РЕФЕРАТ Проблемы визуализации решений математических задач

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

Проблемы визуализации решений математических задач

Автор работы ______________________________________ К. А. Приходько

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль Математика.Информатика

Руководитель работы_______________________________ Т. В. Кормилицына

Оценка__________________

Саранск 2021

Визуализация – это процесс представления данных в виде изображения с целью максимального удобства их понимания; придание зримой формы любому мыслимому объекту, субъекту, процессу и т. д. В памяти человека остаётся 1/4 часть услышанного материала, 1/3 часть увиденного, 1/2 часть увиденного и услышанного, 3/4 части материала, если ученик привлечен в активные действия в процессе обучения. Компьютер позволяет создать условия для повышения процесса обучения, а учёт успеваемости становится более эффективным и огромный поток информации – легкодоступным.

История развития дидактики связана с именами великих педагогов и психологов, развивавших и совершенствующих, начиная с XVII века, её основные принципы. Особое место среди них занимает положение о наглядности обучения. Теоретическое обоснование принципа наглядности впервые предложил Ян Коменский, полагавший, что наглядность является одним из важнейших инструментов процесса обучения. И. Г. Песталоцци, много занимавшийся вопросами использования наглядности, рассматривал ее как средство развития у детей наблюдательности, умения сравнивать предметы, выявлять их общие и отличительные признаки и соотношения между ними. Он первым указал на роль использования наглядности для формирования логического мышления.

Большое значение соблюдению принципа наглядности придавал русский педагог К. Д. Ушинский, писавший о наглядности, как об «инструменте», отвечающем психологическим особенностям детей. Наглядность, по его мнению, делает обучение более доступным, конкретным и интересным, что является фактором, препятствующим образованию перегрузок и возникновению усталости. Много внимания уделяли восприятию ребёнком предметов и явлений окружающего мира советские психологи середины XX века. В результате большинство из них пришли к выводу, что «наглядность не изолирует восприятие и представление от целостной аналитико-синтетической умственной деятельности».

Компьютеризация образовательного процесса открывает новые пути в развитии мышления, предоставляя новые возможности для активного обучения.

Поскольку наглядно-образные компоненты мышления играют исключительно важную роль в жизни человека, то использование их в изучении оказывается чрезвычайно эффективным; компьютерная графика позволяет детям незаметно усваивать учебный материал. Компьютер может использоваться на всех этапах процесса обучения: при объяснении нового материала, закреплении, повторении, контроле, при этом для ученика он выполняет различные функции: учителя, рабочего инструмента, объекта обучения, сотрудничающего коллектива.

Становится необходимым перейти от взгляда на наглядность как одного из вспомогательных средств обучения математике к полноценному использованию визуального мышления школьника в процессе становления его математического образования.

В основу рассуждений положено определение В. П. Зинченко: «Визуальное мышление — это человеческая деятельность, продуктом которой является порождение новых образов, создание новых визуальных форм, несущих определенную смысловую нагрузку и делающих значение видимым».

Визуализация в обучении математике – одна из "вечных" проблем математического образования. Она была актуальна еще в 1957 г., когда Пьер Ван Хиель впервые представил модель обучения геометрии с опорой на развитие визуального мышления учащихся. Необычайно популярна эта тема и сегодня. В 2001 г. Национальный совет учителей математики США целиком посвятил свой очередной ежегодник проблеме представления знаний в обучении школьной математике.

Попытаемся рассмотреть взаимодействие визуального и других способов представления информации.

Можно выделить следующие уровни взаимодействия:

1. Динамическое визуальное представление

• реальный процесс;

• виртуальная реальность;

• видео, изображение.

1. Статическое визуальное представление

• реальный объект;

• фотография;

• иллюстрация/рисунок/картина.

1. Абстрактное визуальное представление

• образ/график/чертеж;

•   концептуальная карта/схема;

• абстрактный знак/обозначение.

1. Символическое/вербальное представление

• определение/описание;

• название/ярлык;

• класс/род.

Английский психолог Р. Скемп в своей книге "Психология учения математике" описывает следующую ситуацию, подтолкнувшую его к изучению проблемы визуализации и разработке теории схемы. 

Однажды коллега пригласил его посетить школу, в которой впоследствии тому предстояло работать. По телефону Скемп получил инструкцию (вербальный маршрут) о том, как доехать до школы: "После въезда в город по автомобильной магистрали А45 надо повернуть налево, затем на следующем переулке повернуть опять налево, на следующем светофоре - снова налево, далее через два светофора - направо, прямо проехать парковую зону и, наконец, повернуть налево к зданию школы". Поскольку по ходу телефонного разговора Р. Скемп пытался записать основные пункты маршрута, то в блокноте у него осталась следующая запись:

А45
         налево
         налево
         налево
         направо
         прямо
         налево
         школа

Нетрудно догадаться, что Скемп заблудился тут же после въезда в город. Ему пришлось купить карту города и по ней сориентироваться, как добраться до школы. Очевидно, что в некоторых случаях вербальная модель представления информации дает заведомо ошибочную картину для решения задачи.

Концептуальное знание во многих случаях связано с визуальным представлением знаний, в то время как процедурное – с числовым, абстрактным и символическим представлением учебной информации. Например, концептуальное понимание того факта, что дроби 3/4 и 9/12 эквивалентны, предполагает визуализацию этого равенства. В этом случае ученик видит, что обе дроби выражают одно и то же число. Для процедурного понимания указанного факта учащийся должен знать вычислительную процедуру: как из одной дроби получить другую.

