Проект "Старинные способы умножнения"

Министерство общего и профессионального образования

Свердловской области

XV Открытый городской конкурс исследовательских работ

«Хочу стать академиком»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 75

«Старинные способы умножения»

Исполнитель: Осипова Виктория,

ученица 3 «А» класса

МБОУ СОШ №75

Руководитель:

Краснова Марина Николаевна,

учитель начальных классов

МБОУ СОШ №75

Екатеринбург, 2017

Оглавление

Введение 3

Теоретическая часть 5

История изобретения таблицы умножения. 5

Практическая часть 7

Анкетирование 7

Способы умножения 7

1. Умножение на пальцах 7

2. Умножение на 9 8

3. Индийский способ умножения 9

4. «Маленький замок» 9

5. «Ревность» 10

6. Крестьянский метод 11

Игра-соревнование «Умножение с увлеченьем» 12

Заключение 13

Список литературы 14

Приложения 15

Введение

Дважды два равно четыре,

Трижды девять - двадцать семь.

Это всем известно в мире,

И давно известно всем.

Шестью восемь - сорок восемь,

Пятью девять - сорок пять.

Это где кого ни спросим,

Знают все и будут знать.

Ну, а если кто-нибудь

Скажет вдруг, что это муть,

Не запустит он ракету,

Не построит самолёт,

И я спорю на конфету –

На волшебную планету

Ни за что не попадёт!

Всем детям приходится в школе знакомиться с таблицей умножения. И некоторым очень трудно её понять и выучить наизусть. Мне стало интересно, кто придумал эту таблицу? Я решила узнать об этом в Интернете. Потом я стала думать, а как легче её запомнить? Существуют ли какие-нибудь   другие способы запоминания таблицы умножения?  Я предположила, что, наверное, существуют лёгкие и простые способы запоминания таблицы умножения? В своей работе я постараюсь доказать это.

Актуальностьданной темы заключается в том, что в информационном обществе современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме, поэтому мы сочли важным показать, как использование нестандартных способов и приёмов запоминания таблицы умножения способствует формированию вычислительных навыков, усиливает интерес обучающихся к математике и содействует развитию математических способностей.

Проблема: какие старинные (нестандартные) способы умножения существуют?

Объект:алгоритмы счета.

Предмет: процесс вычисления.

Цель:создание печатного сборника и съемка видеоуроков интересных и простых старинных способов умножения.

Задачи:

1. Найти необычные способы запоминания таблицы умножения.

2. Создать сборник старинных способов умножения.  

3. Научиться их применять на практике.

Методы исследования:

• поисковый метод: изучение литературы, поиск необходимой информации в сети Интернет;

• практический метод:создание сборника старинных (нестандартных) способов умножения, съемка видеоуроков.

Гипотеза: если при заучивании таблицы умножения, школьники будут использовать старинные (нестандартные) способы, то процесс заучивания можно сделать интереснее и продуктивнее.

Практическая значимость проектазаключается в том, что данный печатный сборник может быть использован на уроках математики, а также на факультативных занятиях и мероприятиях в рамках недели математики. Видеоуроки выложены в сети Интернет на канале Ютуб и доступны для всех категорий пользователей сети Интернет.

Теоретическая часть

История изобретения таблицы умножения.

Первое упоминание о таблице умножения известно еще с 1-2 веков. Она была изображена в формате десять на десять в книге Никомаха Геразского «Введение в арифметику». Там же было приведено, что такое изображение таблицы около 570 года до нашей эры применял Пифагор. В таблице Пифагора цифры были записаны в ионийской нумерации. Там использовалось двадцать четыре буквы из греческого алфавита и три архаические буквы финикийцев 6=вау, 90=коппа, 900=сампи. Для отличия цифр от букв над числами проводилась горизонтальная черта.

Древнегреческая запись десятичных чисел и современная модель таблицы умножения существенно отличаются друг от друга. К отличиям можно отнести использование и неиспользование ноля. Цифры-буквы от 1 до 9 не используются для обозначения полных десятков, полных сотен и полных тысяч. Они обозначаются собственными буквами.

В древности у народа не было знаков суммы и разности. Если в паре чисел-букв левое число было больше, то они складывались, а если больше было правое число, то из него вычиталось левое.

Введение в обиход народа таблицы умножения поспособствовало прогрессу устного и письменного счета. Ранее существовали различные хитрые способы вычисления произведений однозначных чисел. Они замедляли процесс, и из-за них совершалось множество вычислительных ошибок.

В российских школах таблица умножения доходит до 10Х10. В школах Великобритании таблица умножения заканчивается на 12Х12. Это связано с единицами английских мер длины. Один фут равняется двенадцати дюймам.

Во времена Советского Союза ученикам первого класса задавали на летние каникулы учить таблицу умножения. Во втором классе на уроках

математики закрепляли знания по таблице умножения. Сейчас же в России изучение таблицы умножения начинается обычно во втором классе.

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

В нашем современном обществе, когда у каждого есть телефон с калькулятором, мы всё чаще и чаще используем его, и, следовательно, уже забываем, как можно без всякой техники легко и быстро посчитать сложные и большие числа или не очень большие.

Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что ученики затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического направления.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел, и все эти приемы соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

В своем проекте я рассмотрела несколько простых и интересных способов запоминания таблицы умножения, в результате чего создала печатный сборник и видеоуроки.

Практическая часть

Анкетирование

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, было проведеноанкетирование. Было опрошено 24 обучающихся 3 «А» класса.

В анкете было представлено 3 вопроса: нужно ли знать таблицу умножения современному человеку, большинство обучающихся выбрали ответ да, хотя среди обучающихся и были те, кто считает, что знание таблицы умножения не актуально в наши дни. На вопрос возникают ли трудности при заучивании таблицы умножения,мнения обучающихся разделились почти поровну. И на вопрос знают ли они другие способы запоминания таблицы умножения, большинство обучающихся ответили нет.

