Повторение и обобщение по геометрии в 10 классе: "Призма. Пирамида"

Призма

диагональ

Определение. -угольной призмой называется многогранник, у которого две грани – равные -угольники, а остальные граней – параллелограммы.

– -угольная призма .

Равные -угольники называются основаниями призмы.

основания

Параллелограммы – боковыми гранями призмы.

боковые

грани

А стороны боковых граней , не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми рёбрами призмы.

боковые

рёбра

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.

Призма в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет свое название.

Треугольная призма

Четырехугольная призма

-угольная призма

– высота призмы.

Определение. Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.

Призмы

Наклонные

Прямые

если боковые ребра призмы

если все боковые ребра призмы

перпендикулярны к плоскостям

не перпендикулярны основанию.

ее оснований.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы.

А объединение всех граней называется полной поверхностью призмы.

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Пирамида.

Правильная пирамида

Определение. Многогранник, составленный из -угольника и

треугольников, называется пирамидой .

вершина

Многоугольник называется основанием пирамиды.

боковые

ребра

высота

Треугольники , , … , называются боковыми гранями пирамиды.

боковые

грани

Точка – вершиной пирамиды.

Отрезки , , … , – ее боковыми ребрами .

– -угольная пирамида .

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью ее основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

основание

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды.

А объединение всех граней называется полной поверхностью пирамиды.

Пирамида в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет свое название.

Треугольная пирамида

Четырехугольная пирамида

-угольная пирамида

Пирамида называется правильной , если ее

основание – правильный многоугольник.

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды

с центром основания, является ее высотой .

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой .

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Усечённая пирамида

Многогранник, гранями которого являются и , расположенные в параллельных плоскостях и четырехугольников , и так далее называется усеченной пирамидой .

верхнее

основание

-угольники и называются соответственно верхним и нижним основанием .

боковая

грань

боковые

ребра

Четырехугольники , и так далее называются боковыми гранями .

высота

Отрезки , и так далее называются боковыми рёбрами усеченной пирамиды .

нижнее

основание

высота

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью усеченной пирамиды.

А объединение всех граней называется полной поверхностью усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров основания на апофему.

Понятие объема

Будем понимать объем как количество занимаемого геометрическим телом пространства.

При выбранной единице измерения объём тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объёмов и её частей укладываются в этом теле.

«кубический»

Единичный куб

см 3

куб. см

см

ед

мм 3

куб. мм

мм

ед

ед

м 3

куб. м

Объем единичного куба принимается за единицу измерения объемов.

м

см

В первом слое: ед. кубов.

В трёх слоях: ед. кубов.

см

(см 3 )

VOLUME – что в переводе обозначает «объем», «наполнение».

см

см

«высота»

«ширина»

«длина»

– длина

– ширина

– высота

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

Объём прямой призмы равен произведению площади основания

на высоту.

15

Пример. Найти объем правильной -угольной призмы, у которой каждое ребро равно , если:

а) , б) , в) .

Решение:

а)

б)

в)

Объем прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед называется прямоугольным , если все его шесть граней прямоугольники.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

Объем прямой призмы

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Объём правильной треугольной призмы

Объём правильной четырехугольной призмы

Объём правильной шестиугольной призмы

Объём наклонной призмы

Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Объём наклонной призмы равен длины бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.

31

Объём пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Объём усеченной пирамиды, высота которой равна , а площадь оснований равны и , вычисляется по формуле:

32