Те?деу та?ырыбын о?ыту ?дістемесі

КІРІСПЕ

Зерттеу жымысының көкейкестілігі. Бастауыш сыныптардағы “Арифметика” оқу пәнінің орнына “Математика” енгізілгеннен бері алгебралық элементтерді білім мазмұнының құрамды бөлігіне айналды. Ал бастауыш сыныптардың математика курсындағы алгебра элементтерінің аса маңыздысы теңдеу және оны шешу тәсілдерін оқытып үйрету болып табылады. Ал алгебра элементтері болып табылатын теңдеу жайында түсінік қалыптастыру санды теңдік, санды теңсіздік және олардың тура немесе тура емес түрлері, санды және әріпті өрнектермен олардың мәндерін табуға алдын ала құрастыруға көздейді.

Бастауыш сыныптардың математика курсы мазмұнының құрайтын, алгебраның элементтерінің пәндік теориялық яғни математикалық негізі “Математика негіздері” немесе “Бастауыш мектеп математикасының негіздері” атты көптеген әдебиеттерде   қарастырылған. Ал осы мәселенің әдістемесіне әдіскер ғалымдардың “Бастауыш сыныптарда математиканы оқытудың әдістемесі” атты еңбектерінің бір тарауы арналған . Демек, ғылыми теориялық  және әдістемелік тұрғыдан алғашта бұл мәселе жан-жақты зерттелген деуге толық негіз бар.

Бірақта, алгебралық элементтерді бастауыш сыныптарда ұзақ уақыт бойы оқытылып келе жатқанына қарамастан  бүгінге дейін бастауыш сынып оқушыларының көпшілігі теңдеуді шешумен және талдаумен байланысты тапсырмаларды орындауда қате жіберітіндігі тәжірибеде байқалуды. Біздің пікірімізше, оның басты себебітеңдеу ұғымын қалыптастыру және оларды шешу тәсілдерін игерту барысында   жұмыстардың өз деңгейінде жүргізілмеуі сияқты. Шындығында бастауыш сыныптарға арналған әр түрлі нұсқаудағы ( Ресейлік және Қазақстандық) оқулықтардың «Методика начального обучения математике», «Средства обучения математике» өзінде   мәселеге  бірізді әдістеме қалыптаспаған. Бастауыш сыныптарда сабақ жүргізген мұғалімдер осы мәселені оқытудың әр түрлі әдістерін, тіпті  кейде

бір-бірімен   қолдануға  бейім тұрақтығын да теріске шығаруға болмайды.

Осының нәтижесінде білім стандарты мен оқу бағдарламалары

деңгейінде білім, білік және дағдыларды қалыптастыруда кемшіліктер орын алуда. Сондықтан да теңдеу жайында түсінік қалыптастыру және теңдеуді шешудің тәсілдерін оқытып үйрету, әсіресе талаптарға сәйкес оқыту нәтижелеріне қол жеткізу мәселесі көкейкесті болды.

Зерттеуобъектісі: бастауыш сыныптарға математиканы оқыту.

Зерттеу пәні: бастауыш сыныптарда теңдеуді оқытып үйрету .

Зерттеудің болжамы: егер теңдеуді оқытудың пәндік теориялық және әдістемелік негіздеріне орай теңдеуді оқыту әдістемесі тәжірибеде

қолданылса онда осы мәселені  оқытып үйретумен байланысты жұмыс тиімді ұйымдастырылады да, білім сапасын арттыруға ықпал етеді.

Жұмыстың жаңалығы теңдеу және оны шешу тәсілдері оқытып үйрету әдістемесі мен тәжірибесі  бір ғана сыныптың емес, бастауыш білім  беру деңгейінде біртұтас және өзара байланысы тұрғысын қарастырылуында.

Зерттеудің практикалық маңыздылығы жұмысты орындау барысындағы тұжырымдалған қорытындылар мен ұсыныстардың бастауыш сыныптарда математиканы оқыту барысында қолданылуының мүмкіндігімен сипаттайды.

Зерттеудің мақсаты:Оқушыларға теңдеу тақырыбын оқытып үйрету ,теңдеулерді шығара білу,оларды оқи білу,мәтін есептерді теңдеу құру арқылы шығару тәсілдерін қалыптастыру.

Зерттеудің міндеттері:

—         теңдеу ұғымының мән-мағынасының оны шешу тәсілдер кезеңдерінің оларды оқытудың теориялық және  әдістемелік негіздемелеріне шолу жасау;

—         бастауыш сыныптар мұғалімдерінің теңдеу және оны шешу тәсілдері оқытып үйрету тәжірибесімен танысу және осыған қатысты материалды жинақтау.

Зерттеудің негізгі көздері: математиканың негіздері және математиканы бастауыш сыныптарда оқыту әдістемелері жөніндегі еңбектер және білім, білік, дағдыларды қалыптастырудың психологиялық және педагогикалық мәселелері қарастырылатын оқу құралдары, “Қазақстан Республикасы мемлекеттік жалпыға міндетті білім стандарты” 1-4 сыныптарының математикасының оқу бағдарламалары, 1-4 сыныптарға арналған математика оқулықтары және оқыту әдістемелері, дидактикалық материалдар жиынтығы, бастауыш сынып мұғалімдерінің озат тәжірибесі.

