Математикалык логика негіздері

Пікірлер алгебрасы

Логика

Логика  — пікірлер жөне олардың байланыстары туралы ғылым. Ойлау, пайымдау әдістері туралы алғашқы ілімдер Ежелгі Шығыс елдерінде пайда болды

Логикалық алгебра

Математикалық логиканың негізін қалаған ағылшын математигі Джордж Буль (1815 – 1864ж). Ол алғашқы рет жиындар теориясының логикалық анықтамасын берген.

Математикалық логика дегеніміз – математикалық әдістерді қолданып, ой түйіндеу логикасы.

Пікір дегеніміз – оқиғаның ақиқат немесе жалған екендігін айтатын кез келген ұйғарым.

Математикалык логика

Математикалык логика – дөлелдеулер техникасын зерттейді. Компьютерлер математика пәні сиякты аныктамалар мен дәлелдеулерде нақтылықты және қатаң реттілікті талап етеді.

Пікірлер алгебрасы математикалық логика аймағы болып табылады.

Пікірлер алгебрасы

Пікірлер алгебрасы —идеал пікірлерге қатысты ақиқат немесе жалған пікір деп тұжырымдауға болатын пікірлерді зерттейтін логикалар алгебрасы. Логикалар алгебрасы пікірдің мағынасына назар аударып, терең қарастырмайды.

Сондықтан логикалар алгебрасы тек екі мағынаға ие болады, яғни пікірлердің кез келгені «акикат» немесе «жалған» пікірлерінің біреуін ғана сипаттайды.

Қарапайым пікірлер логикалар алгебрасында латынның бас әріптерімен таңбаланады:

А = {Абай — қазақ халқының ұлы ақыны}.

В = {А.С. Пушкин — ұлы математик}.

Акикат пікірге 1 саны, жалғанға 0 саны сейкес қойылады. Сондықтан

А=1, В=0.

Құрмалас пікірлер табиғи тілде пікірлер алгебрасында логикалык амалдармен алмастырылатын «және», «немесе», «теріске шығару» сөздері арқылы құрылады. Логикалық амалдар ақиқаттық кестесімен беріледі және графикалық түрде Эйлер-Венн диаграммасы көмегімен бейнеленеді

Логикалық айнымалылар

• Пікірді белгілеу үшін логикалық айнымалы қолданылады
• Тек екі тұрақты: 1 – ақиқат немесе 0 – жалған белгіленулерімен анықталатын х шамасын логикалық айнымалы деп атайды.

мұндағы Х  U – U әмбебап жиыны.

Логикалық амалдар

Қарапайым логикалық амалдар.

• Логикалық теріске шығару « емес » (  ). Логикалық қосу « немесе » (  , |, +,  ) Логикалық көбейту « және » (  , &, *,  ).
• Логикалық теріске шығару « емес » (  ).
• Логикалық қосу « немесе » (  , |, +,  )
• Логикалық көбейту « және » (  , &, *,  ).

Белгіленуі :

Логикалық

Бағдарламалық

Алгебралық

Теориялы-көпше

Логикалық теріске шығару

• Логикалық теріске шығару ( инверсия ) деп нәтижесі бастапқы пікірге «қарама-қайшы» пікірді айтады.

Логикада А пікірін “екі рет терістеу” А пікірін береді.

х

0

 х

1

1

0

х

 х

инвертор

Логикалық қосу( дизъюнкция )

Х ақиқаттық жиынындағы х және У ақиқаттық жиынындағы у пікірлердің бірігуі Z=Х  Y ақиқаттық жиынындағы х  у пікірі болады.

х

0

y

х  у

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

х

х  у

1

y

дизъюнктор

Пирс функциясы Пирс функциясы логикалық кері қосуды жүзеге асырады. Белгілену: x 1  x 2 = x 1  x 2

Ақиқаттық кестесі

Графикалық белгіленуі

х

1

х

0

у

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

y

mod 2 бойынша қосу XOR логикалық операцияны орындайды .

Графикалық белгіленуі

Ақиқаттық кестесі

x

0

y

x  y

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

x

=1

x  y

y

Логикалық көбейту( конъюнкция )

Х ақиқаттық жиынындағы х және У ақиқаттық жиынындағы у пікірлердің қиылысуы Z=Х  Y ақиқат жиынындағы х  у пікірі болады.

х

0

y

х  у

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

х

&

х  у

y

конъюнктор

Шеффер функциясы Шеффер функциясы – кері көбейтуді жүзеге асырады. Белгілену: x 1  x 2 = x 1 /\ x 2

Ақиқаттық кестесі

Графикалық белгіленуі

х

0

у

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

&

х

y

14" width="640"

Бульдік Алгебра

• В ={0,1} жиыны және онымен жасалатын барлық логикалық амалдармен құрылған алгебраны логика алгебрасы немесе Бульдік алгебра деп атайды.
• А = B , {  ,  ,  }

14

Логикалық амалдарды орындау тәртібі

Логикалық амалдарды орындау  келесі кестеде көрсетілген приоритетпен (басымдылықпен) орындалады. Бір басылымдықтағы операциялар солдан оңға қарай орындалады. Жақша ішіндегі амал бірінші орындалады.

Басымдылығы

1

Логикалық амалдар

2

Инверсия

3

Конъюкция

4

Дизъюнция

mod 2 бойынша қосу

Әдебиет , интернет ресурстар

https://stud.kz/umkd/id/22443

[1] Шапорев С.Д. Математикалық логика.- Спб, 2005г, 3 бет, 1 тарау

[5] Игошкин А.И. Математикалық логика және алгоритмдер теориясы. –Саратов: Саратю, 1991г., 10 бет, 1 тарау

[6] Коробков С.С. Математикалық логика элементтері.: Учебное пособие/ Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург, 1999, 63 с., 7 бет, 1 тарау