Вероятность и статистика 7 класс " Наибольшее и наименьшее значения. Размах"

Наибольшее и наименьшее значения. Размах

Автор составитель:

учитель математики

МБОУ СОШ № 19 г. Белово

Овчинникова Т.Н.

Вопросы на повторение

Вопрос №1

Дайте определение среднего арифметического

числового ряда.

Средним арифметическим числового ряда

называется отношение суммы всех чисел массива

к их количеству .

Вопрос №2

Дайте определение медианы числового набора.

Медианой числового набора называют такое число m , что хотя бы половина чисел набора не больше числа m и хотя бы половина чисел набора не меньше числа m .

Вопрос № 3

В упорядоченном по возрастанию наборе нечетное количество чисел. Как найти медиану?

Если в наборе нечётное количество чисел, то медианой является число, стоящее посередине вариационного ряда.

Вопрос № 4

В упорядоченном по возрастанию наборе четное количество чисел. Как найти медиану?

Если в наборе четное количество чисел, то медианой обычно считают среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине.

Вопрос № 5

Дан набор, в котором число 3 встречается один раз, число 7-десять раз, число 8-сто раз. Других чисел в наборе нет. Укажите медиану данного набора.

Всего в наборе 111 чисел, значит медианой является число, стоящее посередине вариационного ряда это число 8 .

Иногда нужны не только среднее арифметическое или медиана, но и другие значения, характеризующие набор данных, например наибольшее и наименьшее значения .

Если мы хотим узнать, кто победил в соревнованиях по прыжкам в длину, то выберем того, кто прыгнул дальше всех, то есть выберем наибольший результат. Напротив, в соревнованиях по бегу считается тот, кто пробежал быстрее всех, то есть пробежал дистанцию за наименьшее время.

В любом конечном наборе чисел всегда есть наименьшее и наибольшее значения . Иногда их называют минимальным и максимальным значениями или даже короче – минимум и максимум . Иногда для удобства пользуются обозначениями min и max .

П ример 1

Во время подготовки к соревнованиям четыре спортсмена устроили мини – турнир по прыжкам в длину с места. Каждый из них сделал по пять попыток. Все результаты внесены в таблицу. Кроме того, в ней указаны средние результаты, а также наилучший и наихудший прыжки каждого спортсмена.

Результаты прыжков с места, см

Номер прыжка

Пётр

1

2

Иван

215

3

228

Алексей

197

203

205

208

Сергей

4

208

236

212

212

5

241

227

234

205

Среднее значение

240

205

218,4

233

Наибольшее значение

212

217,6

215

236

Наименьшее

212,4

203

241

значение

205

227

197

219,4

240

203

203

1. Как вы думаете, почему результаты в разных попытках у одного и того же спортсмена разные?

2. Какие из следующих факторов могут влиять на результат: удача, техника прыжка, рост, масса, тренированность, настроение, плотный обед, усталость ветер, обувь?

3. Какие ещё факторы могут повлиять на дальность прыжка?

Результаты прыжков с места, см

Номер прыжка

Пётр

1

215

Иван

2

Алексей

197

228

3

208

Сергей

203

205

4

236

212

212

208

5

234

241

227

205

Среднее значение

240

205

218,4

233

Наибольшее значение

212

215

236

Наименьшее

217,6

203

212,4

241

значение

205

219,4

227

197

240

203

203

Самое большое среднее значение у Сергея. По этому показателю Иван лишь третий. Но рекордсменом всё же стал Иван: в одно попытке он прыгнул дальше всех.

Во многих спортивных дисциплинах принято учитывать только лучший показатель.

Результаты прыжков с места, см

Номер прыжка

Пётр

1

2

Иван

215

3

228

Алексей

197

203

205

208

Сергей

4

208

236

212

212

5

241

227

234

205

Среднее значение

240

205

218,4

233

Наибольшее значение

212

217,6

215

236

Наименьшее

212,4

203

241

значение

205

227

197

219,4

240

203

203

П ример 2

Каждая судоходная река имеет фарватер

( судовой ход) – часть русла, где возможно движение судов. Течение несёт с собо песок, ил, глубины на разных участках фарватера меняются, поэтому их приходится промерять несколько раз в год. Каждый раз составляется список глубин, которые наносятся на карту. Важно знать наименьшую глубину, чтобы понять, может ли судно пройти этот участок реки.

