Алгоритм решения задач повышенной трудности на движение связанных тел

Задача

На концах нити, переброшенной через блок, висят на одинаковой высоте две гирьки массой 100 г каждая. Если на одну из гирек положить перегрузок, вся система придет в движение и через 2 секунды расстояние между гирьками станет равным 1,6 м. Определите ускорение тел, массу перегрузка, силу натяжения, силу давления перегрузка на правую гирьку при движении и силу давления на ось блока. (Примечание: Нить – невесомая и нерастяжимая, массой блока можно пренебречь, трение в блоке не учитывать).

Вариант 1

Анализ и решение:

Схематический чертеж:

Y N1

a

а N T T

m2g

T m2 T

h S

m1g t m1 m1 N

Y m1g

Изображаем каждое тело отдельно и расставляем силы и ускорения. На левую гирьку со стороны Земли действует сила тяготения, равная m₁, со стороны нити – сила натяжения нити . По условию задачи под действием приложенных сил эта гирька поднимается вверх с ускорением а, поэтому Тm₁g.

Проецируя силы и ускорение на ось координат, направленную также как ускорение гирьки, составляем уравнения второго закона Ньютона

+ m_{1 =} m_{1 ОУ}

Ty + m₁g_y = ma_y

T - m₁g = m₁a 1

На перегрузок действует со стороны Земли сила тяжести, равная m₂g и со стороны нижней гирьки нормальная реакция опоры

Под действием приложенных сил перегрузок движения вниз с ускорением , поэтому m₂ .
Проецируя силы и ускорения на ось координат, направленную также как ускорение, для перегрузка составляем уравнение второго закона Ньютона (23H) заменяя действия связей системы и рассматривая движения каждого тела отдельно. В результате наша задача сводится к задаче динамики материальной точки.
Примечание:
Во всех случаях о движении грузов на блоках делается ряд допущений или примечаний, которые упрощают действительность и облегчают решения.

В данном примере – допущения:
а) нить невесомая означает то, что пренебрегая массой нити по сравнению с массой грузов, можно принять их движение за равноускорение. (РУД)
б) нерастяжимая нить – означает, что в каждый момент времени движения грузы на ее концах имеют одинаковые ускорения.

а₁ = а₂ = а

в) отсутствие трения на блоке позволяет считать равными силы натяжения нити в любом его сечении

Т₁ = Т₂ = Т

m₂ + = m_{2 ОУ}

m₂g_y + N_y = m₂a_y

m₂g – N = m₂a 2

На правую гирьку действует сила тяжести, равная m_2, сила натяжения нити и сила нормального давления перегрузка, численно равная силе, действующей со стороны гири на перегрузок по третьему закону Ньютона.
Примечание:
Здесь часто допускается ошибка, считая, что сверху на правую гирьку действует не сила нормального давления , а сила тяжести перегрузка, равная m₂ Под действием приложенных сил правая гирька опускается вниз с ускорением , поэтому m₁ + T.

Проецируя силы и движения на ось ОУ составляем уравнение второго закона Ньютона.

m₁ + + = m_{1 ОУ}

m₁g_y + N_y + T_y = m₁a_y

m₁g + N – T = m₁a 3

На блок действуют силы натяжения нити (вниз) и нормальная реакция опоры ₁ со стороны оси (вверх). Под действием этих сил блок находится в равновесии, его ускорение равно нулю ( = 0) следовательно

2T – N₁ = 0 4

Использую заданные характеристики движения, составляем кинематическое уравнение для одной из гирек, учитывая, что за указанное время каждая из них проходит расстояние в двое меньше h без начальной скорости

S = = t²→ h = at² 5

Полученная система уравнений (1-5)

T - m₁g = m₁a 1

m₂g – N = m₂a 2
m₁g + N – T = m₁a 3
2T – N₁ = 0 4
S = = ² → h = at 5

Содержат 5 неизвестных:

а, m₂, Т, N, N₁ ( См. чертеж)

которые нам нужно найти.

Решаем уравнения (1-5) совместно относительно этих величин в общем виде и подставляем числовые значения получим:

a = ₂ ; a = ₂ = 0, 4 ₂

Т – m₁g = m₁a → T = m₁ (g + a)

T = 0,1 кг (9,8 ₂ + 0,4 ₂) = 1, 02 H

m₁g + m₂ (g – a) – m₁g – m₁a = m₁a → m₂ (g – a) = 2m₁a;
m₂ =

m₂ = = 0,009 кг ; m₂ = 9*10^-3 кг

2T – N₁ = 0; N₁ = 2T

N₁ = 2* 1,02 H = 2,04 H

N = 2m₁a

N = 2 * 0,1 кг * 0,4 = 0,08 H

Ответ: a = 0,4 ₂ (ускорение гирек)
m = 9*10^-3 кг (масса перегрузки)
T = 1,02 H (сила натяжения нити)
N = 0,08 H (сила давления перегрузки)
N₁= 2,04 H (сила давления на ось блока)

Вариант 2

Примерное решение задачи с кратким пояснением на ЕГЭ.

Ответ:

a (ускорение гирь) = 0,4 ; m₂ (масса перегрузки) = 9*10^-3 кг
T (сила натяжения нити) = 1,02 H ; N (сила давления перегрузка) = 0,08 H ; N₁ (сила давления на ось блока) = 2,04 H