Проект : "Компьютерное исследование коэффициентов квадратичной функции"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15»

Проект по математике

Тема проекта:

«Компьютерное исследование коэффициентов квадратичной функции»

Автор проекта:

Свиридова Анна

Класс 9А

Руководитель проекта:

Дюкшина Наталья Валерьевна

Пос.Третий Северный

2022

Оглавление

«Компьютерное исследование коэффициентов квадратичной функции» 1

Введение 3

Раздел 1.Квадратичная функция 5

1.1.История открытия параболы. 5

1.2.Применение параболы в современном мире. 5

Раздел 2. Исследование графика квадратичной функции в компьютерной программе Drofa DOS. 7

2.1.Выбор компьютерной программы. 7

2.2.Исследование квадратичной функции у=ах² 8

2.3.Исследование квадратичной функции у=ах²+с 11

2.4. Исследование квадратичной функции у=ах²+вх+с 15

Заключение. 18

Список литературы 19

Введение

Построение и исследование графиков функций – это одна из интереснейших тем в школьной математике. С помощью графиков мы можем распознать функции, увидеть формулу и проследить каким образом эти функции меняются.

В 9 классе на уроках алгебры мы прошли тему квадратичная функция и исследование ее графика. Графиком квадратичной функции является парабола.

Цель исследования – изучение изменения графика квадратичной функции при различных параметрах a, b, c.

Для достижения цели исследования мною были поставлены следующие задачи:

1. Изучить историю открытия параболы, ее практическое применение в современном мире;

2. Исследовать график параболы на многих примерах;

3. Изучить компьютерные программы для построения и исследования графиков функции;

4. Построить график квадратичной функции в компьютерной программе;

5. Исследовать график квадратичной функции при различных параметрах a, b, c с помощью компьютерной программы.

Объект исследования – график квадратичной функции.

Предмет исследования – влияние различных параметров a, b, c на поведение графика функции квадратичной функции.

Актуальность исследования. Традиционно, задания на построение и исследование графиков квадратичной функции – одна из самых трудных задач математики. Данное задание встречается в задании № 11,22 ОГЭ по математике. Квадратичная функция является одной из главных функций школьной математики, для которой построена полная теория и доказаны все ее свойства, а от нас требуется четкое понимание и знание всех этих свойств. При этом, задач на квадратичную функцию очень много – от простых, непосредственно вытекающих из формул и теории, до сложных.

В своей исследовательской работе я выбрал исследование квадратичной функции при различных параметрах a, b, c, которое требует всестороннего анализа и глубокого понимания свойств функции. Исследование графика квадратичной функции при помощи ручки и листа бумаги очень трудоемкая работа, так как требуется составление таблицы значений аргумента и значения функции. При изменении одного из параметров a, b, c составляются новая таблица значений и координатная плоскость. Таким образом сложно отследить изменение графика функции при изменении параметров.

Гипотеза исследования: Коэффициенты влияют на движение параболы по плоскости .

Методы исследования: теоретический и практический анализ литературных источников, компьютерное моделирование, изучение и обобщение.

Практическая значимость моей работы заключается в использовании приобретенных знаний по данной теме на уроках алгебры и для подготовки к Основному Государственному экзамену.

Раздел 1.Квадратичная функция 1.1.История открытия параболы.

Согласно легенде, в 212 году до н.э., Архимед из Сиракуз сжёг флот римлян, обороняя свой город с помощью параболических зеркал. Этот день уцелевшим римлянам запомнился на всю жизнь. Почти полтысячи маленьких солнц вдруг загорелись на крепостной стене. Сначала они просто ослепляли, но через некоторое время произошло нечто фантастическое: передовые римские корабли, подошедшие к Сиракузам, один за другим вдруг начали вспыхивать, как факелы. Бегство римлян было паническим. Так для защиты своего города Архимед использовал оптическое свойство параболы.

1.2.Применение параболы в современном мире.

В медицине.

В СССР были разработаны специальные параболические нагреватели, состоящие из лампы и параболического зеркала, которые были предназначены для интенсивного прогрева участка тела.рисунок приведен ниже.

В архитектуре

В архитектуре чаще встречаются сооружения и конструкции, в основе которых лежит парабола, оси которой направлены вниз. Это не случайно именно такая ее форма сочетает в себе геометрическую красоту и механическую приспособленность к напряжениям и деформациям, вызываемым весом сооружений, именно это ее свойство привлекало и сейчас привлекает архитекторов использовать данную функцию при строительстве мостов и различный арок.(рисунок ниже)

В космосе

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (чёрной дыры или просто планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы. Это мы можем увидеть на рисунке ниже.

Раздел 2. Исследование графика квадратичной функции в компьютерной программе Drofa DOS. 2.1.Выбор компьютерной программы.

