Реферат "ВОЗМОЖНОСТИ СИСТЕМЫ GEOGEBRA ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Мордовский государственный

педагогический УНИВЕРСИТЕТ имени М. Е. евсевьева»

Факультет физико-математический

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

ВОЗМОЖНОСТИ СИСТЕМЫ GEOGEBRA ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ

Автор работы: ______________________________________М. Н. Шестакова

Направление: 44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)

Профиль Математика. Информатика.

Рукoвoдитель работы

канд. физ.-мат. нaук, доцент_________________________Т. В. Кормилицына

Оценка__________

Саранск 2021

Введение 3

1. Основные сведения о системе GeoGebra 4

2. Выдвижение гипотез и доказательство теорем в GeoGebra 6

Заключение 10

Список использованных источников 11

Введение

Современный период информатизации общества и образования определяет необходимость обновления и совершенствования обучения математике в школе, о чем свидетельствует содержание всех обсуждаемых сегодня проектов Концепции развития математического образования в Российской Федерации.

Особенно остро эта необходимость проявляется в отношении методики обучения геометрии, где все активнее начинают применяться системы динамической геометрии (DGS): Cabri Géomètre, Математический конструктор, Живая математика, GeoGebra, Crocodile, Cinderella, GeoNext, Geometr᾽s Sketchpad и др. Общей особенностью этих систем является возможность создания и использования для целей учебного исследования динамических чертежей - «…геометрических конструкций, которые можно изменять при сохранении алгоритма их построения путем задания изменений одного или нескольких геометрических величин конструкций. А школьном курсе математики есть множество тем, изучение которых можно превратить в небольшое исследование, где, как и в настоящих научных исследованиях, выдвигаются гипотезы, проводятся эксперименты, делаются выводы или даже открытия.

Компьютерные эксперименты с GeoGebra на уроках помогут учащимся лучше усвоить материал, развить абстрактное и логическое мышление, а также сделать уроки более интересными.

1 Основные сведения о системе GeoGebra

GeoGebra – это динамическая математическая программа для всех уровней образования, включающая в себя геометрию, алгебру, таблицы, графы, статистику и арифметику, в одном удобном для использования пакете.

Программа была написана Маркусом Хохенвартером с использованием языка Java. Переведена на 39 языков и полностью поддерживает русский язык. И в настоящее время активно совершенствуется, обновляется, а также имеется возможность работать в онлайн сервисе, который есть на официальном сайте.

К преимуществам системы GeoGebra относится:

1) динамичность программы;

2) простой и понятный пользовательский интерфейс;

3) доступность на многих языках для миллионов пользователей по всему миру, включая поддержку русского языка;

4) возможность установки программы на множества устройств: компьютеры, планшеты, телефоны с поддержкой iOS, Android, Windows Phone;

5) возможность делиться c другими пользователями моделями и разработками, а также знакомиться с другими работами на сайте GeoGebra;

6) абсолютно бесплатное программное обеспечение, являющееся прекрасным аналогом платному;

7) поддержка апплетов.

GeoGebra предоставляет много возможностей для работы в различных областях. Для этого необходимо нажать левой кнопкой мыши в область перспектив, или же перезапустить приложение, для открытия окна перспектив.

У программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т. д.) за счет команд встроенного языка, который позволяет управлять и геометрическими построениями.

Систему можно использовать для построения линий:

 построение графиков функций y = f (x);

 построение конических сечений:

 коника произвольного вида — по пяти точкам.

 окружность по центру и точке на ней, по центру и радиусу, по трем точкам;

 эллипс – по двум фокусам и точке на кривой;

 парабола – по фокусу и директрисе;

 гипербола – по двум фокусам и точке на кривой;

В системе предусмотрена возможность построения геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой-либо кривой или многоугольнику (инструмент локус).

Кроме графических действий в системе могут быть выполнены вычисления:

 действия с матрицами: сложение, умножение; транспонирование, инвертирование; вычисление определителя;

 вычисления с комплексными числами;

 нахождение точек пересечения кривых;

 статистические функции:

 вычисление математического ожидания, дисперсии;

 вычисление коэффициента корреляции;

 аппроксимация множества точек кривой заданного вида: полином; экспонента; логарифм; синусоида.

2 Выдвижение гипотез и доказательство теорем в Geogebra

GeoGebra является эффективным средством формирования умений, связанных с проведением доказательства теорем, при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием GeoGebra в связи с тем, что:

• разработка алгоритмов создания динамических чертежей в DGS требует самого широкого использования определений и теорем геометрии;

• динамические чертежи делают видимыми взаимосвязи свойств геометрических объектов;

• открытые средствами DGS факты требуют привлечения дедуктивного метода доказательства в качестве объяснительной основы наблюдаемых явлений;

• DGS облегчает учащимся способ восприятия геометрического объекта при проведении доказательств дедуктивным методом (дает возможность выделять значимые и скрывать незначимые элементы чертежа, менять ракурс, реконструировать объект);

• DGS позволяет развернуть ход рассуждений во времени, представить его с той или иной полнотой, которая необходима для помощи учащемуся.

