Внеклассное мероприятие «Решение комбинаторных и стохастических задач» (по мотивам фильма «Мумия»)

Новиковский филиал

МБОУ Куйбышевской СОШ имени А.А.Гречко

Внеклассное мероприятие

«Решение комбинаторных и стохастических

задач» (по мотивам фильма «Мумия»)

разработала и провела

учитель начальных классов

Н.С.Штенская

октябрь, 2015

Тема: «Решение комбинаторных и стохастических задач».

Цели:

Образовательные.

1. Повторить решение комбинаторных и стохастических задач.

2. Учить применять правило суммы и правило произведения при решении комбинаторных задач.

Развивающие.

1. Развитие логического мышления.

2. Развитие внимания и наблюдательности.

3. Развитие математической речи.

Воспитательные.

1. Воспитание самостоятельности.

2. Воспитание стремления к взаимопомощи.

3. Воспитание уважения к мнению других.

Ход занятия:

1.Организационный момент.

– На занятии мы еще раз совершим с вами увлекательное путешествие по стране Стохастика. Вспомним, как решаются комбинаторные и стохастические задачи, повторим основные правила комбинаторики и решим несколько интересных заданий.

2.Устный счет. Учитель: Давайте теперь решим с вами «Магический квадрат»

		170
	140	100
		150

Учитель: А вы знаете, откуда появился «Магический квадрат»?

Вопросы, связанные с наукой «Комбинаторика», освещаются в китайских рукописях, относящихся к 1312 вв. до н. э. До нас дошли лишь копии этих рукописей, сделанные позже, т. к. в 213 г до н. э. император Цинн Ши Хуан приказал сжечь все книги.

Цинн Ши Хуан провозгласил себя царем Китая. Его имя в переводе на русский означало «первый циньский царь». Это был очень жестокий правитель. Чтобы не допустить народного восстания, он приказал отобрать у всех, кроме воинов, оружие. Когда китайские ученые стали говорить, что царь нарушает обычаи, записные в древних книгах, он приказал сжечь книги и закопать в землю 450 ученых.

Согласно китайской философии все в мире является сочетанием двух начал  мужского и женского (--- и --). В рукописи «Же Ким» («Книга перестановок») показаны различные сочетания этих знаков по два и по три.

Неудивительно, что сумма первых 8 натуральных чисел (т. е. Число 36) воплощала в представлениях китайцев весь мир.

Сведения о «магическом квадрате» дошли до нас из той же рукописи «Же Ким». Император Иго, живший 4000 лет назад, нашел на берегу священную черепаху, на панцире которой был изображен рисунок.

Если заменить каждую фигуру соответствующим числом, то возникает такая таблица.

Если сложить в каждой строке, столбце и диагонали числа, то получится одна и та же сумма 15. В древности китайцы придавали мистическое толкование числам. Когда они открыли таблицу с чудесными свойствами, то назвали ее «ло-шу», стали употреблять ее при заклинаниях и считать магическим символом. Такую таблицу теперь мы называем «Магическим квадратом».

Учитель: Давайте вспомним, какие основные комбинаторные правила вы знаете?

Ученик: Правило суммы и правило произведения.

Учитель: В чем же заключается суть этих правил?

Ученик: Если объект а можно выбрать m способами, а объект b можно выбрать k способами, отличными от способа выбора объекта а, то выбор «либо а, либо b» можно осуществить m+k способами  это правило суммы.

Ученик: Если объект а можно выбрать m способами, и если после каждого такого выбора объект b можно выбрать k способами, то выбор упорядоченной пары (a,b) можно осуществить m k способами  это правило произведения.

Учитель: Совершенно верно. Теперь давайте вспомним, как решать задачи на эти правила, и погрузимся в атмосферу древних тайн.

2.Повторение пройденного материала.

Учитель: На бескрайних просторах египетской пустыни компания сорвиголов разных национальностей рыщет в поисках несметных сокровищ фараона, над которым тяготеет жуткое древнее проклятие. Рядом с кладом покоится мумия коварного жреца, жестоко казненного за ужасное убийство могущественного правителя Египта. Молодые и обаятельные искатели сокровищ сначала находят древнеегипетский город мертвых. При раскопках древней гробницы Фрэнк, его невеста Эвелин и их друзья нашли мумию, а затем красивые книги с разными заклинаниями. (Показ фрагмента фильма.) Книги написаны на древнеегипетском языке¹, искатели сокровищ  англичане. Чтобы прочесть книги надо, решить задачу.

