

Найдите все значения переменных, при которых выра-жение принимает заданное значение

А

В

1

1

1

0

0

1

0

0

Решение

Задание Определить истинность формулы А 0 В 0 0 С 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 Решение

Задание

Определить истинность формулы

А

0

В

0

0

С

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

Решение

Задание При составлении расписания на вторник были пожелания, чтобы химия была первой или третьей парой, физика - второй или третьей, а география – первой или третьей. Можно ли удовлетворить одновременно всем высказываниям? Решение

Задание

При составлении расписания на вторник были пожелания, чтобы химия была первой или третьей парой, физика - второй или третьей, а география – первой или третьей. Можно ли удовлетворить одновременно всем высказываниям?

Решение

Задание Встретились три подруги - Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой красное, а на третьей белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то у нас платья не соответствуют фамилиям». Кто в какое платье одет?  Решение

Задание

Встретились три подруги - Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой красное, а на третьей белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то у нас платья не соответствуют фамилиям». Кто в какое платье одет?

Решение

Задание Перед началом турнира четыре болельщика высказали предположения по поводу своих кумиров: Максим победит, Сергей - 2 Сергей – 3, Андрей – 1. Максим последний, Денис -1. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из прогнозов. Какое место заняли Максим, Сергей, Андрей и Денис  Решение

Задание

Перед началом турнира четыре болельщика высказали предположения по поводу своих кумиров:

  • Максим победит, Сергей - 2
  • Сергей – 3, Андрей – 1.
  • Максим последний, Денис -1.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из прогнозов. Какое место заняли Максим, Сергей, Андрей и Денис

Решение

Задание Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию (Первая буква гласная вторая буква гласная) последняя буква гласная? Ирина Максим Артем Мария Решение

Задание

Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию

(Первая буква гласная вторая буква гласная) последняя буква гласная?

  • Ирина
  • Максим
  • Артем
  • Мария

Решение

Решение:  Число 6 делится на 2 =А=1      Число 6 делится на 3 = В=1 А&В=1

Решение:

Число 6 делится на 2 =А=1

Число 6 делится на 3 = В=1

А&В=1

Решение: Буква «А» - первая буква в слове «аист»=А=1     Буква «А» - первая буква в слове «сова»=В=0

Решение:

Буква «А» - первая буква в слове «аист»=А=1

Буква «А» - первая буква в слове «сова»=В=0

Решение: А 1 В 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1

Решение:

А

1

В

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

Решение: А В 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 Ответ: А=0, В=1, С=0

Решение:

А

В

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

Ответ: А=0, В=1, С=0

Решение: А В 0 0 0 С 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 F 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1

Решение:

А

В

0

0

0

С

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

F

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

Решение: 1 химия 2 география география 3 физика физика химия Да, можно. Два варианта.

Решение:

1

химия

2

география

география

3

физика

физика

химия

Да, можно. Два варианта.

Решение: черное Чернова - белое Белова Краснова + - красное - + - + - - Чернова - красное, Белова – черное, Краснова - белое

Решение:

черное

Чернова

-

белое

Белова

Краснова

+

-

красное

-

+

-

+

-

-

Чернова - красное, Белова – черное, Краснова - белое

Решение: Обозначим:     Из условия задачи:      Из второй таблицы видно, что Сергей-2, Андрей -1, Максим -4, а Денис -3. 1 болельщик 2 М1 болельщик 3 болельщик С2 С3 М4 А1 Д1 М1 М1 С3 С3 С2 С2 М4 М4 А1 А1 Д1 Д1

Решение:

Обозначим:

Из условия задачи:

Из второй таблицы видно, что Сергей-2, Андрей -1, Максим -4, а Денис -3.

1

болельщик

2

М1

болельщик

3

болельщик

С2

С3

М4

А1

Д1

М1

М1

С3

С3

С2

С2

М4

М4

А1

А1

Д1

Д1

Решение:  Обозначим:  Обозначим:  - отрицание по условию задачи  - отрицание по предположению  - верное предположение М:  М К: С:  М  К  С  С  М

Решение:

Обозначим:

Обозначим:

- отрицание по условию задачи

- отрицание по предположению

- верное предположение

М:

М

К:

С:

М

К

С

С

М

Решение: Рассмотрим разные варианты М: М К: К М С: С С М Виноват Миша М: К: М К М С: С С М Виноват Коля М: К: М М К С: С С М Виноват Сергей

Решение:

Рассмотрим разные варианты

М:

М

К:

К

М

С:

С

С

М

Виноват Миша

М:

К:

М

К

М

С:

С

С

М

Виноват Коля

М:

К:

М

М

К

С:

С

С

М

Виноват Сергей

По условию задачи должна получиться схема: из разбора вариантов видно, что подходит вариант №1, значит окно разбил Миша

По условию задачи должна получиться схема:

из разбора вариантов видно, что подходит вариант №1, значит окно разбил Миша

Решение: Первая буква гласная=А Вторая буква гласная=В Последняя буква гласная=С А Ирина В Максим 1 С 0 Артем 0 Мария 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0

Решение:

Первая буква гласная=А

Вторая буква гласная=В

Последняя буква гласная=С

А

Ирина

В

Максим

1

С

0

Артем

0

Мария

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

Список литературы:

Список литературы:

  • Информатика. Задачник-практикум в 2 т. Том 1/ Л.А.Залогова, С.В. Русаков и др.: под.ред. И.Г. Семакина, Е.К.Хеннера. – 5-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2008. 309 с.: ил.
  • Информатика. Основы логики. Готовимся к ЕГЭ. С.С.Крылов – М. Интеллект-Центр, 2010. – 48 с.
  • Тестирование по информатике в формате ЕГЭ: рекомендации по решению заданий / авт.-сост. М.В. Зорин, Е.М. Зорина, - Волгоград: Учитель, 2009. – 223с.
  • http://znanija.com/task/2279492
  • http://otvet.mail.ru/question/37618163
  • http://yandex.ru/clck/jsredir?from=yandex.ua%3Byandsearch%3Bweb%3B%3B&text=%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%83&uuid=&state=AiuY0DBWFJ4ePaEse6rgeAjgs2pI3DW99KUdgowt9Xtp0tflN7kEeHG_aaf4QjHbpjJ4oBNo_CAL0Odr6KX5dq6r6y3xBkNm_zdKNX_U_Bvrgi2KM0vg0gD6noaZyN524hHSek8Lgz0hvm4J6tRfWL2UvAURdTa1PdwkSsbkjX5ML6tsl1OhV8tH5Tf0soVEBGucuFFWj2w&data=UlNrNmk5WktYejR0eWJFYk1LdmtxaVEzcTA0eUF3MEZSOEMwOFEtbjlhZFFENk80dXBTakdVUWdyTTdHTEJqN0NUazdQbmVKT1lXVVZrN0s4TnYyUm5XNzlNTGRFTUsxaUt2SGxYa3dQUVRCNjNpT19IQlRWYWw1b3BSM09PUWRWOXRaUFRtNTM0bnY4bFdKNTBmY0VKMURfLWRWUGZJQ21jMmZSS09uYkZN&b64e=2&sign=56fdefd1988a62ac7fe7dcd0e0858bec&keyno=0&l10n=ru&mc=4.439218467495729
Схема Логических операций Дизъюнкция Конъюнкция Отрицание

Схема Логических операций

Дизъюнкция

Конъюнкция

Отрицание

Задание Составить схему:   2)    Решение

Задание

Составить схему:

2)

 

Решение

Решение:   

Решение:

 

Множество Объекты множества, называются его элементами Примерами множества могут быть следующие высказывания: множество кулинарных сайтов; множество кулинарных рецептов; множество кулинарных полуфабрикатов.

Множество

Объекты множества, называются его элементами

Примерами множества могут быть следующие высказывания:

  • множество кулинарных сайтов;
  • множество кулинарных рецептов;
  • множество кулинарных полуфабрикатов.

Множество Множества обозначаются заглавными буквами: A, B, ….Z, а элементы строчными: a, b,…,z.   Утверждение: «элемент а принадлежит множеству А» символически записывается так: a  A. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается  . Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества, обозначается .

Множество

Множества обозначаются заглавными буквами: A, B, ….Z, а элементы строчными: a, b,…,z.

 

Утверждение: «элемент а принадлежит множеству А» символически записывается так: a A.

Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества, обозначается .

Задание Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества: A= {столовая посуда}    Решение

Задание

Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:

A= {столовая посуда}

Решение

Решение: A= {столовая посуда}   Столовая посуда – предметы, используемые для сервировки и потребления пищи на столе. К столовой посуде относятся: тарелка, супница, солонка, хлебница, перечница, масленка, салатница, соусница, нож, вилка, ложка. Пусть множество В= {тарелка, супница, солонка, хлебница, перечница, масленка, салатница, соусница, нож, вилка, ложка} Следовательно, .