Зерттеу әдістері:

—         зерттеу тақырыбымен байланысты әдебиеттермен оқып танысу және пайдалану;

—         Білім беру мәселесіне қатысты құқықтық, нормативтік және ресми құжаттармен оқып танысу;

—         әдістемелік құралдарды зерттеу тақырыбына орай талдау;

—         оқу бағдарламалары мен оқулықтарды талдау;

—         мұғалімдердің тәжірибесімен танысу, жинақтау және талдау.

2.1Оқушыларды 1-ші сыныпта өтілетін теңдеулермен таныстыру және шешу әдістерін оқытып үйрету.

Бағдарлама бойынша теңдеумен оқушылар 1-сыныпта танысады(168-беттен бастап. Мысалы:3+а═7теңдеуін қарастырайық.

Теңдеуді шешу үшін тура теңдік шығатындай а-ның мәндерін іздейміз.

Теңдеу тақырыбын өту барысында мыналарға көңіл бөлукерек:

Теңдеуді оқи білу дағдыларын қалыптастыру.Мысалы: 3+а═7 теңдеуі былай оқылады 3 пен а-ның қосындысы 7-ге тең.

1-сыныпта теңдеу іріктеу тәсілімен шешіледі.Іріктеу тәсілі былай түсіндіріледі,яғни а-ның орнына сандарды біртіндеп қою арқылы 3-ке қандай санды қосқанда 7 саны шығады сол санды табу керек.

Сонымен: 3+а═7

а=1

а=2

а=3

а=4 тағыда басқа.Осы мәндерді қойып көрейік.

тағыда басқа.Осы мәндерді қойып көрейік.

3+1≠7

3+2≠7

3+3≠7

3+4═7

7═7

Жауабы:а═4.

Сонымен 4 саны берілген теңдеу шешімі деп аталады.Яғни 4 саны берілген теңдеуді ақиқат теңдікке айналады.

10 көлемінде қосу мен азайтуды оқытып үйренгенде алғашқы теңдеулерді енгзіге дайындық кезіңінде оқушылар қосынды мен қосылғыштар арасындағы байланысты меңгеретін болды.Сонымен қатар бұл уақытқа дейін балалар өрнек пен санды салыстыра білуді игеріп алады және 6+4=10,8=5+3 түріндегі сандық теңдіктер туралы алғашқы тұсініктер алады.Теңдеулерді енгізуге дайындық жоспарында мына түріндегі теңдіктердегі жазылмаған сандарды іріктеп алу жаттығуының үлкен мәні бар: 4+...=6,5-...=2,...-3=7.Осындай жаттығуларды орындау процесі кезінде балалар тек қосынды немесе айырма ғана белгісіз бола алмайды ,сонымен қатар қосылғыштардың біреуі де (азайғыш немесе азайтқыш) белгісіз бола алады деген пікірге үйренеді.

1-сыныпта теңдеу тақырыбын өту барысында оқушылар мынада есептер шығарады.

М-1,168-бет,№2.

-Балалар кітапта берілген есепке назар аударайық.Алдымен а+6═10 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

-а мен 6-ның қосындысы 10-ға тең.

-Дұрыс,Балалар 6-ға қандай санды қосқанда 10 шығады?

-4-ті қосқанда.

-10 мен 6-ны білсем 4 санын қалай шығарамын?

-10-на 6-ны азайтамын.

а═10-5

а═5

-Енді тексерейік:

а+6═10

а═10-6

а═4

4+6═10

10═10

-Сонымен а═4 теңдеудің шешімі.

4-а═3 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

-4 пен а-ның айырмасы 3-ке тең.

-Дұрыс,Балалар 4-тен қандай санды азайтқанда 3 шығады?

-1-ді азайтқанда.

-4 пен 3 санын білсем 1 санын қалай шығарамын?

-4-тен 3-ті азайтамын.

а═4-3

а═1

-Енді тексерейік:

4-а═3

а═4-3

а═1

4-1═3

3═3

-Сонымен а═1 теңдеудің шешімі.

4-а═3 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

-4 пен а-ның айырмасы 3-ке тең.

-Дұрыс,Балалар 4-тен қандай санды азайтқанда 3 шығады?

-1-ді азайтқанда.

-4 пен 3 санын білсем 1 санын қалай шығарамын?

-4-тен 3-ті азайтамын.

а═4-3

а═1

-Енді тексерейік:

4-а═3

а═4-3

а═1

4-1═3

3═3

-Сонымен а═1 теңдеудің шешімі.

8-а═5 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

-8 бен а-ның айырмасы 5-ке тең.

-Дұрыс,Балалар 8-ден қандай санды азайтқанда 5 шығады?

-3-ті азайтқанда.

-8 бен 5 санын білсем 3 санын қалай шығарамын?

-8-ден 5-ті азайтамын.

а═8-5

а═3

-Енді тексерейік:

8-а═5

а═8-5

а═3

8-3═5

5═5

-Сонымен а═5 теңдеудің шешімі.

а-6═3 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

-а мен 6-ның айырмасы 3-ке тең.

-Дұрыс,Балалар бұл жа,дайда біз не істейміз?

-6 мен 3 санын қосамыз.

-Дұрыс 6 мен 3 санын қосқандда неше шығады?

-9 шығады.

а═6+3

а═9

-Енді тексерейік:

а-6═3

а═6+3

а═9

9-6═3

3═3

-Сонымен а═1 теңдеудің шешімі.

а+1═8 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

-а мен 1-дің қосындысы 8-ге тең.

-Дұрыс,Балалар 1-ге қандай санды қосқанда 8 шығады?

-7-ні қосқанда.

-1 мен 8-ді білсем 7 санын қалай шығарамын?