Задание. В группе искателей сокровищ сорок человек, из них 23 человека знают египетский язык, 32  английский, двое говорят только на итальянском языке. Есть ли в группе те, кто говорит и на английском языке и на египетском.

Решение. Анализ условия показывает, что в задаче речь идёт о множестве А –искатели сокровищ (40 человек), о множестве В – люди, которые знают египетский язык (23 человека), о множестве С – люди, говорящие по-английски (32 человека) и о множестве К – те, кто не говорит ни по-египетски, ни по-английски ( 2 человека).

Изобразим описанную ситуацию с помощью кругов Эйлера.

Имеем: 1  люди, которые говорят и на английском языке и на египетском;

2 – люди, которые знают египетский язык;

3

1

2

4

С

В

3 – люди, говорящие по-английски;

4 – люди, которые не говорят ни по-египетски, ни по-английски;

Чтобы найти количество людей, которые говорят на английском или на египетском языке, необходимо из числа всех искателей сокровищ вычесть число людей, говорящих только по-итальянски: 402=38(человека).

Кроме того, по условию задачи известно, что 23 человека знают египетский язык, 32  английский язык, то есть знают либо один, либо другой язык: 32+23=55 (человек). Следовательно, оба языка знают: 55-38 = 17(человек).

Ответ: 17 человек знают и английский, и египетский язык.

Искатели приключений прочитали книги и выпустили на свет то существо, которое веками охраняли волхвы,  мумия ожила. Это существо представляло собой великого жреца, зловещего властителя языческого мира мертвых. Чтобы узнать, как его зовут, нужно выполнить следующее задание.

Задание. Из цифр 1, 2, 3, 4, 6 составь четные двузначные числа, так чтобы цифры в записи числа не повторялись. Расположи их в порядке убывания.

Работа над заданием.

Учитель: Прочитайте задание. Что требуется сделать?

Ученик: Составить двузначные числа из цифр 1, 2, 3, 4, 6.

Учитель: Какими должны быть составленные нами числа?

Ученик: Четными.

Учитель: Какие двузначные числа являются четными?

Ученик: Четными являются те числа, в разряде единиц которых находится четная цифра.

Учитель: Среди предложенных нам цифр есть четные?

Ученик: Да. Это цифры 2, 4 и 6.

Учитель: Значит, какие цифры мы можем поставить в разряд единиц?

Ученик: Цифры 2, 4 и 6.

Учитель: Какое значение может принимать количество десятков?

Ученик: 1 или 3.

Учитель: Составьте самостоятельно «дерево возможностей».

После самостоятельной работы проверяем выполнение. У доски работает ученик.

Учитель: Пользуясь «деревом возможностей», скажите, какие числа получим, если количество десятков будет равно 1?

Ученик: 12, 14, 16.

Рассуждая аналогично, получаем числа: 32, 34, 36.

Учитель: Что в задании требуется сделать с полученными числами?

Ученик: Расположить их в порядке убывания.

Учитель: Какое число будет первым в ряду: наибольшее или наименьшее?

Ученик: Первым будет наибольшее число – 36.

Учитель на доску прикрепляет карточку с числом 36.

Учитель: Какое число следующее? Почему?

Ученик: 34, так как 34 меньше 36 и больше всех оставшихся чисел.

На доске появляется карточка с числом 34.

Аналогично рассуждая, получаем ряд чисел: 36, 34, 32, 16, 14, 12.

На оборотной стороне каждой карточки находится буква.

Перевернув карточки, получаем слово Имотеп.

Учитель: А давайте узнаем, сколько сот лет пролежала мумия в пирамиде. Для этого решим задачу.

Задача. Сколько лет мумия Имотепа пролежала в пирамиде, если известно, что записать количество ее лет можно трехзначным числом с помощью цифр 1, 2, 3, и если отнять от числа сотен число десятков, а потом прибавить число единиц, то получится 2 (цифры в записи числа не повторяются)?

