Статья по математике на тему "Волновые процессы, происходящие в твердых волноводах"

Линейное дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает распространение волны в среде, называется волновым уравнением. Однородное волновое уравнение имеет вид

где – оператор Лапласа, – фазовая скорость, с начальными условиями

Волновод представляет собой линейно-упругое тело, занимающий объем , ограниченный поверхностью . В результате деформации под воздействием поверхностных сил точки тела отклоняются на величину, которая характеризуется вектором перемещения . Вектор перемещения характеризуется отклонением каждой точки тела от начального положения. Функция является непрерывной комплексной функцией пространственных координат и времени .

В данной работе предполагается установившийся режим колебаний, что означает: зависимость всех характеристик задачи от времени описывается множителем . Задача нахождения колебаний системы, которая описывается волновым уравнением, приводит к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающееся подстановкой в волновое уравнение функции . Уравнение примет вид

где – волновое число.

В силу линейности задачи множитель можно сократить и работать только с комплексными амплитудами соответствующих величин

В случае открытых волноводов, формулируется условие на бесконечности. Этим условием может являться принцип предельного поглощения, который состоит в следующем: в качестве решения гармонической задачи для идеальной среды берется равномерный предел аналитической задачи для среды с поглощением волновой энергии при стремлении коэффициента поглощения к нулю. Принцип предельного поглощения основан на физическом факте, что при отсутствии источников колебаний на бесконечности при наличии в среде даже малого поглощения могут существовать только уходящие волны от источника в бесконечность [4].

В данной работе рассматриваются антиплоские колебания. Антиплоскими называются колебания, вектор перемещения которых ортогонален плоскости . Решение зависит только от двух пространственных координат и

.

Далее Кроме того, к работе предполагается, что начальные условия по времени равняются нулю

При действии поверхностной нагрузки в упругом слое происходит генерация поперечных горизонтальных волн, проходящих через твердые тела и характеризующихся перемещениями частиц в направлении, перпендикулярном движению фронта волны.