-8-ден 1-ді азайтамын.

а═8-1

а═7

-Енді тексерейік:

а+1═8

а═8-1

а═7

7+1═8

8═8

-Сонымен а═8 теңдеудің шешімі.

Екінші қосылғышты табуға берілген теңдеу түрлеріне тағыда мысалдар қарастырайық.

-Балалар, келесі теңдеуге назар аударайық.

5+а═1

-Оқушылар, 5-ке қандай санды қосқанда 10 шығады?

-5-ті қосқанда.

-10 мен 5-тібілсем 5 санын қалай шығарамын?

-10-нан 5-ті азайтамын.

а═10-5

а═5

-Енді тексерейік:

5+а═10

а═10-5

а═5

5+5═10

10═10тура

-Сонымен а═10 теңдеудің шешімі.

Азайғышты табуға берілген теңдеу түріне тоқталамыз.

А-4═2

-Қандай саннан 4-ті алғанда 2 шығады?

-6-дан

-Ендеше,2 мен 4-ті білсем 6-ны қалай шығарамыз?

-2мен 4-ті қосамыз.

а═2+4

а═6

-Енді тексереміз:

а-4═2

а═2+4

а═6

6-4═2

2═2тура

-Ендеше, а═6 теңдеудің шешімі.1.[168-170].

Теңдеулермен танысу дерексіз сандармен берілген есептерді шығарғанда болады,мысалы мынадай: «Белгісіз санға 3-ті қосып,8алған.Белгісіз санды табу керек».Осы есеп бойынша белгісіз саны бар мысал құрастырылады,оны былай жазуға болады: +3=8.Содан кейін мұғалім математикада белгісіз сан латын әріптерімен белгіленеді деп түсіндіреді.Бір әріптің мысалы х әріптің жазылуы және оқылуы беріледі.Белгісіз санды әріппен белгілеу және мысалды оқу ұсынылады.Мынадай мысалдарды шығаруды үйрену мақсаты қойылады.

1-сыныпта қарапайым теңдеулерді шешудегі талқылау әдісі бірдей.Мысалы:а-дан қандай санды алғанда 5 қалады,а-ға қандай санды қосқанда 6 шығады т.с.с.Оқушылар 10көлеміндегі сан құрамын жақсы білсе тез шығара алады.

Мұғалім мұндай мысалдар теңдеулер деп аталатындығын,белгісіз санды табу үшін-теңдеудң шешу керек екендігін түсіндіреді.Теңдеуді және теңдеулердің түбірін анықтау бастауыш кластарда берілмейді.Оқушылар теңдеулерді оқу,жазу және шешуге жаттығады.Оқудың түрлі формаларын көрсетеді: «9 шығу үшін қандай санға 2-ні қосу керек?», «Бірінші қосылғыш 4,екіншісі белгісіз,қосынды 7-ге тең;екінші қосылғыш неге тең» Бірінші теңдеулерді шығарғанда балалар жиындарға қолданылатын операцияларғасанның құрамы туралы білімгеқоыснды мен қосылғыштар арасындағы қатынасты түсінуге (әр қосылғыш қосындыдан кем болады) сүйенеді.Біртіндеп оқушылар белгісіз қосылғышты табу ережесін игеретін боладысөйтіп алдағы уақытта оны теңдеулерді шешкенде пайдаланады.Содан кейін теңдеулердің көмегімен белгісіз қосылғышты табуға арналған сөзбен берілген есептерді шығарады.5.[60-64].

2.2Оқушыларды 2-ші сыныпта өтілетін теңдеулермен таныстыру және шешу әдістерін оқытып үйрету.

Негізгі қарапайым теңдеулерді осы тәсілмен шығаруды қарастырайық:1.х+18═48

А)х-теңдеудің түбірі болсын,яғни предикаттың анықталу облысынан,айнымалы х-тің ақиқаттық жиынға тиістілерін ғана алдық.Сонда х+18═48 ақиқат санды теңдікке айналады,мұнда х-әзірше ғана белгісіз сан.Теңдеудің сол бөлігінде х пен 18-дің қосындысы,оң жағында 48.

Б)Теңдіктің екі жағынан да бірдей санды аламыз.Бұл операцияның дұрыстығын санды мысалдармен табақты таразы жәрдемәмен иллюстрациялап көрсетуге болады.Сонда тағы да ақиқат санды теңдік шығады.х+18-18═48-18.Сол жақ бөлігінде алдымен х-ті 18-ге арттырдық та шыққан нәтижені 18-ге кеміттік,олай болса х өзгеріссіз қалады.

В)Ендеше х═48-18;бұдан х═30.

Г)Тексеру х═30;х+18═48;48═48.

2.33+х═63.

А)х-теңдеудің түбірі болсын.33+х═63.

Б)Қосудың коммуникативтік заңы бойынша х+33═63.Енді шешуі (1) жағдайға келтіріледі.

3.х-15═45.

А)х-теңдеудің түбірі болсын.х-15═45.

Б)Қосу мен азайту өзара кері амалдар,азайтудың анықтамасы бойынша х═45+15,бұдан х═60.

В)Тексеру:х═60;х-15═45;45═45.

4.65-х═25

А)х-теңдеудің түбірі болсын.65-х═25.

Б)Азайтудың анықтамасы бойынша 65═25+х не 65═х+25.Теңдеу қарастырылған түрге келтіріледі.