Работа над заданием.

Учитель: Прочитайте задачу. Каким образом можно записать количество сотен лет?

Ученик: Трехзначным числом цифрами 1, 2, 3.

Учитель: Какое условие при этом должно выполняться?

Ученик: Если отнять от числа сотен число десятков, а потом прибавить число единиц, то должно получиться 2 и цифры в записи не повторяются.

Учитель: Давайте решим эту задачу с помощью дерева возможностей. Какие разряды будут присутствовать в нашем числе?

Ученик: Единицы, десятки, сотни.

Учитель: Почему?

Ученик: Так как количество заданных лет записывается трехзначным числом по условию задачи.

Учитель: Какие цифры могут быть в разряде сотен?

Ученик: 2 или 3.

Учитель: Почему в разряде сотен не может быть единицы?

Ученик: Так как по условию от числа сотен нужно отнять число десятков. Если в разряде сотен будет 1, то в разряде десятков будет цифра 2 или 3, так как по условию задачи цифры в записи не повторяются. Значит, по условию, мы должны от 1 отнять 2 или 3, а это невозможно. Таким образом, в разряде сотен не может быть единицы.

Учитель: Построим дерево возможностей, когда в разряде сотен стоит цифра 2. Какие цифры будут в разряде десятков?

Ученик: 1 или 3.

Учитель: Почему?

Ученик: По условию, цифры в записи числа не должны повторяться, поэтому, если в разряде сотен цифра 2, то в разряде десятков будет цифра 1 или 3.

Чертим фрагмент графа.

сотни 2

десятки 1 3

Учитель: Какие цифры будут в разряде единиц?

Ученик: 3 или 1.

Учитель: Построим дерево возможностей.

Сотни 2

Десятки 1 3

Единицы 3 1

Аналогично строится дерево возможностей следующего вида.

Сотни 3

Десятки 1 2

Единицы 2 1

Учитель: Какие числа у нас получились?

Ученик: 213, 231, 312, 321.

Учитель: Проверьте, какое из данных чисел удовлетворяет условию нашей задачи. Что для этого нужно сделать?

Ученик: От числа сотен отнять число десятков и прибавить число единиц, должно получиться 2.

2 – 1 + 3 = 4 2 – 3 + 1 3 – 1 + 2 = 4

3 – 2 + 1 = 2 – верное решение

Ответ: 321 сотню лет мумия Имотепа пролежала в пирамиде.

Учитель: Мумия египетского жреца проснулась и теперь хочет всех людей уничтожить. В мгновение ока она может из истлевшей твари превратиться в гору песка, потом подняться стремительным вихрем до небес, разверзнуть свою пасть и в один присест проглотить что угодно. Ей повинуются армия древнеегипетских слуг и жуки, роющие норки в человеческом организме. (Показ фрагмента фильма.) Всеми миру угрожает опасность. Необходимо вернуть Имотепа опять в царство мертвых.

Для этого необходимо произнести заклинание, но оно зашифровано.

Задание. Часть этого заклинания хранится в «Книге Живых» («Книга Амон-Ра»), а вторая часть в «Книге мертвых»). Для начала необходимо открыть книгу «Амон-Ра», подобрав одно из 5 имеющихся различных слов на египетском языке, затем  «Книгу Мертвых», подобрав подходящее слово из 3 имеющихся. Далее в этих книгах вы найдете части фразы и расшифруете, подобрав одно из слов, из 5 имеющихся, которые использовал для открытия «Книги Амон-Ра», и одно слово из 3 имеющихся, использованных для открытия «книги Мертвых».

Какие действия необходимо произвести, чтобы спасти мир?

ВЫБОР ПЕРВОГО СЛОВА	5 СПОСОБОВ
ВЫБОР ВТОРОГО СЛОВА	3 СПОСОБА
КОЛИЧЕСТВО СПОСОБОВ РАСШИФРОВКИ ЗАКЛИНАНИЯ	53=15

Работа над заданием.

Учитель: Из скольких слов состоит фраза?

Ученик: Из двух.

Учитель: Что мы знаем об этом?

Учитель: Сколько существует способов выбора слов из книги «Амон-Ра»?

Ученик: Пять.

