Сообщение на тему "Коммутативная алгебраическая операция"

Коммутативная алгебраическая операция

Алгебраическая операция *, заданная на множествеX, называется ассоциативной, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняется равенство

(x*y)*z=x*(y*z).

Если операция * обладает свойством ассоциативности, то можно опускать скобки и писать x*у*z вместо (х*у)*z и х*(у*z).

Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых на­туральных чисел х, у и z выполняется равенство (х + у) + z = x + (у + z). Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. По­этому сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством ассоциативности. Так, не является ассоциативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х, у и z, для которых (х - у) - z ≠ х - (у - z). Например, (12 - 7) - 3 ≠ 12 - (7 - 3).

Ассоциативность алгебраической операции * позволяет записывать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию, но пере­ставлять входящие в это выражение элементы, вообще говоря, нельзя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция * коммутативна.

Определение. Алгебраическая операция * на множестве X называ­ется коммутативной, если для любых двух элементов х и у из мно­жества X выполняется равенство

х*у = у*х.

Примерами коммутативных операций могут служить сложение и умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чисел х и у выполняются равенства х + у = у + х, х · у = у · х. Эти равен­ства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел, следовательно, на множестве действительных чисел сложение и умножение тоже коммутативны.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством коммутативности. Так, не является коммутативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х и у, для которых х - у ≠ у - х. На­пример, 12-7≠7-12.

Если на множестве X заданы две алгебраические операции * и ^о, то они могут быть связаны друг с другом свойством дистрибутивности.

Определение. Алгебраическая операция ^о называется дистрибу­тивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняются равенства:

1) (х*y)^оz = (x ^o z)*(y ^o z) и 2) z ^o (х*у) = (z ^o х)*(z ^о у).

Если выполняется только равенство 1), то операцию ^о называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняет­ся только равенство 2), то операцию ^о называют дистрибутивной слева относительно операции *.

Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и слева.

Рассмотрим на множестве натуральных чисел две операции: воз­ведение в степень (она соответствует операции ^о в равенствах 1 и 2) и умножение (она соответствует операции * в равенствах 1 и 2). Тогда, согласно равенству 1, имеем: (х·у)^z - = х^z-у^z. Как известно из алгебры, полученное равенство справедливо для любых натураль­ных чисел х, у и z, т.е. возведение в степень дистрибутивно справа относительно умножения. В соответствии с равенством 2, получа­ем х ^уz = х^у-х^z. Но это равенство выполняется не всегда, т.е. опера­ция возведения в степень не является дистрибутивной слева отно­сительно умножения. Такая ситуация является следствием того, что возведение в степень - операция, не обладающая свойством коммутативности.