Теңдеулермен танысу дерексіз сандармен берілген есептерді шығарғанда болады,мысалы мынадай: «Белгісіз санға 3-ті қосып,8алған.Белгісіз санды табу керек».Осы есеп бойынша белгісіз саны бар мысал құрастырылады,оны былай жазуға болады: +3=8.Содан кейін мұғалім математикада белгісіз сан латын әріптерімен белгіленеді деп түсіндіреді.Бір әріптің мысалы х әріптің жазылуы және оқылуы беріледі.Белгісіз санды әріппен белгілеу және мысалды оқу ұсынылады.Мынадай мысалдарды шығаруды үйрену мақсаты қойылады.

Мұғалім: Белгісіз санға 3-ті қосқанда қанша шықса,сонша дөңгелекті алып қойыңдар.Қанша дөңгелекті алып қойдыңдар.

Оқушы: 8 дөңгелек

Мұғалім: 8 санын қалай алдыңдар?

Оқушы: Белгісіз санға 3-ті қостық

Мұғалім: Белгісіз дөңгелектер санын қосқан 3 дөңгелекті көрсетіңдер.Бұл 3 дөңгелекті әрі ысырып қойыңдар.Әуелі қанша дөңгелек бар еді?

Оқушы: 5 дөңгелек

Мұғалім: Қанша дөңгелек болғанын қайдан білдіңдер?

Оқушы: Барлық дөңгелектен 3 дөңгелекті шегердік.

Мұғалім:Мысалға қарап,не білгендеріңді айтыңдар.

Оқушы: Бірінші қосылғышты білдік.

Мұғалім: Бірінші қосылғышты қалай таптыңдар?

Оқушы: 8 қосындысынан екінші 3 қосылғышты шегердік.Мұғалім тақтаға,ал оқушылар дәптеріне мынаны жазады:

Х+3=8

Х=8-3

Х=5

Осылайша бірінші немесе екінші қосылғышты белгісіз бірнеші мысал қарастырылады.Мұғалім мұндай мысалдар теңдеулер деп аталатындығын,белгісіз санды табу үшін-теңдеудң шешу керек екендігін түсіндіреді.5.[62-66]

2.3 Құрылымы күрделірек теңдеулерді шешу тәсілдері

Оқушылар қарпайым теңдеулерді шешуді үйренгеннен кейін 2-сыныпта х+1030-7 тағы сол сияқты түріндегі теңдеу енгізіледі.Осындай теңдеулерді шешу үшін өрнектегі амалдар туралы білім,сондай-ақ өрнектерді қарапайым түрлендіруді орындай білу қажет.

Бірінші оң жағы санмен емес сандық өрнекпен берілген теңдеулер қарастырылады.Мысалы: х+2550-14.Осы сияқты теңдеулерді шешкенде оқушылар оң жақтағы өрнектің мәнін есептеп шығарады,содан кейін теңдеу қарапайым түрге келеді.Мысалы: х+2536 түріндегі жаңа теңдеу шығады.Осыдан кейін белгісіз бірінші қосылғышты өрнектейді де,оны есептеп шығарады.

х36-25

х11

Ұзақ уақыт ішінде оқушылар осындай теңдеулерді оқуға,жазуға,шешуге және оларды тексеруге жаттығады,сонымен қатар олардың сол және оң жақтарына түрліше болып алмасып келетін қарапайым өрнектер қосылады.

М-2,170-бет,№1

-Оқушылар,оқулығымыздың 170-бетіндегі №1 есепке назар аударайық.Алдымен оқушылардың назарын көрнекілікке аударамын.

-Оқушылар мынау ненің суреті?

-Таразыдағы алмалармен кір тастарының суреті.

-Суретке қараңдаршы нені табу керек деп ойлайсыңдар,не белгісіз?

-Алманың салмағы.

-Дұрыс.Ыдыстағы алманың массасы х кг болсын.Сол жақ табақтағы жүктің массасын жазып көрсетелік.

-5 пен 1-дің қосындысы,яғни

-Таразы тең болып тұрғандықтан оларды қалай жазамыз?

-х+2 5+1

-Теңдеудің оң жақ бөлігіндегі қосындының мәнін табайық.

-х+2

-Теңдеудің екі жағынан 2-ні азайтсақ

-х6-2

х4

Тексеру: 4+25+1

6

Ж: х6

-Ендеше,ыдыстағы алманың массасы 4 кг.

Қарастырылып отырған құрылымдағы теңдеулерді шеше білуі ұштай түскенде 2 класта,шешуі тек қана қосу мен азайту амалдарының нәтижелері мен компоненттері арасындағы байланыс туралы білімге сүйенетін теңдеулер, 3 класта барлық төрт амалға берілген теңдеулер енгізіледі.

Компонеттерінің бірі белгісіз саны бар өрнек болып келген теңдеулер күрделірек болып табылады,мысалы: (х+8)-13=15, 70+(40-х) =96 т.с.с. өйткені осындай құрылымдағы теңдеулерді шешкенде белгісіз компоненттерді табу ережесін екі рет қолдану керек болады.Мысалы,сабақта (12-х)+10=18 теңдеін құрастырады.

Мұғалім: Мынадай теңдеуді шығаруды үйренеміз.Оны дұрыс оқудың маңызы зор.Сол жақтағы өрнекте қай амал ең соңынан орындалады?

Оқушы: Соңғы амал қосу амалы.

Мұғалім: Қосқанда сандар қалай аталатынын естеріңе түсіріңдер және бұл теңдеуді оқыңдар.

Оқушы: Бірінші қосылғыш 12 мен х санының айырмасымен өрнектелген,екінші қосылғыш 10,қосынды 18.