При определении фарватера судоходной реки производится промер глубин. Затем на основе промеров находят показатель, который называется гарантированная глубина судового хода . Если судно имеет осадку меньше гарантированной глубины, то оно может пройти по фарватеру.

Табл. 1. Глубины на фарватере реки

.

Промер

Глубина, м

1

4,2

2

3,8

3

4,5

4

5

5,3

5,8

6

5,1

7

4,8

8

9

4,3

4,1

1. Какую меру следует использовать для определения гарантированной глубины?

2. Предложите способ, как определить гарантированную глубину на основе этих данных

П ример 3

В Санкт – Петербурге за всё время наблюдений с 1706 г. Случилось более 300 наводнений. Самый высокий уровень воды( 421 см выше ординара ( ординар - средний многолетний уровень воды в водоёме)) зарегистрирован 7 ноября 1824 г. Это наводнение описано в поэме А. С. Пушкина «Медный всадник.

В Санкт – Петербурге наблюдения за уровнем воды ведутся всё время. Наивысший известный уровень воды учитывается при строительстве набережных, дамб, мостов не только в Санкт – Петербурге, но и в любом другом месте, где существует опасность наводнения.

П ример 4

В таблице собраны данные о росте учащихся класса.

Фамилия

Алексеев

Рост, см

156

Андреев

Фамилия

159

Рост, см

Вольский

Борисов

Фамилия

162

158

Гетманов

Добромыслов

161

Евсеева

Рост, см

Железов

156

Фамилия

1154

Завидов

Рост, см

Коваль

167

163

154

Петровская

149

Юсуфов

165

Наибольший рост у Евсеевой - 1154. Больше 11 метров. Ясно, что это измерение выброс, получившейся по ошибке. Исключив ошибку получим наибольшее значение 167 см

Посмотрим на медиану. До исключения ошибочной записи медиана равнялась 160 см, а после исключения стала равна 159 см.( давайте проверим).

Этот пример показывает неустойчивость наибольшего и наименьшего значений и ещё раз иллюстрирует устойчивость медианы.

ИЗМЕРЕНИЕ РАССЕИВАНИЯ ДАННЫХ

С ПОМОЩЬЮ РАЗМАХА

Часто нужно знать не только среднее значение в наборе данных, но и иметь представление о том, как сильно значения разбросаны, рассеяны.

Самый простой характеристикой, описывающей рассеивание данных является размах.

Разность между наибольшим и наименьшим значением называется размахом числового массива .

Размах равен длине отрезка, на котором располагаются все значения. Такой отрезок называют интервалом значений .

П ример 5

В таблице показаны цены одного из популярных смартфонов

в 10 разных интернет − магазинах на 13 января 2023 года.

Наибольшая цена – 8590 р. Наименьшая цена – 7790 р.

Размах цен 590 – 7790 = 800 р.,

то есть меньше 10% средне цены 8150 р.

Магазин

1

Цена, р.

8050

2

Магазин

Цена, р.

6

3

8480

8590

7790

7

4

8290

8

8340

5

8190

7890

9

7970

10

7910

В таблице показаны цены одного из популярных смартфонов

в 10 разных интернет − магазинах на 13 января 2023 года.

Наибольшая цена – 8590 р. Наименьшая цена – 7790 р.

Размах цен 590 – 7790 = 800 р.,

то есть меньше 10% средне цены 8150 р.

Размах – очень простая и наиболее употребительная мера рассеивания. Но для вычисления размаха используются только наибольшее и наименьшее значения, которые неустойчивы. Поэтому и размах – неустойчивая мера.

З адачи

Задача №1

Найдите наибольшее и наименьшее значения, размах, среднее арифметическое и медиану набора чисел.

а) 12, 7, 25, 3, 19, 15. б) 17, 19, 5, 41, 47, 13, 19.

