Жорданова нормальная форма матрицы оператора, жорданов базис.

ДОКЛАД:

Жорданова нормальная форма матрицы оператора, жорданов базис.

1. Определения и основные понятия

Введем два основных понятия.

1.1 Жорданова клетка

Жордановой клеткой порядка k, относящейся к числу λ₀, называется матрица порядка k, 1≤k≤n, имеющая вид:

Также можем сказать, что на её главной диагонали стоит одно и то же число из поля P, а параллельные элементы, ближайшие к главной диагонали сверху, равны 1, все остальные элементы матрицы равны нулю.

Её характеристический многочлен (λ₀ − λ)^k имеет корень λ₀ кратности k.

Таким образом, данная матрица имеет собственное значение λ₀ алгебраической кратности k. Отвечающие ему собственные векторы — это ненулевые решения однородной системы линейных уравнений с матрицей

Так как rangB = k −1, так что размерность собственного подпространства равна 1, то существует лишь один линейно независимый собственный вектор. Таким образом, при k ≥ 2 не существует базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора, то есть ни в одном базисе матрица оператора не может иметь диагонального вида. Матрица J_k(λ₀) называется жордановой клеткой порядка k, соответствующей собственному значению λ₀.

1.2 Жорданов блок

Жордановым блоком, отвечающим собственному значению λ₀, называется блочно-диагональная матрица, каждый блок которой представляет собой жорданову клетку вида:

На главной диагонали матрицы расположены s жордановых клеток J_i1(λ₀), J_i2(λ₀), . . . , J_is(λ0) порядков i₁, i₂ . . . , i_s, где s — геометрическая кратность собственного значения λ₀.

Сумма порядков этих клеток равна алгебраической кратности собственного значения λ₀, т.е. i₁ + i₂ + · · · + i_s = m.

Все элементы матрицы вне жордановых клеток равны нулю. Порядок расположения жордановых клеток в матрице A(λ₀) определен неоднозначно.

1.3 Примеры жордановых блоков

Рассмотрим простой случай, когда характеристический многочлен матрицы имеет вид f(λ) = (λ₀ − λ)^m и геометрическая кратность собственного значения λ₀ равна s.

Пример 1. Пусть m = 2, s = 1. Тогда

имеем одну жорданову клетку порядка 2.

Пример 2. Пусть m = 3, s = 1. Тогда

имеем одну жорданову клетку порядка 3.

Пример 3. Пусть m = 3, s = 2. Имеем жорданов блок, состоящий из двух жордановых клеток порядков 1 и 2:

1. Теорема о жордановой форме матрицы оператора

Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве над полем комплексных чисел размерности n и его характеристический многочлен имеет вид

f(λ) = (λ1 − λ)^m1(λ2 − λ)^m2. . .(λp − λ)^mp, где λ_j ≠ λ_k при j ≠ k,

m₁ + m₂ + · · · + m_p = n.

Тогда в этом пространстве существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора A, в котором матрица оператора имеет блочно-диагональную форму (она называется жордановой формой)

где A(λ_j ) — жорданов блок, соответствующий собственному значению λ_j. Указанный базис называется жордановым.

Сформулированная теорема верна и в случае, когда линейный оператор действует в линейном пространстве над произвольным числовым полем K, но все корни характеристического многочлена принадлежат полю K.

Рассмотрим примеры. Обозначаем через n размерность пространства, m_j и s_j — алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения λ_j соответственно.

Пример 1. Пусть n = 2, λ₁ ≠ λ₂. Тогда матрица оператора может быть приведена к диагональному виду:

Пример 2. Пусть n = 3 и оператор имеет два различных собственных значения λ₁ (m₁ = 2, s₁ = 1) и λ₂ (m₂= s₂ = 1). Тогда матрица оператора может быть приведена к виду

Пример 3. Пусть n = 4 и оператор имеет два различных собственных значения λ₁ (m₁ = 3, s₁ = 1) и λ₂ (m₂ = s₂ = 1). Тогда

3 Жорданов базис

Базис векторного пространства, в котором матрица оператора имеет вид одной сплошной ячейки, должен обладать свойством ("цикличность"), которое получим на основе правила "столбцы матрицы = образы базисных векторов".

Итак, пусть матрица A линейного оператора в некотором базисе e₁,e₂,e₃,e₄   имеет вид одной ячейки: 

Здесь q обозначает некое, известное нам число.