Мұғалім: («қосылғыш», «қосынды» деген терминдер жазылған таблицаларды қыстырып қояды).Белгісіз сан қайсысына енеді?

Оқушы: Бірінші қосылғышқа

Мұғалім:Бірінші қосылғышты қалай табу керек?

Оқушы:Бірінші қосылғышты табу үшін,қосындыдан екінші қосылғышты шегеру керек (оқушы тақтаға 12-х=18-10) деп жазады;қалған барлық оқушылар дәптерлеріне жазады.

Мұғалім:Біз мұндай теңдеу шешкенбіз.Енді не істеу керек?

Оқушы: 18 бен 10 сандарының айырмасын есептеп шығару керек (12-х=8 деп жазады).

Мұғалім: Мұнда не белгісіз және бұл белгісіз санды қалай табуға болады?Өз беттеріңше шығарыңдар.х-тің мәнін дұрыс тапқан-таппағандарыңды тексеру керек.Ол үшін не істеу керек?

Оқушы: х-тің орнына оның мәні 4-ті қою керек ( (12-4)+10 деп жазады, есептеп шығарып (18-ді жазады),оны оң жақтағы санмен салыстыру керек (18=18 деп жазады).

Бұдан кейін осылайша 36-(20+х) =10 теңдеуі қарастырылады.5.[65-69]

М-2,59-бет,№2

-Балалар №2 есепке қарайықшы.

-4+х═ 11

-Оқушылар алдымен құраушыларын атайық.

-4-бірінші қосылғыш

-х-екінші қосылғыш

-11-қосындының мәні

-дұрыс.Оқушылар енді ойға шабуыл жасайық,ережені еске түсіреміз.Екінші қалай табамыз?

-Екінші қосылғышты табу үшін қосындының мәнінен қосылғышты азайтамыз.

-х ═ 11-4

х ═ 7

-Тексеру:4+7 ═ 11

11 ═ 11

Ж:х ═ 7

-Енді осы есептің келесісін шығарамыз.

Теңдеуді оқы.

Х пен 6- ның қосындысы 11-ге тең

Х+6 ═ 11

-Құраушыларын атайық.

-х-бірінші қосылғыш

-6-екінші қосылғыш

-х+6-қосынды

-11-қосындының мәні.

-Ал бірінші қосылғышты қалай табамыз?

-Бірінші қосылғышты табу үшін қосындының мәнін екінші қосылғышты азайтамыз.

-Тексеру:5+6 ═ 11

11═ 11

Ж:х ═ 11

-Дұрыс.Келесісін шығарамыз.

12-х ═4

-Құраушыларын атайық

-12-азайғыш

-х-азайтқыш

-12-х-айырма

-4-айырманың мәні.

-Азайтқышты табу үшін азайғыштан айырманың мәнін азайтамыз.

х ═ 12-4

х ═ 8

-Тексеру:12-8 ═ 4

4═ 4

-Өте жақсы.Енді келесісіне назар аударайық

Х-4 ═ 7

-Құраушылар атаймыз.

-х-азайғыш

-4-азайтқыш

-х-4-айырма

-7-айырманың мәні.

-Азайғышты қалай табамыз?

-Азайғышты табу үшін айырманың мәніне азайтқышты қосамыз.

х═ 7+4

х═ 11

-Тексеру:11-4═ 7

7 ═7

Ж:х═ 11

Сонымен қатар 2- класта екі жағынан да бірдей санды алу арқылы теңдеу шешеміз.

М-2,89-бет№2.Алдымен оқушылардың назарын көрнекілікке аударып аламын.

-Таразының сол жақ табағындағы жүктің массасын жазып көрсет.

-Ұн х кг+2кг

-Оң жақ табағында ше?

-5кг

-Қандай теңдік құруға болады?

-Таразы тең басып тұр,сондықтан,х+2═ 5

-Сол жақ табағынан 2кг.Кіртасты алғанда онда х кг ғана жүк қалды.Таразы тең болу үшін оң жақ табағында 2кг алу керек,яғни

5 кг-2 кг═3кг

Ендеше, х ═ 5-2

х═ 3

Тексеру: 3+2═5

5 ═ 5,тура санды теңдік шықты.

Теңдеуді шешу үшін оның екі бөлігінен де2-ні шегердік.

-Балалар оқулығымыздың 91-бетіндегі №2 есепке қарайық.

Х пен 40-тың айырмасы 9-ға тең.

-Теңдеудің сол жақ бөлігін оқы.

-х пен 40-тың айырмасы.

-Теңдеудің оң жақ бөлігін оқы.

-9

-х-40,яғни х-тен 40-ты азайту дегеніміз,40-ты қосқанда х шығатындай санды табу.

-ондай сан-9

-Ендеше: х═ 40+9

х═ 49

-Тексеру:49-40 ═ 9

9═ 9 тура санды теңдік.

-х-40 ═ 9 теңдеуін шешу үшін,берілген теңдіктен қосындымен байланысты теңдікке көштік.

-Оқушылар,оқулығымыздың 107-бетіндегі №5 есепке назар аударайық.

6 мен х-тің қосындысы 45-ке тең;

-6+х═ 45

-Теңдеудің екі жағынан да6-ны аламыз.

-х═ 45-6

х═ 39

-Тексеру: 6+39═ 45

45═ 45

Теңдеуді шешу үшін,оның екі жағынан да 6-ны шегердік.