В процессе обучения математике важны оба типа знания: и концептуальное, и процедурное. Игнорирование одного из них приводит к существенным пробелам в математической подготовке школьников.

В отечественной психологии математики проблема соотношения визуального и других способов представления информации достаточно подробно рассмотрена в известной работе В. А. Крутецкого «Психология математических способностей школьников» на примере аналитического, геометрического и гармонического типов склада математического ума школьников. Так, ученики с преобладающим аналитическим типом математического мышления имеют очень сильно развитые словесно-логические способности и не нуждаются в использовании наглядно-образных опор в процессе решения математических задач и доказательства теорем. Дети с геометрическим типом мышления, напротив, имеют слабые словесно-логические, но очень сильно развитые наглядно-образные способности, что мотивирует их использовать наглядные опоры в решении задач. У учащихся гармонического типа, которых в экспериментах В. А. Крутецкого оказалось большинство, наблюдается равновесие в развитии словесно-логической и наглядно-образной составляющих математического мышления.

Место и роль визуализации в процессе обучения математике, в частности геометрии, были предметом масштабного исследования супругов Пьера и Дины (Гелдоф) Ван Хиель. Они построили модель обучения геометрии, согласно которой существует определенная зависимость между уровнем обучения геометрии и уровнями развития геометрического мышления школьников.

В соответствии с данной моделью для успешного изучения геометрии необходимо последовательно пройти цепочку: фигуры – свойства – доказательства – аксиоматический метод. Это помогает спроектировать сквозной курс геометрии, проходящий через все ступени школы: начиная с изучения геометрических форм в начальной школе, далее к изучению свойств геометрических фигур на средней ступени школы, затем к осмыслению строгости, доказательности в геометрических рассуждениях и, наконец, к аксиоматическому методу построения геометрии в старших классах. В связи с этим выделяются следующие уровни развития геометрического мышления школьников.

Нулевой уровень – визуализация. Ученик умеет распознавать различные геометрические формы, знает названия различных геометрических фигур, различает фигуры на плоскости и в пространстве.

Первый уровень – анализ. Ребенок способен распознавать отдельные элементы геометрических фигур, понимать взаимоотношения между элементами, усваивать свойства отдельных элементов и геометрических фигур в целом, готов к первичному восприятию методов геометрических преобразований.

Второй уровень – неформальная дедукция. Этот уровень характеризуется способностью школьника к классификации геометрических фигур по различным признакам и свойствам, к построению простейших умозаключений, а также готовностью к усвоению предложенных учителем доказательств элементарных геометрических теорем. Однако ученик пока еще не способен конструировать свои собственные доказательства. 

Третий уровень – дедукция. Принципиальное качественное отличие данного уровня от предыдущего заключается в том, что учащийся способен самостоятельно решать задачи на доказательство, строить доказательства теорем, устанавливать взаимоотношения между различными теоремами курса геометрии, а также владеть различными методами доказательства.

Четвертый уровень – аксиоматика. На данном уровне ученик способен воспринимать различные аксиоматические модели построения геометрии как науки. Он также готов к неформальному переносу идеи аксиоматического метода в другие области знания.

Исходя из этого П. Ван Хиель предлагает начинать обучение геометрии с самого раннего возраста, ибо даже малыши в старших группах детского сада способны распознавать простейшие геометрические формы и фигуры (квадратики, кубики, кружки, шарики, треугольники, пирамидки и т.д.).

Начало 90-х годов в математическом образовании многих англоязычных стран (в частности, США) ознаменовалось движением по реформированию обучения другой математической дисциплине – математическому анализу, а точнее, его части, которую американцы называют Calculus, что в переводе означает «исчисление» (имеются в виду элементы дифференциального и интегрального исчисления).

Фундаментальной работой в этом направлении явилась книга «Визуализация в обучении математике», изданная в 1990 г. Математической ассоциацией Америки (МАА). В этом сборнике статей видных педагогов-математиков убедительно доказан тот факт, что многие проблемы в обучении математике, и в частности началам анализа, связаны с недостаточной визуальной поддержкой абстрактных научных понятий.

Отсюда можно сформулировать проблемы визуализирования решения математических задач:

1. Не достаточное внедрение визуализирования решений в школьном обучении. В учебниках есть визуальные представления некоторых математических задач. Но это не дает достаточной базы знаний учеников, чтобы в дальнейшем использовать этот метод как решение математических задач.

2. Сложность представления визуального решения математических задач. Некоторые задачи без визуального представления решений не дают полноту картины самой задачи, но есть задачи, у которых тяжело найти визуальное представление решения.

3. Сложность освоения ПО по визуализации решений математических задач.

Список использованных источников

1.Якиманская И. С. Образное мышление и его место в обучении // Советская педагогика. 1968. — № 12.

2.Далингер В. А. Формирование визуального мышления у учащихся в процессе обучения математике: Учебное пособие. — Омск: Изд-во ОмГПУ, 1999.

3.Башмаков М. И., Резник Н. А. Развитие визуального мышления на уроках математики // Математика в школе. 1991. — № 1.

4.Зинченко В. П. Современные проблемы образования и воспитания //Вопр. философии. — 1973. — № 11.