Имя задачи: Задача о делении на ноль
Автор: Кука Виктория Евгеньевна, МОУ СОШ №45 г.Калининград, учитель начальных классов
Метапредметная область или предмет: математика
Класс: 3
Тема: Действия с числом нуль
Профиль: общеобразовательный
Уровень: продвинутый
Текст задачи: Всем нам известно правило: «Делить на ноль нельзя»!
А почему?
а) Выделите ключевые слова для информационного поиска.
б) Найдите необходимую информацию.
в) Обсудите и проанализируйте собранную информацию.
г) Сделайте выводы.
д) Сравните ваши выводы с выводами известных людей.
Возможные информационные источники.
(полные библиографические описания)
Книги:
(список полных библиографических описаний)
Компакт-диски:
(список)
Web-сайты:
http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-25893/
http://ndspaces.narod.ru/math/blondi0.htm
http://howitworks.iknowit.ru/paper1051.html
http://www.science.yoread.ru/news.php?readmore=380
http://po4emu.ru/index.php?id=509
http://www.netlore.ru/divide-by-zero
http://www.tutoronline.ru/blog/pochemu-delit-na-nol-nelzja.aspx
http://gxoptg.blogspot.com/2011/04/blog-post.html
Культурный образец
http://elementy.ru/email/1530320
Почему нельзя делить на ноль?
«Делить на ноль нельзя!»— большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.
Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.
Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5–3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения:x+3=5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.
Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8:4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырём равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4·х=8.
Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.
Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5:0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.
Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0= 0 ? Но не будем спешить. Попробуем взять
x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 =? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317и.д.
Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0:0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0·x=0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределённости», но в арифметике таких случаев не встречается.)
Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.
Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.
Методический комментарий
Задача продвинутого уровня. В начальной школе при изучении действий с нулём никогда не обсуждается вопрос :
Почему на ноль делить нельзя?
Информации по данной задаче нет ни в одном учебнике математики 1 -4 классов. Сбор информации поможет ответить на этот вопрос, а не слепо заучить непонятное правило.