Алдағы уақытта екі таңбалы сандарды азайту және қосу түрлеріне байланысты теңдеулер күрделене түседі.Мынадай жаттығу түрлерін айтуға болады.

М-2,119-бет,№4

-Оқушылар,№4 есеп,яғни теңдеулерді шешеміз.

-38+х═ 80

-Теңдеулердің екі жағынан да 38-ді аламыз.

-Ендеше,х═ 80-38

х ═ 42

-Тексеру: 38+42═ 80

80═ 80

- х-38═42

х═42+38

х═80

80-38═42

42═42 2.[114-117].

Сонымен 2 класта амал құраушылары мен нәтижелерінің арасындағы байланысқа сүйеніп теңдеу шешу тәсілдері шығарылады.

Бастапқы кезеңде 1-кластағы қарапайым теңдеулерді шешу тәсілдерін пысықтау ретінде теңдеулер шешіледі.Ал 2-сыныпта ондықтан аттап қосу мен азайтуды өтуге байланысты теңдеулер шешу қарастырылады.

2.4 Құрылымы күрделірек теңдеулерді шешу тәсілдері

3-класта оқушылар бірінші және екінші басқыштағы амалдары бар күрделі өрнектерден тұратын теңдеулерді шешеді.Олармен жұмыс істеу әдістемесі қарастырылған әдістемеге ұқсас.

3-класта теңдеу жұмыстары аздап басқаша беріледі.Онда көбейту,бөлу амалдарына берілген теңдеулер бірге қарастырылып,олардың ұқсастығы мен айырмашылығына байланысты салыстыра шешіледі.

Көбейту мен бөлуді өткеннен кейін олардың құраушыларының арасындағы байланысты және көбейту кестесін меңгерту мақсатында теңдеу шешу тақырыбы өз жалғасын табады.

3 класта х*3 =12, 5*х=10,х:2=4, 6:х=3 түріндегі теңдеулер енгізіледі,олар амалдар нәтижелері мен компоненттері арасындағы байланыс негізінде шығарылады.Әрдайым алғашқы кезеңде,белгісіз компоненттерді табу үшін ережесінің өзін балалар енді игере бастағанда,теңдеулерді шешу жиындарға қолданылатын операцияларға және берілген сандар мен белгісіз санды салыстыруға сүйену арқылы орындалады.Кейінірек,келесі кезеңде,теңдеулер белгісіз компонентті табу ережесі туралы білім негізінде шешіледі.Белгісіздерді табу ережесін игеруге теңдеулер мен олардың шешулерін салыстыру жаттығулары көмектеседі,

мысалы,мынадай: х+8=10 және х-8=10, х*3=9 және х:3=9 т.с.с.Теңдеулерді шешуге үйретудің ең алғашқы қадамынан бастап-ақ балаларды оларды тексеруді орындауларына үйретеді:табылған санды өрнекке қоюды,оның мәнін есептеп шығаруды және оны теңдеулерде берілген мәнмен салыстыруды үйретеді.

Оқушылар қарапайым теңдеулерді шешуді үйренгеннен кейін 2 класта х+10=30-7, х+(45-17) =40 т.с.с. түріндегі теңдеу енгізіледі.Осындай теңдеулерді шешу үшін өрнектегі амалдар тәртібі туралы білім,сондай-ақ өрнектерді қарапайым түрлендіруді орындай білу қажет.

Бірінші оң жағы санмен емес,сандық өрнекпен берілген теңдеулер қарастырылады,мысалы: х+25=50-14 немесе х+25=12*3 т.с.с.Осы сияқты теңдеулерді шешкенде оқушылар оң жақтағы өрнектің мәнін есептеп шығарады,содан кейін теңдеу қарапайым түрге келеді.Мысалы, х-8=70+14 теңдеуі шешіледі.Оқушылар теңдеуді оқиды (белгісіз сан мен 8 санының айырмасы 70 пен 14 сандарының қосындысына тең ).Алдымен 70пен 14 сандарының қосындысы неге тең екендігін есептеп шығарады,сонан соң х-8=84 түріндегі жаңа теңдеуді жазады.Осыдан кейін белгісіз азайғышты өрнектейді (х=84+8) де оны есептеп шығарады (х=92).Теңдеудің дұрыс шешілген –шешілмегендігі тексеріледі.Ол үшін әріптің табылған мәнін өрнекке қойып,оның мәнін есептеп шығарады (92-8=84),ал оң жақтағы өрнектің мәнін есептеп шығарылған болатын (70+14=84),бұдан әрі оларды салыстырады (84=84);егер өрнектердің мәндері тең болса,онда теңдеу дұрыс шешілген.

Ұзақ уақыт ішінде оқушылар осындай теңдеулерді оқуға,жазуға,шешуге және оларды тексеруге жаттығады,сонымен қатар олардың сол және оң жақтарына түрліше болып алмасып келетін қарапайым өрнектер қосылады.

Бұдан әрі сандық өрнектер ретінде компонеттердің бірі берілген теңдеулер енгізіледі,мысалы: х+(60-48) =20, (35+8)-х=30.

Бұл теңдеулерді олардың компоненттерінің атын атай отырып оқытып үйреткен пайдалы (мысалы: «Бірінші қосылғыш белгісіз,екіншісі 60 пен 48 сандарының айырмасымен өрнектелген,қосынды 20-ға тең»).Теңдеуді оқу үшін өрнектегі амалдардың тәртібін тағайындау ,соңғы амалды бөліп көрсету,бұл амалды орындағанда сандар қалай аталатындығын еске түсіру және компоненттер мен нәтижені олардың аттарын атай отырып оқу керек.Бұлай оқу өрнекке талдау жасауды керек ететіндігін көреміз,мұнда бірден белгісіз компонент қандай өрнекпен берілгендігі көрсетеді.