Учитель: Сколько существует способов выбора слов из «Книги Мертвых»?

Ученик: Три.

Учитель: Что надо сделать, чтобы расшифровать заклинание?

Ученик: Зашифрованная фраза состоит из двух частей. I-я часть – выбор слова из 5 имеющихся, составляет 5 способов выбора слова, II – я часть  выбор слова из 3 имеющихся, составляет 3 способа выбора. Чтобы узнать общее число способов выбора слов для заклинания, надо найти произведение 5  3=15.

Ответ. Существует 15 способов, чтобы расшифровать заклинание.

Учитель: Золотоискатели потревожили многовековой покой гробницы  мумия восстает из могилы, чтобы погрузить мир в царство кошмара. Для этого Имотеп, обретший невероятное могущество, хочет воскресить свою подругу. Френк, его невеста Эвелин и их друзья решают помешать этому и отправляются в погоню. Им нужно срочно перебраться на другую сторону Нила  паромщик требует за это золотую, серебряную и медную монеты.

Задание. У Френка было 5 золотых монет, 5 серебряных монет и 5 медных монет. Сколько монет он должен достать, не глядя, из мешочка, чтобы у него наверняка оказались золотая, серебряная и медная монета?

Работа над заданием.

Учитель: Прочитайте задачу еще раз. Сколько монет было у Френка?

Ученик: У Френка было 5 золотых, 5 серебряных и 5 медных монет.

Учитель: Каким образом он должен достать монеты?

Ученик: Он должен достать монеты из мешочка, не глядя.

Учитель: Какие монеты у него должны оказаться?

Ученик: У него наверняка должны оказаться золотая, серебряная и медная монеты.

Учитель: Если он вынет из мешочка 1 монету, может у него оказаться 3 монеты?

Ученик: Это невозможно, так как, вынув одну монету, нельзя получить 3 монеты.

Учитель: О каком событии идет речь?

Ученик: О невозможном.

Учитель: Если Френк вынет 2 монеты, может у него оказаться 3 монеты?

Ученик: Это невозможное событие, так как из двух монет не окажется 3 монеты.

Учитель: Если Френк вынет из мешочка 3 монеты, может ли среди них оказаться золотая, серебряная и медная монеты?

Ученик: Это событие возможно, но не обязательно, так как среди трех монет может оказаться золотая, серебряная и медная монеты, но может и не оказаться.

Аналогично, если вынуть 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 монет.

Учитель: Если Френк вынет из мешочка 11 монет, может ли среди них наверняка оказаться золотая, серебряная и медная монеты? Почему?

Ученик: Если Френк вынет из мешочка 11 монет, то среди них наверняка окажутся и золотая, и серебряная, и медная монеты. Например, у него из 11 монет могут оказаться 5 золотых и 5 серебряных монет, тогда 1 монета будет наверняка медная.

Аналогично, если вынуть 12, 13, 14, 15 монет.

Учитель: Какой же ответ мы дадим на поставленный в задаче вопрос?

Ученик: Чтобы у Френка наверняка оказались золотая, серебряная и медная монеты, он должен достать, не глядя, из мешочка либо 11 монет, либо 12 монет, либо 13, либо 14, либо15 монет.

Видя, что друзьям очень нужно попасть на другой берег, коварный паромщик меняет свое условие  он требует теперь 5 золотых монет.

Задание. Френк решил дать паромщику 5 золотых монет. Какое минимальное количество монет он должен взять из мешочка, не глядя, чтобы среди них оказались 5 золотых монет?

Работа над заданием.

Учитель: Прочитайте задачу. Сколько золотых монет решил дать Френк паромщику? Ученик: 5 золотых монет.

Учитель: На какой вопрос мы должны ответить?

Ученик: Какое минимальное количество монет Френк должен взять, не глядя из мешочка, чтобы среди них оказались 5 золотых монет.

Учитель: Если он возьмет 1 монету, может у него в руке оказаться 5 золотых монет? Почему?

Ученик: Это невозможно, так как, вынув 1 монету, нельзя получить 5 монет.

Аналогично, если взять 2, 3, 4 монеты.

Учитель: Если Френк возьмет 5 монет, может ли среди них оказаться 5 золотых монет?

