Множество комплексных чисел и их свойства

После изучения темы «Комплексные числа учащиеся должны:

Знать:

• алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа .

Уметь :

• производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа;
• переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую;
• пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел;
• в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.

I . Подготовка к изучению нового материала

Какие числовые множества Вам знакомы?

R

Q

Z

N

Числовая система

Допустимые алгебраические операции

Натуральные

числа, N

Целые числа, Z

Частично допустимые алгебраические операции

Рациональные числа, Q

Действительные числа, R

Вычитание, деление, извлечение корней

Сложение, умножение

Сложение, вычитание, умножение

Деление, извлечение корней

Извлечение корней из неотрицательных чисел

Сложение, вычитание, умножение, деление

Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел

Извлечение корней из произвольных чисел

Комплексные числа, C

Все операции

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:

С 1 ) Существует квадратный корень из -1 , т.е. существует комплексное число, квадрат которого равен -1.

С 2 ) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.

С 3 ) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному).

Выполнение этих минимальных условий позволяет определить все множество С комплексных чисел.

Мнимые числа

i , 2 i , -0,3 i — чисто мнимые числа

Арифметические операции над чисто мнимыми числами выполняются в соответствии с условием С3.

В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы:

где a и b — действительные числа.

Комплексные числа

Определение 1 . Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.

Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:

Классификация комплексных чисел

Комплексные числа

a + bi

Действительные числа

b = o

Мнимые числа

b ≠ o

Мнимые числа с

ненулевой

действительной

частью

a ≠ 0, b ≠ 0.

Чисто

мнимые

числа

a = 0, b ≠ 0.

Рациональные

числа

Иррациональные

числа

Арифметические операции над комплексными числами

(а + bi ) + ( c + di ) = (а + с) + ( b + d ) i

(а + bi ) - ( c + di ) = (а - с) + ( b - d ) i

( а + bi)·( с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Сопряженные комплексные числа

Определение: Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному.

Если данное комплексное число обозначается буквой z , то сопряженное число обозначается :

:

.

Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам.

Числа a + bi и a - bi называются взаимно сопряженными комплексными числами.

Свойства сопряженных чисел

• Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число действительное.

• Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам.

• Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам.

• Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам.

Свойства сопряженных чисел

• Число, сопряженное п -ой степени комплексного числа z , равно п- ой степени числа, сопряженного к числу z , т.е.

• Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из которых делитель отличен от нуля, равно частному сопряженных чисел, т.е.

Степени мнимой единицы

По определению первой степенью числа i является само число i , а второй степенью – число -1:

i 1 = i , i 2 = -1

.

Более высокие степени числа i находятся следующим образом:

i 4 = i 3 ∙ i = -∙ i 2 = 1;

i 5 = i 4 ∙ i = i ;

i 6 = i 5 ∙ i = i 2 = - 1 и т.д.

Очевидно, что при любом натуральном n

i 4n = 1; i 4n+1 = i ;

i 4n +2 = - 1 i 4n+3 = - i .

Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме.

• Определение . Число w называют квадратным корнем из комплексного числа z , если его квадрат равен z :
• Теорема . Пусть z=a+bi – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z . Если b ≠0 , то э ти два числа выражаются формулой:

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Комплексному числу z на координатной плоскости соответствует точка М( a, b).

Часто вместо точек на плоскости берут их радиусы-векторы

Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное число ,

равное расстоянию от точки М до начала координат

y

М (a, b)

b

φ

a

x

O

Тригонометрическая форма комплексного числа

где φ – аргумент комплексного числа,

r = - модуль комплексного числа,

Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

Теорема 1 . Если

и

то:

а)

б)

Теорема 2 (формула Муавра).

Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п — любое целое число. Тогда

Извлечение корня из комплексного числа.

• Теорема . Для любого натурального числа n и отличного от нуля комплексного числа z существуют n различных значений корня n -степени.

Если