Өткен жағдайдағы сияқты әуелі берілген өрнек қарапайым түрге келтіреді,содан кейін қарапайым теңдеу шешіледі.Мысалы, (35+8)-х=30 теңдеуінде азайғыш неге тең шамалас теңдеу алады: 43-х=30, оны балалар шеше алады.

3 класта х*3 =12, 5*х=10,х:2=4, 6:х=3 түріндегі теңдеулер енгізіледі,олар амалдар нәтижелері мен компоненттері арасындағы байланыс негізінде шығарылады.Әрдайым алғашқы кезеңде,белгісіз компоненттерді табу үшін ережесінің өзін балалар енді игере бастағанда,теңдеулерді шешу жиындарға қолданылатын операцияларға және берілген сандар мен белгісіз санды салыстыруға сүйену арқылы орындалады.Кейінірек,келесі кезеңде,теңдеулер белгісіз компонентті табу ережесі туралы білім негізінде шешіледі.Белгісіздерді табу ережесін игеруге теңдеулер мен олардың шешулерін салыстыру жаттығулары көмектеседі,

мысалы,мынадай: х+8=10 және х-8=10, х*3=9 және х:3=9 т.с.с.Теңдеулерді шешуге үйретудің ең алғашқы қадамынан бастап-ақ балаларды оларды тексеруді орындауларына үйретеді:табылған санды өрнекке қоюды,оның мәнін есептеп шығаруды және оны теңдеулерде берілген мәнмен салыстыруды үйретеді.

3 –сынып оқушылар теңдеуді мынадай әдістермен шығарады.

Мысалы:Х:7═12

1-қадам.Бөлуді көбейтумен тексеремін.Жазамын....

2-қадам.Көбейтіндінің * мәнін табамын.Жазамын....

3-қадам.Теңдеудің шешімін тексеремін.Жазамын....

4-қадам.х-тің неге тең екенін жазамын....5.[68-72].

3-сыныпта оқушылар оқулықта берілген көбейту,бөлу амалдарына байланысты мынадай есептер шығарады:

М-3,94-бет,№6

-Оқушылар,№6 есепке назар аударайық.

А:9═9

-Оқушылар көбейту кестесін еске түсірейік.Қандай санды 9-ға бөлгенде 9 шығады?

-81-ді

-Ендеше, 9 бен 9-ды білсек 81-ді қалай шығарамыз.

-а═9*9

а═81

-Тексеру, 81:9═9

9═9

-Ендеше,а═81 теңдеудің шешімі.

Енді әрі қарата көбейту мен қосу амалдарына берілген теңдеулер қатар қарастырылады.Ол үшін көрнекілікпен түсіндіремін

М-3,144-бет,№1

-Оқушылар суретке мұқият қараңдар

Тарзылар тең басып тұрғандықтан,қандай теңдеулер құруға болады?

А)Х+2═7

Х+2-таразының сол жақ табақшасындағы жүктің массасы,яғни х кг ұн және 2 кг кір тасы.

-Суретті алдыңғы суретпен салыстырайық.Не байқадыңдар?

-Таразының екі жағынан да 2 кг кір тасы алынып тасталған.

-Ендеше теңдеулерді шешу үшін анық екі бөлігінен де 2-ні азайтамыз.

х═7-2

х═5

Тексеру: 5+2═7

7═7

Ә)х*5═10

Х*5- таразының сол жақ табақшасындағы жүктің массасы,яғни х килограмнан 5 рет.

-Суретті алдыңғы суретпен салыстырайық.Не байқадыңдар?

-Таразының екі жағынан да 5 кг кір тасы алынып тасталды.

-Ендеше теңдеуді шешу үшің оның екі бөлігін де 5-ке бөлеміз.

х═10:5

х═2

Тексеру: 2*5═10

10═10

Көбейтуді қосу амалымен салыстырып түсіндірсек,енді бөлу амалына берілген теңдеуді азайту амалына берілген теңдеумен салыстыра отырып түсіндірейік.

М-3,148-бет,№3

А)190-х═70

-190-нан х-ті азайту дегеніміз х-ті қосқанда 190 шығатындай санды табу.

-Демек,70+х═190

Теңдеудің екі бөлігінен 70-ті азайтамыз.

х═190-70

х═120

-Тексеру: 190-120═70

70═70

Ә)900:х═9

-900-ді х-ке бөлу дегеніміз х-ке көбейткенде 900 шығатындай санды табу.

-Демек,9*х═900

Теңдеудің екі бөлігінен де 9-ға бөлеміз.

х═900:9

х═10

Тексеру: 900:10═9

9═93.[183-186].

3-сыныпта теңдеулерді шешудің тиімді тәсілдерін қарастырайық.

1.у*5═25.

А)у-теңдеудің түбірі болсын.у*5═25.Сол жақ бөлігінде у пен 5-тің көбейтіндісі,оң жағында -25.

Б)Теңдіктің екі бөлігін де нөлден өзгеше санға бөлеміз.Сонда тағы да ақиқат теңдік шығады.Бұл операцияның дұрыстығын не санды мысалдармен,не табақты таразы жәрдемімен иллюстрациялап көрсетуге болады.