Продемонстрируем применение GeoGebra при изучении следующей теоремы:

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180⁰.

Но прежде чем представлять формулировку теоремы и её доказательство, учащимся можно предложить изобразить треугольник, с помощью транспортира измерить его углы и найти их сумму.

При этом одним учащимся можно разделить на три группы: первая изображает остроугольный треугольник, вторая – прямоугольный, третья – тупоугольный треугольник. В качестве ответов у учащихся получатся значения, близкие к 180⁰, что объясняется погрешностью измерений. Таким образом, учащиеся выдвигают гипотезу. Для более точных построений и измерений углов можно воспользоваться программой GeoGebra. В ней можно изобразить произвольный треугольник, указав его вершины, найти величины его углов и их сумму. На рисунке 2 (рисунок 2) показан результат таких действий.

Рисунок 2 Формулировка теоремы, о сумме углов треугольника

Перемещая вершины, форму треугольника можно изменять, но сумма углов этого треугольника будет оставаться равной 180⁰. Конечно, проведённая проверка не заменяет доказательства. Она лишь подкрепляет его собственными опытами и наглядными представлениями.

Для проведения доказательства также можно воспользоваться программой GeoGebra. А именно, изобразим треугольник ABC и через его вершину C проведём прямую c, параллельную прямой AB (рисунок 3).

Рисунок 3 Доказательство теоремы: о сумме углов треугольника

Внутренние накрест лежащие углы α и α₁ при параллельных прямых AB, c и секущей AC равны, по ранее изученной теореме. В равенстве этих углов можно дополнительно убедиться, найдя их величину. Аналогично, внутренние накрест лежащие углы β и β₁ при параллельных прямых AB, c и секущей BC равны. Перемещая вершину C, форму треугольника ABC можно менять, но указанные внутренние накрест лежащие углы будут оставаться равными.

Углы α₁, γ, β₁ в сумме составляют развёрнутый угол, величина которого равна 180⁰. Следовательно, и сумма углов треугольника ABC равна 180⁰.

Таким образом, на уроках геометрии при помощи интерактивной геометрической среды GeoGebra можно формировать у учащихся умения решать задачи, поскольку программа позволяет не только строить произвольные геометрические фигуры, но и фигуры с конкретными данными и параметрами. Например, с конкретными длинами сторон, величинами углов, периметром или площадью фигуры. При этом реализуются две цели: визуализация решения задачи и применение теорем или их следствий, которых нет в учебнике.

Заключение

С помощью интерактивной геометрической среды GeoGebra можно не только визуализировать процесс обучения геометрии, делать его более наглядным и интересным, но и доказывать теоремы и решать задачи, выдвигать гипотезы, подтверждать или опровергать их, проводить компьютерные эксперименты и т.п.

Использование динамических чертежей в учебном процессе формирует у обучающихся алгоритмический стиль мышления, стимулирует их к поисковой исследовательской учебно-познавательной деятельности.

Список использованных источников

1. Абраменкова, Ю. В. Особенности применения интерактивной геометрической среды GEOGEBRA при изучении геометрии в основной шеоле / Ю. В. Абраменкова, О. В. Карлина. – Текст : непосредственный // Дидактика математики: проблемы и исследования. – 2020. – №51. – С. 61-69.

2. Атанасян, Л. С. Геометрия. 7-9 классы : учебник для общеобразовательных организаций / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов,
   С. Б. Кадомцев. – Москва : Просвещение, 2018. – 384 с. – ISBN
   978-5-09-035840-58. – Текст : непосредственный.

3. Дронова, Е. Н. Использование программы GeoGebra для решения геометрических задач основного государственного экзамена по математике / Е. Н. Дронова, Д. С. Захарова. – Текст : непосредственный // Вестник Алтайского государственного педагогического университета. –
   2017. – №31. – С. 25-29.

4. Иванчук, И. В. Использование компьютерной программы GeoGebra на уроках математики в 7-11 классах: методическое пособие / И. В. Иванчук, О. В. Эйкен, Е. В. Мартынова, Ю. В. Самылова. – Мурманск : МГПУ, 2008. – 38 с. – Текст : непосредственный.

5. Смирнов, В. А. Геометрия с GeoGebra. Планиметрия / В. А. Смирнов, И. М. Смирнова. – Москва : Прометей, 2018 – 206 с. – ISBN 978-5-907003-43-9. – Текст : непосредственный.