Решение:

A= {столовая посуда}

 

Столовая посуда – предметы, используемые для сервировки и потребления пищи на столе. К столовой посуде относятся: тарелка, супница, солонка, хлебница, перечница, масленка, салатница, соусница, нож, вилка, ложка.

Пусть множество В= {тарелка, супница, солонка, хлебница, перечница, масленка, салатница, соусница, нож, вилка, ложка}

Следовательно, .

Логические операции Множества A и B находятся в общем положении пересечения, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам. Обозначение пересечения: A  B.

Логические операции

Множества A и B находятся в общем положении пересечения, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам.

Обозначение пересечения: A B.

Задание Определите результат пересечения множеств А – множество ингредиентов, которые входят в состав салата «Оливье» и В – множество ингредиентов, которые входят в состав салата «Крабовый с кукурузой».    Решение

Задание

Определите результат пересечения множеств А – множество ингредиентов, которые входят в состав салата «Оливье» и В – множество ингредиентов, которые входят в состав салата «Крабовый с кукурузой».

Решение

Решение: картошка, морковь, соленые огурцы, зеленый горошек, вареная колбаса, куриные яйца, укроп, майонез крабовые палочки, куриные яйца, свежие огурцы, кукуруза консервированная, соль, майонез куриные яйца, майонез

Решение:

картошка, морковь, соленые огурцы, зеленый горошек, вареная колбаса, куриные яйца, укроп, майонез

крабовые палочки, куриные яйца, свежие огурцы, кукуруза консервированная, соль, майонез

куриные яйца, майонез

Логические операции Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В. Обозначение пересечения: A  B.

Логические операции

Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В. Обозначение пересечения: A B.

Задание Определите результат объединение множеств А – множество ингредиентов, которые входят в состав крема и В – множество ингредиентов, которые входят в состав украшения.    Решение

Задание

Определите результат объединение множеств А – множество ингредиентов, которые входят в состав крема и В – множество ингредиентов, которые входят в состав украшения.

Решение

Решение: сметана, куриные яйца, сахар, масло сливочное, мука, сахар ванильный кокосовая  стружка Ответ: A  B ={сметана, куриные яйца, сахар, масло сливочное, мука, сахар ванильный, кокосовая стружка}

Решение:

сметана, куриные яйца, сахар, масло сливочное, мука, сахар ванильный

кокосовая

стружка

Ответ: A B ={сметана, куриные яйца, сахар, масло сливочное, мука, сахар ванильный, кокосовая стружка}

Логические операции Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Обозначается A\ B.

Логические операции

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Обозначается A\ B.

Задание Даны два множества A – множество однозначных натуральных чисел, кратных 3 и B = {1, 3, 5, 9, 11}    Решение

Задание

Даны два множества A – множество однозначных натуральных чисел, кратных 3 и B = {1, 3, 5, 9, 11}

Решение

Решение: А={3, 6, 9} и B = {1, 3, 5, 9, 11}. Следовательно, А\В={6}, В\А={1, 5, 11}. Ответ: А\В={6}, В\А={1, 5, 11}.

Решение:

А={3, 6, 9} и B = {1, 3, 5, 9, 11}.

Следовательно, А\В={6}, В\А={1, 5, 11}.

Ответ: А\В={6}, В\А={1, 5, 11}.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Информатика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: Прочее.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Элементы комбинаторики Теория множеств Математическая логика

Автор: Щеглова Алена Александровна

Дата: 08.08.2024

Номер свидетельства: 654757

Похожие файлы

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(102) "рабочая программа по алгебре для 10  профильного  класса "
    ["seo_title"] => string(62) "rabochaia-proghramma-po-alghiebrie-dlia-10-profil-nogho-klassa"
    ["file_id"] => string(6) "184072"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1425993733"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(174) "рабочая программа по алгебре для 11 профильного класса( УМК Мордковича А.Г., профильный уровень) "
    ["seo_title"] => string(101) "rabochaia-proghramma-po-alghiebrie-dlia-11-profil-nogho-klassa-umk-mordkovicha-a-g-profil-nyi-urovien"
    ["file_id"] => string(6) "184441"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1426055063"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(87) "Рабочая программа по алгебре и началам анализа "
    ["seo_title"] => string(53) "rabochaia-proghramma-po-alghiebrie-i-nachalam-analiza"
    ["file_id"] => string(6) "135775"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1416983224"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства