Решение задач из раздела "Статика"

Статика

• Статика – это раздел теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах и  изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.
• ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ: 1) сложение сил и приведение систем сил к простейшему виду 2) определение условий равновесия, действующих на твердое тело систем сил
• Сила – это векторная величина, являющаяся количественной мерой взаимодействия матери- альных тел; сила характеризуется величиной, направлением и точкой приложения Размерность силы: [P] = Н ≈ 10кг

Момент силы

• Момент силы- это физическая величина, равная произведению модуля силы на её плечо:

M=F*d

• Момент силы относительно центра – это векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на саму силу.
• Моментом силы относительно оси является момент от составляющей этой силы вдоль плоскости, ортогональной этой оси, относительно центра – точки пересечения этой плоскости и заданной оси.

• Плечом силы называется кратчайшее расстояние от центра, относительно которого необходимо вычислить момент, до линии действия силы.
• Правило знаков: момент силы положителен, если сила стремится повернуть тело вокруг центра или оси (если смотреть с ее положительного направления) против часовой стрелки Если сила стремится повернуть тело по часовой стрелке, то ее момент отрицателен
• Правило моментов:  тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

M1+M2+M3+…=0

• Плечо силы- это длина перпендикуляра, опущенного от оси на линию вращения действия силы.
• Центр масс (или центр тяжести)  – точка к которой приложена сила тяжести, действующая на тело. В общем случае центр тяжести может и не лежать внутри тела, а выходить за его пределы (например, различные изогнутые длинные предметы, кольца, полукольца и так далее).

• Устойчивое равновесие- это такое равновесие, когда при выведении тела из этого положения возникает результирующая сила, возвращающая это тело в исходное положение.
• Неустойчивое равновесие- это такое равновесие, когда при выведении тела из состояния покоя, возникает результирующая сила, направленная в противоположную сторону от положения, где тело покоилось.
• Безразличное равновесие- это такое равновесие, когда при любом действии на тело, возникающая результирующая сила равна 0.

Аксиомы статики:

• Аксиома 1  (аксиома об абсолютно твердом теле). Твердое тело под действием двух сил находится в равновесии только тогда, когда они равны по величине, направлены в противоположные стороны и действуют по одной прямой.
• Аксиома 2  (аксиома о параллелограмме сил). Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке под углом друг к другу, определяется диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

• Аксиома 3  (аксиома об освобождении от связей). Не изменяя движение или равновесие точки, систем или твердого тела, можно отбросить наложенные на них связи, заменив их действия реакциями связи.
• Аксиома 4  (аксиома о наложении новых связей). Равновесие системы или тела не нарушится при наложении на них новых связей.
• Аксиома 5  (аксиома о затвердении). Если деформируемое тело находится в равновесии, то это равновесие не нарушится, если тело превратится в абсолютно твердое, т.е. затвердеет.

Рычаги и блоки

• Равноплечий рычаг (весы).  Рычаг, ось вращения которого проходит через его геометрический центр.
• Неравноплечий рычаг.  Рычаг ось вращения которого проходит через произвольную точку.
• Неподвижный блок.  Это диск с закрепленной осью, через который переброшена нить. Неподвижный блок используется для изменения направления приложения силы. Если трение в блоке отсутствует, нить невесома, то сила ее натяжения до и после блока не изменяется. Таким образом, неподвижный блок не дает ни выигрыша в силе, ни проигрыша в перемещении.
• Подвижный блок.  Это диск, ось которого может двигаться поступательно. Подвижный блок позволяет уменьшить силу в два раза, одновременно с этим вдвое увеличивая перемещение.

Момент силы относительно оси вращения

• Стержень массой 20 кг может свободно вращаться относительно одного из своих концов. Найдите минимальную силу способную уравновесить стержень.

Пусть длинна всего стержня L.

Стержень по условию остается в равновесии, следовательно момент вращающий стержень по часовой стрелке равен моменту вращающей против часовой стрелки.

= F*L

F

L

А

Получим выражение: = F*L, mg* =F*L.

Сократим на L:

Подставим значение массы и ускорения свободного падения.

Получим F = = 98Н.

Момент силы относительно точки

• Бревно массой 150 кг и длинной 10 м несут 2 человека. Определите кому из них нести легче, если 1 несет бревно от края на расстоянии 2 метра, а 2 на расстоянии 3 метра.

• Составим рисунок задачи.
• Запишем формулу равновесия сил:
• Выберем точку относительно которой запишем моменты наших сил.
• Выберем точку А. Момент силы а точке А = 0, так как плечо =0. В этой точке вращает стержень по часовой стрелке, а против. Так как они уравновешивают друг друга то получим выражение:

2

3

B

A

M=F*L

= 0; 3= 0

Выразим =

=

5. Выберем точку B. Момент силы а точке B= 0, так как плечо =0. В этой точке вращает стержень по часовой стрелке, а против. Так как они уравновешивают друг друга то получим выражение:

= 0; = 0

Выразим =

=

Ответ: Первому несущему легче.

Устойчивое равновесие

• На наклонной плоскости с углом наклона a находится тело массой m. Какую горизонтальную силу надо приложить, чтобы удержать это тело в покое, если сила трения равна 0?

Составим рисунок задачи

• Выберем систему координат вдоль плоскости наклона.
• Укажем все силы действующие на тело.
• Запишем условие равновесия для этого случая (II закон Ньютона)  = 0.
• Спроецируем это уравнение на оси координат учитывая все знаки проекции.

Ox:-mg*cosβ+ F*cosα = 0 (1)

Oy:-mg*sin(β) – F*sinα+ N = 0

5.В данной задаче величина N не имеет никакого значения. Поэтому при решении данной задачи решаем до конца только уравнение  (1)

y

x

α

β

α

α

β

6. Решим уравнение: F*cosα = mg*cos(β), помним что cos(β) = sinα

7. Выразим искомую величину: F =  mg* (sinα/cosα) =  mg*tgα

Неустойчивое равновесие

• Какую горизонтальную силу необходимо приложить, чтобы удержать брусок массой m на вертикальной поверхности, если коэффициент трения между стеной и бруском µ?

N = F, а из  (2) = µN = mg = N = mg/µ 7. Получаем ответ: F = mg/µ" width="640"

Составим рисунок задачи

• Выберем систему координат вдоль плоскости наклона.
• Укажем все силы действующие на тело.
• Запишем условие равновесия для этого случая (II закон Ньютона)  = 0.
• Спроецируем это уравнение на оси координат учитывая все знаки проекции.

Ox: – F + N = 0 (1)

Oy: – mg + Fтр = 0  = 0

5.|Fтр|= |µN|

y

x

6. Из уравнения (1) = N = F, а из  (2) = µN = mg = N = mg/µ

7. Получаем ответ: F = mg/µ

Определение центра тяжести

Определить положение центра тяжести плоской фигуры, изогнутой из тонкой проволоки, если a=6,b=4,c=4

a

b

c

• Выберем оси координат. Точка начала координат будет пересечением прямых a и b.
• Найдем координаты центров этих стержней.

С1 (0,3); C2 (2,0); C3 (4,-2)

3. Воспользуемся формулой для нахождения координат точки равновесия: ,

4. Отложив вдоль осей X и Y координату нашей точки получим центр тяжести фигуры.

a

С1

y

b

x

(0,0)

С2

c

С3

Рычаг

• С помощью рычага-гвоздодера  АВС  из деревянного бруса вытаскивают гвоздь (рис. 1, а). Какой должна быть сила  F , прикладываемая рабочим в начальный момент отжимания гвоздя, если сила сопротивления движению гвоздя составляет 1730 Н? Принять  DВ  = 35 мм и  BС  = 350 мм. Весом рычага пренебречь.

• Решение . В момент начала отжимания гвоздя рычаг под действием силы  F  начинает поворот вокруг опорной точки  В . Со стороны шляпки гвоздя на лапку  АВ  рычага в точке  D  действует нормальная реакция  R  = 1730 Н. Реакция опорной точки  В  из рассмотрения равновесия рычага исключается. Полученная расчетная схема изображена на рис. 1, б.
• Рычаг находится в равновесии, если сумма моментов действующих на него сил относительно точки вращения рычага (опорной точки) равна нулю:
• где  DB  -плечо силы  R ,
• BE = BC cos30° - плечо силы  F  относительно точки  В .

• Получаем:
• отсюда  F  = 200 Н. Здесь  ВС  = 350 мм = 350×10-3 м;  DB  = 35 мм = = 35×10-3 м.
• В большинстве задач удобнее определять момент силы относительно точки, пользуясь разложением силы на составляющие и теоремой Вариньона, согласно которой момент равнодействующей силы равен сумме моментов ее составляющих. Поясним сказанное на примере (рис. 1, в).
• Здесь  F 2 - составляющая силы  F  по направлению  ВС ;  F 1 - составляющая по направлению нормали к  ВС . Легко заметить, что составляющая  F 2 относительно точки  В  момента не создает, так как линия ее действия проходит через эту точку (плечо силы равно нулю). Плечом же составляющей  является  ВС . При решении задач разложение силы на составляющие можно не изображать на чертеже, а выполнять это действие мысленно.
• Итак, получаем  отсюда  F  = 200 H.
•  
• Ответ :  F  = 200 H.