Очевидно, векторы базиса e₁,e₂,e₃,e₄ можно записать в виде линейных комбинаций векторов этого же базиса. Так, например:

e₁ = 1e₁ + 0e₂+0e₃+ 0e₄ .

Это означает, что координаты вектора e₁ в этом базисе равны (1,0,0,0).

Если мы умножим нашу матрицу на столбец (1,0,0,0), то получим, очевидно, ее первый столбец, то есть (q,0,0,0). Это означает, что Ae₁= qe₁, то есть e₁- собственный вектор, q - собственное число.

Как нетрудно проверить, верно и обратное: если первый базисный вектор   является по совместительству собственным вектором оператора с собственным числом q, то первый столбец матрицы оператора в таком базисе равен (q,0,0,0).

Запишем равенство Ae₁= qe₁ в другом виде: (A- qE)e₁ = 0   или

Be₁ = 0 (где B = A - qE).

Теперь займемся вторым базисным вектором e₂. Его координаты равны (0,1,0,0). Умножив на столбец (0,1,0,0) нашу матрицу, мы получим в качестве результата ее второй столбец (1,q,0,0). Это означает, что

Ae₂= qe₂+ e₁        или      (A- qE) e₂ = e₁       или       Be₂ = e₁.

Точно так же получаются равенства

Be₃ = e₂    и    Be₄ = e₃.

В итоге мы приходим к выводу: если матрица оператора A в некотором базисе имеет вид Жордановой клетки (ячейки) с числом q на диагонали и с единичкам над ней, то векторы базиса превращаются друг в друга под воздействием оператора B=A-qE:

e₄ →e₃ →e₂ →e₁→0

В этой цепочке стрелки (слева направо) показывают, что из каждого базисного вектора получается под воздействием оператора B.

4 Построение жорданова базиса и жордановой формы матрицы

Пусть λ — собственное значение оператора, m и s — алгебраическая и геометрическая кратности числа λ. Опишем построение линейно независимой совокупности из m собственных и присоединенных векторов, отвечающих данному λ. Этой совокупности векторов в жордановой матрице A′ будет соответствовать жорданов блок A(λ).

Обозначим:

B = A − λI, B^k= (A − λI)^k, n_k = ker B^k, n_k = dim N_k, r_k = rang B^k.

Ясно, что n_k + r_k = n. Для удобства считаем, что B⁰ = I, так что r₀ = n, n₀ = 0.

Поскольку rang B^k+1 ≤ rang B^k, имеем n_k+1≥ n_k, так что

N₁ ⊂ N₂ ⊂ N₃ ⊂ . . . .

Теорема. Существует такое натуральное число q, что

N₁ ⊂ N₂ ⊂ · · · ⊂ N_q = N_q+1 = N_q+2 = . . . ,

т.е. все ядра с номером, большим, чем q, совпадают с ядром N_q. При этом

n₁ = s, n_q = m.

Построим часть жорданова базиса, соответствующую данному собственному значению λ, следующим образом.

1. Возводя матрицу B в последовательные натуральные степени, найдем показатель q, начиная с которого ранг степеней матрицы B перестает уменьшаться.

2. Рассмотрим ядра N_q и N_q-1. Пусть векторы f₁, f₂, · · · ∈ N_q достраивают произвольный базис пространства N_q-1 до базиса пространства N_q; их количество равно n_q –n_q-1. Эти векторы являются присоединенными векторами высоты q, и каждый из них порождает цепочку, состоящую из q векторов, которые войдут в состав жорданова базиса. Каждой такой цепочке будет соответствовать жорданова клетка порядка q; таким образом, в состав жордановой формы матрицы оператора A войдет n_q –n_q-1 жордановых клеток порядка q.

3. Рассмотрим ядра N_q-1 и N_q-2, а также векторы Bf₁, Bf₂ , · · · ; их количество равно

n_q –n_q-1 = (n – r_q) − (n – r_q-1) = r_q-1− r_q.

К этим векторам добавим векторы g₁, g₂, . . . из пространства N_q-1 так, чтобы система векторов

Bf₁, Bf₂, . . . , g₁, g₂, . . . ∈ N_q-1

дополняла произвольный базис ядра N_q-2 до базиса ядра N_q-1. Векторы g₁, g₂, . . являются присоединенными векторами высоты q −1, и каждому из них будет соответствовать, во-первых, цепочка векторов жорданова базиса, и во-вторых, жорданова клетка порядка q − 1. Количество добавляемых векторов g₁, g₂, . . равно

таким же будет количество жордановых клеток порядка q − 1.