Задача №1

Четыре девочки собирали клубнику. Первая собрала 6 кг, вторая 10 кг, третья 16 кг и четвёртая 20 кг. Всю клубнику

они поделили поровну. Сколько килограммов клубники получила каждая девочка?

а) Наибольшее – 25

Наименьшее – 3

Размах 25 – 3 = 22

(12 + 7 + 25 + 3 +1 9+ 15) : 6 = 13,5 среднее арифметическое

3, 7, 12, 15, 19, 25; = 13,5 - медиана

Задача №1

Найдите наибольшее и наименьшее значения, размах, среднее арифметическое и медиану набора чисел.

а) 12, 7, 25, 3, 19, 15. б) 17, 19, 5, 41, 47, 13, 19.

Задача №1

Четыре девочки собирали клубнику. Первая собрала 6 кг, вторая 10 кг, третья 16 кг и четвёртая 20 кг. Всю клубнику

они поделили поровну. Сколько килограммов клубники получила каждая девочка?

б) Наибольшее – 47

Наименьшее – 5

Размах 47 – 5 = 42

(17+ 19+ 5 + 41 + 47+ 13+ 19) : 7 = 23, среднее арифметическое

5, 13, 17, 19, 19, 41, 47 19 - медиана

Задача № 2

В таблице приведены данные о производстве зерновых в России в 2000-2006 гг.

Показатель

2000

Производство зерновых, млн.т

2001

65,5

Урожайность, ц/га

2002

85,2

Производство пшеницы, млн. т

15,6

2003

86,6

34,5

19,4

2004

67,2

47,0

19,6

2005

78,1

17,8

50,6

2006

78,2

34,1

18,8

78,6

18,5

45,4

18,9

47,7

45,0

По таблице найдите наименьшее, наибольшее значение и размах:

а) производства зерновых в 2000-2006 гг.;

б) производства пшеницы в 2000-2006 гг.;

в) урожайности зерновых в 2000-2006 гг.

Задача №3

Пользуясь таблицей, укажите:

а) самый большой по числу жителей в 2021 г. Город России;

б) второй по населению город России в 2021 г.

Население городов − миллионеров в 2021 году

Волгоград

Город

Население тыс.чел.

1004

Воронеж

Екатеринбург

Москва

1050

Население тыс.чел.

Город

12655

1495

Нижний Новгород

Казань

Красноярск

Население тыс.чел.

Новосибирск

Город

1244

Ростов –на −Дону

1257

1092

1137

1620

Самара

Омск

Пермь

1139

Санкт-Петербург

1144

5384

1049

Уфа

1125

Челябинск

1187

Задача №4

Пусть, проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных: 36, 35, 35, 36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38, 36, 39, 36.

Найдите для него среднее арифметическое, размах.

Задача №1

Четыре девочки собирали клубнику. Первая собрала 6 кг, вторая 10 кг, третья 16 кг и четвёртая 20 кг. Всю клубнику

они поделили поровну. Сколько килограммов клубники получила каждая девочка?

Наибольшее – 39

Наименьшее – 35

Размах 39 – 35 = 4

(35 + 36+ 37 + 38 + 39) : 21 37, среднее арифметическое

Домашнее задание

Самостоятельная работа:

1 вариант:

2 вариант

1)Найти размах, медиану и среднее значение ряда чисел: 1, 1, 3, 3, 3, 2, 5, 5, 6, 6, 6, 9;

1). Найти размах, моду и среднее значение ряда чисел: 5, 3, -3, -1, 0, 3, 3, 3, 3, 4, 6;

2). Педагогический стаж восьми учителей математики одной школы следующий:

6 лет, 9 лет, 16 лет, 13 лет, 18 лет, 15 лет, 19 лет, 10 лет. Найти среднее арифметическое, размах и медиану этого ряда 

2). Педагогический стаж восьми учителей математики одной школы следующий:

3). Найти размах и медиану числового ряда: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 9.

4 лет, 6 лет, 15 лет, 12 лет, 16 лет, 20 лет, 24 года, 10 лет. Найти среднее арифметическое, размах и медиану этого ряда 

3). Найти размах и медиану числового ряда: 4, 2, 2, 1, 0, 2, 2, 2, 2, 5, 7, 8.

С пасибо за внимание!