Ученик: Если вынуть пять монет, то возможно, что они окажутся золотыми, но это необязательно, то есть среди них может и не оказаться 5 золотых монет.

Аналогично, если взять 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 монет.

Учитель: Как вы думаете, в каком из случаев у Френка будет наибольшая возможность вынуть 5 золотых монет – если он достанет из мешочка 5, 10, или 14 монет?

Ученик: Если он достанет 14 монет, то более вероятно, что среди них окажутся 5 золотых монет.

Учитель: Если взять 15 монет, какое событие произойдет?

Ученик: Среди них наверняка будут 5 золотых монет.

Учитель: Какое же минимальное количество монет Френк должен взять из мешочка не глядя, чтобы среди них оказались 5 золотых монет?

Ученик: 5 монет.

Учитель: Получив пять золотых монет, Френк и Эвелин, а вместе с ними и мы продолжим свое путешествие. Друзья подошли к пещере, в которой находится Имотеп. В ней три входа и двери заперты.

Задание. Имеется три ключа (золотой, серебряный и деревянный) от трех дверей. Друзья не знают, каким ключом открывается каждая из дверей. Сколько различных вариантов есть у Френка и его друзей, чтобы открыть эти двери?

Работа над заданием.

Учитель: Какие ключи были у Френка и его друзей?

Ученик: Золотой, серебряный и деревянный.

Учитель: Осуществляя систематический перебор всех возможных вариантов, решим нашу задачу.

У доски работает один ученик, составляя различные варианты.

Учитель: Каким ключом могла открываться первая дверь?

Ученик: Первая дверь могла открываться золотым ключом.

Учитель: Тогда каким ключом могла открываться вторая дверь?

Ученик: Она могла открываться либо серебряным, либо деревянным ключом.

Учитель: Если первая дверь открывается золотым ключом, вторая серебряным, то каким ключом открывалась третья дверь?

Ученик: Третья дверь открывалась деревянным ключом.

Учитель: Если первая дверь открывалась золотым ключом, вторая деревянным, то каким ключом открывалась третья дверь?

Ученик: Серебряным ключом.

На доске записываем варианты. З. С. Д

З. Д. С.

Учитель: Аналогично, если первая дверь открывалась серебряным ключом.

С. З. Д.

С. Д. З.

Учитель: Аналогично, если первая дверь открывалась деревянным ключом.

Д. С. З.

Д. З. С.

Ответ: У Френка и его друзей есть 12 вариантов, чтобы открыть двери.

Учитель: Сколько у Френка и его друзей есть вариантов открыть двери, если он знает, что первая дверь открывается золотым ключом?

Ученик: Два варианта.

Показ фрагмента фильма: мумия побеждена.

3. Итог внеклассного мероприятия.

Учитель: Чтобы помочь героям фильма, какие задания нам пришлось выполнить?

Ученик: Задания комбинаторного и вероятностного характера.

Учитель: Какие методы решения комбинаторных задач мы применяли?

Ученик: Метод перебора, составление дерева возможностей.

Учитель: Какие правила комбинаторики использовали при решении задач?

Ученик: Правило произведения и правило суммы.

Учитель: Какие задания вам особенно понравились?

Учитель: Итак, ребята, путешествуя сегодня вместе с нашими героями, мы попали в удивительную, чудесную страну Математику. В будущем мы еще не раз побываем в этой замечательной стране, выполним много интересных заданий. А сегодня мы закончим наше путешествие.

Спасибо вам всем за активное участие!

До новой встречи!

1^ Египетский язык, язык древних египтян, обитателей долины Нила. Вместе с происходящим от него коптским входит в семито-хамитскую семью языков. Египетский язык (мёртвый язык с 5 в. н. э.)  один из древнейших культурных языков мира. Первые письменные памятники Египетский язык относятся к рубежу 43-го тыс. до н. э., последние  к 5 в. н. э. На протяжении 35 веков Египетский язык существенно изменялся. В его развитии различают следующие периоды: староегипетский язык (3022 вв. до н. э.); среднеегипетский язык (2216 вв. до н. э.); новоегипетский язык (168 вв. до н. э.); демотический язык (8 в. до н. э.  5 в. н. э.). Около 3 в. н. э. начинает складываться коптский язык.