4. Рассмотрим ядра N_q-2 и N_q-3 и векторы B²f₁, B²f₂, . . . , Bg₁, Bg₂, . . .К этим векторам (если их не хватает) добавим векторы h₁,h₂, . . . из пространства N_q-2 так, чтобы совокупность векторов

дополняла произвольный базис пространства N_q-3 до базиса пространства N_q-2. Количество добавляемых векторов h₁,h₂, . . . равно

таким же будет количество жордановых клеток порядка q − 2.

Процесс продолжаем аналогично. Наконец, рассмотрим ядро N₁ и векторы

Если эта система не образует базис пространства N₁, то добавим собственные векторы u₁, u₂, . . . так, чтобы пополненная система являлась базисом в N₁.

Итак, мы описали процесс построения жорданова базиса и выяснили, что количество жордановых клеток порядка k, входящих в состав жордановой формы матрицы оператора, может быть найдено по формуле

Построенную часть жорданова базиса, состоящую из m векторов, соответствующих данному λ (m — алгебраическая кратность этого собственного значения), запишем в таблицу («жорданова лестница»):

Все векторы таблицы линейно независимы, и их число равно m (алгебраической кратности собственного значения λ). Каждому столбцу этой таблицы соответствует одна жорданова клетка, порядок которой равен высоте столбца. Количество столбцов жордановой лестницы, т.е. полное количество жордановых клеток в блоке, соответствующем собственному значению λ, равно геометрической кратности s этого собственного значения.

Будем нумеровать векторы построенной части базиса по столбцам жордановой лестницы: внутри каждого столбца снизу вверх, а сами столбцы в произвольном порядке.

Например, пусть e₁, . . . , e_q — векторы первого столбца жордановой лестницы. Тогда

Этой группе векторов (собственный вектор e1 и присоединенные к нему векторы e₁, . . . , e_q) жорданова базиса соответствуют первые q столбцов матрицы A′, которые имеют вид

где J_q(λ) — жорданова клетка порядка q с числом λ на главной диагонали.

В следующих q столбцах матрицы A′, определенных векторами второго столбца жордановой лестницы, расположена жорданова клетка J_q(λ) так, что числа λ стоят на главной диагонали матрицы A′, а элементы вне клетки равны нулю. Подобным образом для данного λ получаем m столбцов матрицы A′. На этих m столбцах находится жорданов блок A(λ).

Для других собственных значений эта схема повторяется, в результате чего получим жорданову матрицу A′ и соответствующий жорданов базис.

4.1 Пример решения задач

Дана матрица A линейного оператора в некотором базисе. Требуется найти жорданов базис и жорданову форму матрицы оператора в этом жордановом базисе. Рассмотрим пример решения такой задачи методом построения жорданова базиса.

Характеристический многочлен

имеет корень λ = 2 кратности 3, т.е. m = 3. Матрица B = A − λI равна

Легко проверить, что

Собственные векторы находим, решив однородную систему линейных уравнений BX = O; фундаментальная совокупность решений состоит из двух векторов, например,

Количество этих векторов (т.е. геометрическая кратность собственного значения) равно двум, s = 2, так что для построения жорданова базиса требуется еще один присоединенный вектор.

Так как B² = O, то ядро N₂ оператора B² совпадает со всем пространством, т.е. n₂ = 3, и при этом q = 2.

Дополним базис ядра N₁, т.е. набор векторов (2), до базиса ядра N₂, например, вектором

Тогда

Дополним вектор Bf₁ до базиса пространства N₁ вектором

Построим жорданову лестницу:

Жорданов базис:

соответствует жорданова клетка порядка 2,

соответствует жорданова клетка порядка 1.

При этом Be₁ = 0, Be₂ = e­1, Be₃ = 0, т.е. e₁ — собственный вектор, e₂ — его присоединенный вектор, e₃ — собственный вектор.

В жордановом базисе

матрица оператора A′ имеет вид

Список использованной литературы:

1. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая, А.В. Овчинников «Жорданова форма матрицы оператора» (интернет ресурс).

2. В.И. Сушков «Строим Жорданову башню: снизу вверх и сверху вниз» (интернет ресурс).

3. А. Г. Курош «Курс Высшей Алгебры».

5