Результаты анкетирования показали, что некоторые современные школьники не считают знание таблицы умножения актуальным и не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы (Приложение 1).

Способы умножения

Данная темы не нова и в сети Интернет есть большое количество разных способов запоминания таблицы умножения, но нет единого сборника, в котором были бы представлены наиболее интересные и простые способы запоминания таблицы умножения школьниками.

Я разработала сборник «Старинные способы умножения», в котором представила несколько простых и интересных способов.

1. Умножение на пальцах

Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.

Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56. Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5(Приложение 2).

1. Умножение на 9

Умножение для числа 9 — 9·1, 9·2 … 9·10 — легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако

именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа — количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа — 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».

Еще пример: нужно вычислить 9·8=? По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа — 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто (Приложение 3).

1. Индийский способ умножения

Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6.

• 537 6

• (5 ∙ 6 =30) 30

• 537 6

• (300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

• 537 6

• (3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

1. «Маленький замок»

Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет. За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494 г.) приводит восемь различных методов умножения. Первый из них носит название «Маленький замок», а второй не менее романтичное название «Ревность или решетчатое умножение».

Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину.

Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются (Приложение 4).

1. «Ревность»

Способ носит романтическое название «ревность», или «решётчатое умножение».

Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, — пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь».

Умножим этим способом 347 на 29. Начертим таблицу, запишем над ней число 347, а справа число 29.

В каждую строчку запишем произведение цифр, стоящих над этой клеткой и справа от нее, при этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц – под ней. Теперь складываем числа в каждой косой полосе, выполняя эту операцию, справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то ее пишем под нижней цифрой полосы. Если же она окажется больше, чем 10, то пишем только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляем к следующей сумме. В результате получаем искомое произведение 10063(Приложение 5).

1. Крестьянский метод

Самым, на мой взгляд, «родным» и легким способом умножения является способ, который употребляли русские крестьяне. Этот прием вообще не требует знания таблицы умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением

• 37……….32

• 74……….16

• 148……….8

• 296……….4

• 592……….2

• 1184……….1

Произведение всех пар соответственных чисел одинаковое, поэтому

• 37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

• 24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

Вывод!!!

Игра-соревнование «Умножение с увлеченьем»

Для того, чтобы подтвердить гипотезу исследования, мы вместе с учителем для обучающихся 2-х классов организовали неделю изучения таблицы умножения. В течение 4 дней мы обучали обучающихся разным способам запоминания таблицы умножения, а на 5 день провели для них игру-соревнование «Умножение с увлечением». В которой приняли участие две команды и 5 человек: 2 «а» класса и 2 «б» класса МБОУ СОШ № 75.

Обучающиеся в ходе игры должны были используя способы запоминания таблицы умножения, которым мы учили их в течение 4-х дней, решать табличные случаи умножения.

По итогам игры-соревнования обучающимся были вручены сертификаты участия в игре-соревновании «Умножение с увлеченьем». Также обучающиеся оставили отзывы об игре (Приложение 6).

Заключение

В ходе работы над проектом рассмотрены нестандартные способы умножения и выявлено, что современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный.

Научившись считать всеми представленными способами, я пришла к выводу, что учить таблицу умножения можно с интересом и большим удовольствием, а также разные способы развивают такие мыслительные функции как логику, выбор рационального пути решения, память и другое.

Из всех найденных мною необычных способов счета более интересными показались способы умножения на 9 и умножение на пальцах. Использовать пальцы рук как инструмент при умножении чисел интересно и увлекательно. Эти методы подходят для умножения чисел от 6 до 10, так как чаще всего забываются таблицы на 6,7,8,9.

Без заучивания таблицы умножения не обойтись. Ведь некоторым людям будет сложнее понять ход вычислений, чем вспомнить необходимое число.  А всем, кому интересен тот или иной способ, надо только тренироваться – и тогда секреты умножения быстро запомнятся.

Список литературы

1. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.

2. Перельман Я.И. Занимательная арифметика,- М.: АО «Столетие»,1994. - 176 с.

3. Энциклопедия. Я познаю мир. Математика. – М.: Астрель Ермак, 2004. - 368 с.

4. Энциклопедия для детей. Математика. – М.: Аванта +, 2003. - 688 с.

Интернет – ресурсы

1.Быстрое умножение без калькулятора. http://samoychka.ru

2.Как научиться быстро считать в уме. http://kanks.ru/

3.Корнеев А.А.  Феномен русского умножения. История. http://numbernautics.ru/

Приложения

Приложение 1

Анкета

1. Нужно ли знать таблицу умножения современному человеку?

А) да

Б) нет

1. Возникают ли у Вас трудности при заучивании таблицы умножения?

А) да

Б) нет

1. Знаете ли Вы другие способы запоминания таблицы умножения?

А) да

Б) нет

Приложение 2

Умножение на пальцах

Приложение 3

Умножение на 9

Приложение 4

«Маленьких замок»

Приложение 5

«Ревность»

Приложение 6

Игра-соревнование

«Умножение с увлеченьем»

Цель: повышение интереса обучающихся 2-х классов к изучению таблицы умножения.

Задачи:

• формирование представлений о разных способах запоминания таблицы умножения;

• развитие внимания, мышления и памяти;

• привитие интереса к урокам математики.

Из обучающихся 2-х классов формируются две команды по 5 человек. Каждая команда, используя нестандартные способы запоминания таблицы умножения, решает табличные случаи умножения. Побеждает та команда, которая быстро и правильно решит все примеры таблицы умножения на 6,7,8,9.