"Вывод тригонометрических формул путем решения геометрических задач "

В данной работе предлагается вывести тригонометрические формулы, а также значения тригонометрических функций "нестандартных углов" путем решения геометрических задач.

Считаю, что использование данного материала расширяет представление о тригонометрии уже в 8-9 классах.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«"Вывод тригонометрических формул путем решения геометрических задач "»

Конкурс исследовательских работ в рамках

Малой академии наук школьников Республики Башкортостан

Номинация: математика

Исследовательская работа

Знакомые незнакомцы

(вывод тригонометрических формул путем решения геометрических задач)

Куприянов Илья Владимирович

Гаврилова Светлана Витальевна

МАОУ Лицей № 58, 10А класс,

Руководитель:

Бухарбаева Флюра Шавкатовна, учитель математики

МАОУ «Лицей № 58»

Уфа 2017

Оглавление

Введение………………………………………………..…………………………3

Основная часть……………………………………………………………………4

Заключение. ………………………………………………….............................15

Список литературы.……….……………………………………………………16

Приложение. ………………..…………………………………………………..17

Введение

Лучший способ изучить что-либо –

это открыть самому.

Д. Пойа

С первым понятием тригонометрии мы встретились в 8-м классе, узнали на уроках геометрии понятия синуса, косинуса и тангенса острых углов прямоугольного треугольника, их значения для углов в 30, 45, 60 градусов.

Однако при подготовке к ОГЭ, мы столкнулись с задачей, в которой нужно было использовать синус угла в 15 градусов. Довольно нетипичный угол, ведь его нет в основной таблице синусов и косинусов. Можно воспользоваться таблицей Брадиса , но только если округлить их до какого-либо разряда. Проблема.

Поискав информацию в интернете, мы нашли формулы из тригонометрии, по которым можно было вычислить sin15⁰.Но ведь эти формулы изучают и доказывают только в 10 классе. И мы решили «незнакомцев» сделать «знакомыми», то есть вывести тригонометрические формулы или найти значения таких углов, основываясь на решении геометрических задач.

Для достижения этой цели мы выполнили следующие задачи:

изучили историю тригонометрии;
подобрали и решили задачи, в которых встречаются «нестандартные» углы;
вывели некоторые тригонометрические формулы путем решения геометрических задач;
вычислили значения синусов, косинусов, тангенсов для «нестандартных» углов;
собрали полученные результаты в таблицу;
на основе полученных данных, мы составили программный продукт, написанный на языке Java, используемый как приложение на андроид.

На первом этапе мы познакомились с историей тригонометрии. Узнали много новых и интересных фактов о применение тригонометрии в архитектуре, искусстве, о тысячелетней её истории.

На втором этапе мы подобрали задачи, в которых встречаются «незнакомые» нам углы: 15, 22,5, 36 градусов и решили их.

Третий этап: использование результатов для вычисления значений синусов, косинусов и тангенсов других «нестандартных » углов.

Затем мы упорядочили полученные данные в таблицу.

Задумавшись о практическом применении полученных, сложных для запоминания результатов, мы написали программный продукт на языке JAVA для андроидов.

Новизна этой исследовательской работы состоит в выводе и вычислении тригонометрических значений «нестандартных» углов через решение геометрических задач и составлении программного продукта для оптимального использования этих значений.

Основная часть

1.Из истории тригонометрии.

ТРИГОНОМЕТРИЯ – (от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – наука, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

Термин «тригонометрия» ввел в употребление в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц.

Тригонометрия возникла прежде всего из практических нужд. Древние люди наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне. Наблюдения за звездным небом с незапамятных времен вели и астрологи.

Первые отрывочные сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках Древнего Вавилона. Астрономы Междуречья научились предсказывать положение Земли и Солнца, и именно от них к нам пришла система измерения углов в градусах, минутах и секундах, потому что у вавилонян была принята шестидесятеричная система счисления.
Первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым. Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги Начал Евклида выражают по существу теорему косинусов. Во II веке до н.э., астроном Гиппарх из Никеи составил таблицу для определения соотношений между элементами треугольников. Такие таблицы нужны потому, что значения тригонометрических функций нельзя вычислить по аргументам с помощью арифметических операций.

2. Тригонометрия в архитектуре.

Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века в искусстве.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру приближённой к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы, (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения.

Ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.

3.Решение задач
Задача 1.

Вычислить: tg 22,5⁰, sin 22,5⁰, cos 22,5⁰, ctg 22,5⁰
Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник △ABC с углами 22,5⁰ и 67,5⁰ градусов. Достроим до равнобедренного треугольника. У полученного треугольника углы при основании будут равны 67,5⁰ градусов, а верхний угол – 45⁰. Из точки точки D опустим высоту на сторону AB.

Допустим, что HD=1 ,а так как синус 45⁰ равен , то BD=.

△ВHD равнобедренный с основанием BD.=AH= -1, а значит:
tg22,5 = -1
Далее из △AHD по теореме Пифагора найдем сторону AD:
AD = =
Угол HDA в △AHD равен 22,5⁰ =
sin22,5⁰= = = = = = = =

cos22,5⁰= = и ctg22,5⁰=

Из этих полученных значений можно найти соответствующие значения для угла в 67,5⁰:

tg67,5⁰= и ctg67,5⁰=-1

sin67,5⁰= и cos67,5⁰=

Задача 2.

Вычислить: sin15⁰, cos15⁰, tg15⁰, ctg15⁰
Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник △ABE с углами 15⁰ и 75⁰.Достроим до равнобедренного треугольника. У полученного треугольника углы при основании будут равны 75⁰, а верхний угол – 30⁰.Проведем высоты BE и AD. Пусть AD=1, тогда AB=BC=2 ( т.к △ABC равнобедренный и по теореме об углах прямоугольного треугольника). BD=√3 по теореме Пифагора.

СD=2-√3 , т.к BC = 2 и BD=√3.
∠CAD=15⁰, AC= = = =
sin15⁰ = = =

cos15⁰ = =

tg15⁰ = = =

ctg15⁰ =

Из этих полученных значений можно найти соответствующие значения для угла в 75⁰:

sin75⁰ =

cos75⁰ =

tg75⁰ =

сtg75⁰ =

Задача 3

Синус двойного угла

Доказать: sin2 = 2sin * cos
Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник △ABE. Достроим его до равнобедренного треугольника ABC. Проведем высоту AD.
Пусть AB = 1.

Рассмотрим △ABD:

sin2 = = AD

Рассмотрим △ABE:
sin = = AE
cos = = BE
△ABE △ADC по признаку подобия по двум углам =

= по свойству сходственных сторон

AC = 2AE = = = = =

sin2 = 2sin * cos, что и требовалось доказать.

Задача 4

Вычислить: sin36⁰, cos36⁰, tg36⁰, ctg36⁰
Решение:

Рассмотрим равнобедренный △ABС. Углы при основании равны 72⁰, а верхний - 36⁰. Проведем биссектрису AD угла BAC. Угол DAC = 36⁰, =

угол ADC = 72⁰; Аналогично BD = AD = AD = AC = BD по признаку равнобедренного треугольника.

Пусть BD = 1, тогда AD = 1 , AC = 1.

Рассмотрим равнобедренный треугольник △ABD . Проведем высоту DH, она же медиана и биссектриса по свойству равнобедренного треугольника.
Из △HBO:

cos36⁰ = = =BH;

Из △ABD = AB = 2BH по признаку равнобедренного треугольника, AB = 2cos36⁰, cos36⁰ = ;

Из △ADС по теореме косинусов:

= 1 + 1 – 2 * = 2 – AB

BC = AB = CD = AB – 1

Решим уравнение:

= AB – 1 | возведем обе части в квадрат

D = 5.

Так как отрицательное значение нам не подходит, то
АВ =
cos36⁰ = =
Через основное тригонометрическое тождество найдем sin36⁰:
sin36⁰ =
Не забудем про tg36⁰ и ctg36⁰;

tg36⁰ =

ctg36⁰ =

Задача 5

В четвертой задаче мы нашли значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса для угла в 36⁰. Мы можем найти эти значения для углов 72⁰, 54⁰,18⁰ используя формулы приведения.

sin72⁰ = sin2*36⁰ = 2sin36⁰ * cos36⁰ = * =

cos72⁰ = =

tg72⁰ =

ctg72⁰ =

sin54⁰ = cos(90⁰ - 54⁰) = cos(36⁰) =

cos54⁰ = sin(90⁰ - 54⁰) = sin(36⁰) =

tg54⁰ =

ctg54⁰ =

sin18⁰ = cos(90⁰ - 72⁰) = cos(72⁰) =

cos18⁰ = sin(90⁰ - 72⁰) = sin(72⁰) =

tg18⁰ =

ctg18⁰ =

Полученные значения мы сгруппировали в таблицу, которую вы можете найти в приложение 3.

Оценив результаты своей работы, мы поняли, что запомнить эти данные сложно и поэтому на основе всех полученных значений мы написали на языке Java программный продукт - мобильное приложение для системы Android.

Применение этого продукта позволит значительно сократить время на поиск нужной информации тем, кто связан с тригонометрией в той или иной области её применения.

В приложение 4 вы можете найти код программного продукта, а также увидеть результаты работы данной программы по скриншотам в приложение 5.

Заключение

Итак, в результате нашей исследовательской работы мы:

(1) получили большой опыт в решении геометрических задач, используя при этом метод достраивания до равнобедренного треугольника;

(2) вывели некоторые тригонометрические формулы и вычислили значения тригонометрических функций для «нестандартных» углов путем решения геометрических задач;

(3 )расширили свои знания по тригонометрии, составив таблицу значений “нестандартных” углов;

(4) на основе полученных данных, мы составили программный продукт, написанный на языке Java, используемый как приложение на андроид,

(5) надеемся, что данное программное приложение поможет многим при решении различных тригонометрических задач экономить время на поиск необходимой информации.

На этом наше исследование не заканчивается, мы будем продолжать поиск и решение подобных задач.

Список литературы

1.Атанасян Л.С. Геометрия 7-9, «Просвещение»,2013г.

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/История_тригонометрии

3. http://www.shkola.lv/index.php?mode=learn&page=refs&ref_id=14

Приложение

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

	15°	18°	22,5°	36°	54°	67,5°	72°	75°
sinα
cosα
tgα			-1
ctgα						-1

Приложение 4

MainActivity.class

package com.example.trigonometrytabs;

import android.support.v7.app.AppCompatActivity;
import android.os.Bundle;
import android.widget.ExpandableListView;
import android.widget.SimpleExpandableListAdapter;

import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

public class MainActivity extends AppCompatActivity {
private String[] mGroupsArray = new String[] { "Угол 15⁰ ", "Угол 18⁰", "Угол 22.5⁰", "Угол 36⁰",
"Угол 54⁰", "Угол 67.5⁰", "Угол 72⁰", "Угол 75⁰"};

private String[] fifteenAngelGrade = new String[]
{"sin15⁰ = √(2 - √3) /2",
"cos15⁰ = 1/(2√(2 - √3) )",
"tg15⁰ = 2 - √3",
"ctg15⁰ = 1/(2 - √3)"};
private String[] eighteenAngelGrade = new String[]
{"sin18⁰ = √(3 - √5) /(2√2)",
"cos18⁰ = √(5 + √5) /(2√2)",
"tg18⁰ = √(3 - √5) /√(5 + √5)",
"ctg18⁰ = √(5 + √5) /√(3 - √5)"};
private String[] twentyTwoAndHalfAngelGrade = new String[]
{"sin22,5⁰ = √(2- √2) /2",
"cos22,5⁰ = √(2 + √2) /2",
"tg22,5 = √2-1",
"ctg22,5⁰ = 1/(√2-1)"};
private String[] threetySixAngelGrade = new String[]
{"sin36⁰ = √(5-√5) /(2√2)",
"cos36⁰ = (1 + √5)/4 ",
"tg36⁰ = √(10-2√2)/(1+√5)",
"ctg36⁰ = (1+√5)/√(10-2√2) "};
private String[] fiftyFourAngelGrade = new String[]
{"sin54⁰ = (1 + √5)/4",
"cos54⁰ = √(5-√5) /(2√2)",
"tg54⁰ = (1+√5)/√(10-2√2)",
"ctg54⁰ = √(10-2√2) /(1+√5)"};
private String[] sixtySevenAndHalfFourAngelGrade = new String[]
{"sin67,5⁰= √(2 + √2) /2",
"cos67,5⁰ = √(2- √2) /2",
"tg67,5⁰ = 1/(√2-1)",
"ctg67,5⁰ = √2-1"};
private String[] seventyTwoFourAngelGrade = new String[]
{"sin72⁰ = √(5 + √5) /(2√2)",
"cos72⁰ = √(3 - √5) /(2√2)",
"tg72⁰ = √(5 + √5) /√(3 - √5)",
"ctg72⁰ = √(3 - √5) /√(5 + √5)"};
private String[] seventyFiveFourAngelGrade = new String[]
{"sin75⁰ = 1/(2√(2 - √3) )",
"cos75⁰ = √(2 - √3) /2",
"tg75⁰ = 1/(2 - √3)",
"сtg75⁰ = 2 - √3"};

@Override
protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
super.onCreate(savedInstanceState);
setContentView(R.layout.activity_main);

Map map;
ArrayList groupList = new ArrayList();
for(String group: mGroupsArray){
map = new HashMap();
map.put("groupName",group);
groupList.add(map);
}

String groupFrom[] = new String[] {"groupName"};
int groupTo[] = new int[] { android.R.id.text1 };
ArrayList сhildDataList = new ArrayList();

сhildDataList.add(initializeList(fifteenAngelGrade));
сhildDataList.add(initializeList(eighteenAngelGrade));
сhildDataList.add(initializeList(twentyTwoAndHalfAngelGrade));
сhildDataList.add(initializeList(threetySixAngelGrade));
сhildDataList.add(initializeList(fiftyFourAngelGrade));
сhildDataList.add(initializeList(sixtySevenAndHalfFourAngelGrade));
сhildDataList.add(initializeList(seventyTwoFourAngelGrade));
сhildDataList.add(initializeList(seventyFiveFourAngelGrade));

String childFrom[] = new String[] { "angelValue" };
int childTo[] = new int[] { android.R.id.text1 };
SimpleExpandableListAdapter adapter = new SimpleExpandableListAdapter(
this, groupList,
android.R.layout.simple_expandable_list_item_1, groupFrom,
groupTo, сhildDataList, android.R.layout.simple_list_item_1,
childFrom, childTo);
ExpandableListView expandableListView = (ExpandableListView) findViewById(R.id.explv);
expandableListView.setAdapter(adapter);
}

public static ArrayList initializeList(String[] arr){
Map map;
ArrayList сhildDataItemList = new ArrayList();
for (String angel : arr) {
map = new HashMap();
map.put("angelValue", angel);
сhildDataItemList.add(map);
}
return сhildDataItemList;
}
}

build.gradle

apply plugin: 'com.android.application'

android {
compileSdkVersion 25
buildToolsVersion "26.0.0"
defaultConfig {
applicationId "com.example.trigonometrytabs"
minSdkVersion 14
targetSdkVersion 25
versionCode 1
versionName "1.0"
testInstrumentationRunner "android.support.test.runner.AndroidJUnitRunner"
}
buildTypes {
release {
minifyEnabled false
proguardFiles getDefaultProguardFile('proguard-android.txt'), 'proguard-rules.pro'
}
}
}
dependencies {
compile fileTree(dir: 'libs', include: ['*.jar'])
androidTestCompile('com.android.support.test.espresso:espresso-core:2.2.2', {
exclude group: 'com.android.support', module: 'support-annotations'
})
compile 'com.android.support:appcompat-v7:25.3.1'
compile 'com.android.support.constraint:constraint-layout:1.0.2'
compile 'com.android.support:cardview-v7:23.0.1'
compile 'com.android.support:recyclerview-v7:23.0.1'
testCompile 'junit:junit:4.12'
}

activity_main.xml

xml version="1.0" encoding="utf-8"?
android.support.constraint.ConstraintLayout xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android"
xmlns:app="http://schemas.android.com/apk/res-auto"
xmlns:tools="http://schemas.android.com/tools"
android:layout_width="match_parent"
android:layout_height="match_parent"
tools:context="com.example.trigonometrytabs.MainActivity"

include layout="@layout/expandablelist_view" /

android.support.constraint.ConstraintLayout

expandablelist_view.xml

xml version="1.0" encoding="utf-8"?
LinearLayout xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android"
android:layout_width="match_parent"
android:layout_height="match_parent"

ExpandableListView
android:id="@+id/explv"
android:layout_width="match_parent"
android:layout_height="wrap_content"
android:childIndicatorLeft="20dp"
android:childIndicatorStart="20dp"
android:scaleType="fitXY" /
LinearLayout

AndroidManifest.xml

xml version="1.0" encoding="utf-8"?
manifest xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android"
package="com.example.trigonometrytabs"

application
android:allowBackup="true"
android:icon="@mipmap/ic_launcher"
android:label="@string/app_name"
android:roundIcon="@mipmap/ic_launcher_round"
android:supportsRtl="true"
android:theme="@style/AppTheme"
activity android:name=".MainActivity"
intent-filter
action android:name="android.intent.action.MAIN" /

category android:name="android.intent.category.LAUNCHER" /
intent-filter
activity
application
manifest