Методическая разработка урока "Перпендикуляр и наклонная"

Методическая разработка

урока

Решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонная»

дисциплина: «Математика»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонная» имеет важное значение для всего курса математики.

Материал данной темы используется при изучении последующих тем геометрии, а именно «Угол между прямой и плоскостью. Ортогональное проектирование». Вместе с тем, изучение этой темы, требует постоянного и сознательного использования многих сведений из планиметрии.

Эта тема носит большой прикладной характер. При изучении темы продолжается развитие пространственных представлений учащихся, конструктивных навыков изображения фигур на плоскости, навыков выполнения рисунков, их правильного восприятия и чтения.

Данному уроку предшествует теоретическое занятие по теме: «Перпендикуляр и наклонная» Для решения геометрических задач по данной теме студент должен знать теоретический материал, а именно что такое наклонная, проекция наклонной, перпендикуляр к плоскости, признаки перпендикулярности прямой и плоскости, теорему Пифагора, теорему о трех перпендикулярах. Уметь строить на плоскости перпендикуляр, наклонную к плоскости, проекцию наклонной.

В начале занятия, с целью повторения пройденного теоретического материала и определения уровня подготовленности студентов к решению задач проводится тест по теме «Перпендикуляр и наклонная».

При решении задач для контроля приобретенных знаний, умений и навыков проводится устный опрос.

В конце занятия подводится итог работы студентов, выставляются оценки за работу в классе.

Таким образом, на занятии студенты формируют следующие виды компетенций:

- профессиональные - усвоение и закрепление знаний, умений и навыков,

- надпрофессиональные - социального взаимодействия, коммуникативность и технологическая компетенция.

МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Тема занятия: Решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонная»

Тип занятия: урок формирования практических навыков

Вид занятия: практическое занятие

Организационная деятельность на уроке: индивидуальная, коллективная

Методы обучения: частично-поисковый

Цели занятия:

образовательные:

- выработать умения, навыки решение задач различной сложности

воспитательные:

- воспитывать общую культуру, эстетическое восприятие окружающего;

- воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, толерантность и уверенность в себе;

развивающие:

- развить логическое мышление;

- развить умение правильно и грамотно излагать свои мысли;

- развить математическую речь.

Планируемый результат:

- сформировать принципы решения геометрических задач на данную тему

Межпредметные связи: инженерная графика

Внутрипредметные связи: тема № 8.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, тема № 8.6 Угол между прямой и плоскостью. Ортогональное проектирование

Основные учебные элементы для усвоения: определение перпендикуляра, наклонной, проекции наклонной, перпендикулярности прямой и плоскости

Обеспечение занятия:

Презентация в программе PowerPoint, раздаточный материал, учебник геометрия 10-11 класс Погорелов А.В., компьютер, проектор.

Содержание и последовательность учебного занятия:

1. Организационный момент

2. Целеполагание

3. Повторение изученного материала (тест)

4. Решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонная»

5. Подведение итогов

6. Домашнее задание

Методы контроля: фронтальный, индивидуальный.

Тип контроля: опрос

Литература:

Основная:

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 2001.

Дополнительная:

1. Математика для техникумов. Геометрия / под ред. Яковлева Г.Н. - М.: Наука, 1989.

Ход урока:

1. Организационный момент (перекличка).

Сегодня на уроке мы будем решать задачи на тему «Перпендикуляр и наклонная». Выполняя различные задания, вы покажете свои теоретические знания, умения, способность применять их в различных ситуациях, также приобретете практические навыки.

2. Целеполагание

образовательные:

- выработать умения, навыки решение задач различной сложности

воспитательные:

- воспитывать общую культуру, эстетическое восприятие окружающего;

- воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, толерантность и уверенность в себе;

развивающие:

- развить логическое мышление;

- развить умение правильно и грамотно излагать свои мысли;

- развить математическую речь.

3. Повторение изученного материала (тест, приложение 1)

4. Решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонная»

В классе решаются следующие задачи:

№ 16

Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на вы­соте 8 м, от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что прово­лока не провисает.

№ 23

Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих на­клонных равна 9 см. Найдите проекции наклон­ных.

№ 25

Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных от­носятся как 2:3.

№ 32

Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого от­резка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка.

№ 43

Из данной точки к плоскости проведены две на­клонные, длиной 2 м. Найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол 60°, а их проекции перпендикулярны.

№ 47

Расстояние от данной точки до плоскости тре­угольника равно 1,1 м, а до каждой из его сторон 6,1 м. Найдите радиус окружности, впи­санной в этот треугольник.

5. Подведение итогов

Сегодня на занятии мы с вами рассмотрели решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонная».

6. Домашнее задание . 17, № 15, 24(1), 44 стр.

Учебник Погорелов А.В. Геометрия для 10-11 кл.

Приложение 1.

Вариант 1.

1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпенди- кулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

3. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

4. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

5. Проекцией наклонной называется отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенной из одной и той же точки.

6. Перечислите элементы рисунка

7 . Дано: АМ = 13, СМ = 12. Найти: х.

8. Равные наклонные имеют равные ортогональные проекции.

9. Большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

10. Теорема о трех перпендикулярах.

Вариант 2.

1. Две прямые, перпендикулярны одной и той же плоскости, параллельны.

2. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

3. Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости.

4. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, называется расстоянием от точки до плоскости.

5. Наклонной называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

6 . Дано: АВ = 5, ВС = 12. Найти: х.

7. Перечислите элементы рисунка

8. Любая наклонная длиннее перпендикуляра и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.

9. Наклонные, имеющие равные проекции равны.

10. Теорема о трех перпендикулярах.

Историческая справка.

Стереометрическому материалу посвящены последние три книги «Начал» Евклида. XI книга содержит теорию перпендикулярности прямой и плоскости. Этот материал в большей своей части входит в настоящее время в учебники по стереометрии.

Евклид дает следующее определение: «Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна ко всем прямым, проведенным в плоскости в точке, в которой она эту плоскость встречает». Этому определению должно было предшествовать доказательство того, что такая прямая существует, чего у Евклида нет. Кроме того, приведенное определение не дает критерия, чтобы установить перпендикулярна ли данная прямая к данной плоскости или нет. С некоторым опозданием Евклид устраняет эти недостатки, доказывая по сути теорему – признак перпендикулярности прямой и плоскости. Доказательство, данное Евклидом длинное и сложное. Приведенное доказательство в учебниках по геометрии – доказательство О. Коши (XIX век). Еще одно доказательство предложил в конце XVIII века французский математик А. Лежандр.

И меющая сейчас большое значение теорема о трех перпендикулярах, в «Началах» не содержится. Она была доказана математиками востока: доказательство имеется в «Трактате о полном четырехстороннике» Иасир ад-Дина ат-Туси и в тригонометрическом трактате его анонимного предшественника. В Европе эта теорема была впервые сформулирована Луи Бертраном (1731 – 1812) и доказана в «Элементах геометрии» Лежандра (1794). Лежандр формулировал ее так: «Пусть прямая AP перпендикулярна к плоскости Q, а точка P – ее основание и пусть BC – произвольная прямая в плоскости Q. Проведем из точки P прямую PD перпендикулярную BC и соединим точки A и D; тогда прямая AD тоже будет перпендикулярна к BC». Доказательство Лежандра воспроизводится в учебнике Киселева.

9