Существует отличная программа - AdvancedGrapher, она обладает инструментарием для расчета производных и первообразных функций. К тому же, программа умеет отображать их на графике. Но наиболее важное преимущество для наших соотечественников – наличие русского языка. Причем перевод полноценный, без нелепых ошибок. Данный продукт также является бесплатным и его можно легко скачать на сайте разработчика.

Плюсы:

• Построение 2D и 3D графиков

• Расчет производных и первообразных функций

• Мощные алгоритмы вычисления

• Есть русский язык

Минусы:

• Замечено не было

Интерфейс изображен ниже на рисунке.

В школе есть так же удобная программа для построения графиков Drofa DOS.Удобна, привычная для моего использования программа. Поэтому выбор программы остановился на ней.

2.2.Исследование квадратичной функции у=ах²

Квадратичной функцией называется функция вида: 

где а – коэффициент при старшей степени неизвестной х,

b – коэффициент при неизвестной х,

с - свободный член.

Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой.

1.Строю графики функций: у=х² ;у=3х²;у=5х²; у=1,2х²; у=4,3х² .

2. Строю графики функций: у=1/2х² ; у=2/3х²;у=4/5х²; у=3/10х²;

3. Строю графики функций: у= -х² ;у=-3х²;у=-5х²; у=-1,2х²; у=-4,3х² .

4. Строю графики функций: у=-1/2х² ;у=-2/3х²;у=-4/5х²; у=-3/10х²;

Вывод: Свойства графика y = ax²

1. При любом a графиком функции y=ax_{ } является парабола, с осью симметрии OY.

2. Если a0, ветки параболы y=ax² направлены вверх.При x0 функция возрастает.

3. Если a1, парабола y=ax² быстрее уходит на бесконечность, чем y=x², её ветки расположены ближе к оси Y. Чем больше параметр a, тем больше сужаются ветки.

4. Если 00 функция убывает..

5. Если 0

2.3.Исследование квадратичной функции у=ах²+с

1. Строю графики функций: у=х² ,у=х²+1; ,у=х²-1;

2. Строю графики функций: у=2х²; у=2х² +4, у=2х² -4;

3. Строю графики функций: у=7х²; у=7х²+5; у=7х²+5;

4. Строю графики функций: у=1,2х² ;у=1,2х²+3; у=1,2х²-3;

5. Строю графики функций: у= -х² ,у=-х²+1; ,у=-х²-1;

6. Строю графики функций: у=-2х²; у=-2х² +4, у=-2х² -4.

7. Строю графики функций: у=-0,31х²; у=-0,31х² +4, у=-0,31х² -4.

8. Строю графики функций: у=4,3х² , у=4,3х² +2, у=4,3х² -2

Вывод: 1)Коэффициент С показывает точку пересечения параболы с осью ОУ.

2) Коэффициент  С показывает на сколько парабола сдвигается по оси ОУ вверх или вниз.

3) Если С0,то парабола сдвигается вверх по оси ОУ на С –единиц . Если C ,то парабола сдвигается вниз по оси ОУ на С – единиц .

2.4. Исследование квадратичной функции у=ах²+вх+с

1.Строю графики :у=2х²+3х+5, у=2х²+8х+3, у=2,4х²+5х+1.

2. Строю графики :у=2х²-5х+3, у=2х²-6х+3, у=2,4х²-4х+1.

3. Строю графики :у=-2х²+5х+1, у=-2х²+2х+3, у=-2,4х²+2х+1.

4. Строю графики :у=-2х²-5х+1, у=-2х²-2х+3, у=-2,4х²-6х+1.

Вывод: Если а0,в0,то вершина параболы находится слево от оси ОУ. Если а0,в

Если а0 ,то вершина параболы находиться справо от оси ОУ.

Если а

Заключение.

Таким образом, гипотеза, выдвинутая в начале исследования, подтвердилась на практике при исследовании параболы при различных параметрах a, b, c. Использование компьютерной программы Drofa DOS значительно сократило время, которое я могла потратить при исследовании параболы при помощи ручки и листа бумаги. Также благодаря функции «Анимация» очень удобно и легко отследить «поведение» параболы при изменения параметров a, b, c.

В процессе исследования я познакомилась с историей открытия параболы, углубила свои знания о различных ее свойствах, о способах построения параболы; самостоятельно изучила и применила на практике возможности программы Drofa DOS.

Для многих людей математика является трудной и непонятной, но я считаю, что если подробнее изучить математические понятия и применение их в жизни, то математика становится интересной, а наши знания более осмысленными и глубокими.

Приобретенные в ходе исследования знания пригодятся мне при подготовке к Основному Государственному экзамену по математике.

Список литературы

1.Графики функций. Дороднов А.М., Острецов И.Н. 1972 (obuchalka.org)

2.Функции и графики в 8-11 классах - Ромашкова Е.В. (11klasov.net)

3.Райхмист Р. Б. Графики функций: Справочное пособие для вузов ОНЛАЙН (uch-lit.ru)