У*5:5═25:5.Сол жақ бөлігінде алдымен у-ті 5 есе арттырдық та,шыққан нәтижені 5 есе кеміттік,олай болса у өзгеріссіз қалады.

В)Ендеше у═25:5;бұдан у═5.

Г)Тексеру:у═5,у*5═25;25═25.

2.6*у═10.

А)у-теңдеудің түбірі болсын.у:6═10.

Б)Көбейту мен бөлу өзара кері амалдар,бөлудің анықтамасы бойынша 10*6═у,бұдан у═60.

В)Тексеру:у═60;у:6═10;10 ═10.

3.80:у═8.

А)у-теңдеудің түбірі болсын.80:у═8.

Б)Бөлудің анықтамасы бойынша 80═8*у не 80═у*8.Теңдеу қарастырылған түрге келтіріледі.Сонымен a+x=b,x+a=b,a*y=b,y*a=b,y:а=b, a: y=b түріндегі негізгі теңдеулерді шешу операциясы бірнеше кезеңнен тұрады.Атап айтқанда:

1)Предикаттан ақиқат санды теңдікке көшу,ол үшін х не у –теңдеудің түбірі деп есептеледі.

2)Теңдеуді y*a=b, x+a=b стандарт түрге келтіру,ол үшін санды теңдікке қосу не көбейтудің коммуникативтік заңы немесе бөлудің не азайтудың анықтамалары қолданылады.Сонда кейбір теңдеулерде х не у бірден даралануы мүмкін.

3)Белгісізді даралау,ол үшін ақиқат санды теңдіктің екі бөлігінен де бірдей сан а алынады не екі бөлігі де бірдей сан а-ға бөлінеді.

4)Ықшамдау және есептеулер жүргізу.

5)Түбірін табу.Тексеру және жауабын жазу.5.[68-72]

2.5 Күрделі теңдеулерді оқытып үйретудің әдістемесі.

Бағдарлама бойынша күрделі теңдеумен 4-сыныпта танысады.Күрделі теңдеулерді оқытып үйретудегі негізгі мақсат-оны оқи білу дағдыларын қалыптастыру.Күрделі теңдеулерде бірнеше амал қатар келеді,оқушы ең соңғы амалға назар аударып соны іздеуден бастайды.

Мысалы:М-4 259-бет №5

(а-86)*2047548

Теңдеуді оқы

-а мен 86 айырмасымен 204-тің көбейтіндісі

-олай болса өрнек көбейтінді

-Бұл теңдеуді шеу үшін

-а-86 –бірінші көбейткіш,ал 204- екінші көбейткіш

-Не белгісіз?

-Бірінші көбейткіш

-Оны қалай табамыз?

-Көбейтіндінің мәнін екінші көбейткішке бөлеміз.

-а-867548:204

-а-8637

-Енді жай теңдеу шықты

-Құраушыларын ата.

-а-азайғыш

-86-азайтқыш

-37-айырманың мәні

-Белгісіз азайғышты қалай табамыз?

-белгісіз азайғышты табу үшін,айырмаға азайғышты аламыз.

-а86+37

-а123

-Тексеру: (123-86)*2047548

-37*2047548

-75487548

-Ж:7548

-Міне осылайша күрделі теңдеулерді шешу тәсілдерімен таныстық.

М-4,258бет,№3.

А)87:(4х+5)═3 Ә)17*(3х-16)═85

4х+5═29 3х-16═85:17

4х═24 3х-16═5

х═24:4 3х═16+5

3х═21

х═6 х═7

Ж: х═6 Ж:х═7

Б)9*(6х-13)═153

6х-13═153:9

6х-13═17

6х═13+17

6х═30

х═30:6

х═5

Ж:х═5

4-сыныпта оқушылар мәтін есептен күрделі теңдеулерді құрастырып және оның шешімін тауып үйренеді.Мысалы:М-4,210-бет,№6.

Арасы 18км екі ауылдан бір мезгілде бір-біріне қарама-қарсы шыққан екі жаяу адам 2 сағаттан кейін кездесті.Біріншісінің жылдамдығы 4км/сағ.Екіншісінің жылдамдығы қандай?(Осы есептке теңдеу құрып көрейік).

2сағ

4км/сағ ?км/сағ

66км

4*2+х*2═18

8+2х═18

2х═18-8

2х═10

х═5

М-4,158-бет,№4.

А) 160:(у+3)=20 Б)216:(16-х)=18

У+3=160:20 16-х=216:18

У+3=8 16-х=12

У=8-3 Х=16-12

У=5 Х=4

Ж:у=57 Ж:х=4

В)(8х+9):7=21 Г)5у+(3у+18)=106

8х+91-=147 5у+3у+18=106

8х=147-91 8у=106-18

8х=56 8у=88

Х=56:8

Х=7 У=11

Ж:х=7 Ж:у=11

4-сыныпта оқушылар теңдеу құрамында әріп болатынын онымен белгіленген санды іздеу мақсатында теңдікті шығаратындықтарын толықтай білуі керек.Оқушылар теңдеуді шешу дегеніміз оның түбірін табу деген дегенді білдіреді деген ұғымды жақсы меңгеруі керек.Себебі 4-сыныпта олар күрделі теңдеулермен танысады.Күрделі теңдеулерді дұрыс оқып,олардың шешімін дұрыс таба білу керек.4.[257-260].

2.6Мәтін есептерді теңдеу құру арқылы шығаруға үйрету.

Есептерді шешудің негізінен 2 тәсілі бар.Брінші арифметикалық тәсіл болса екіншісі алгебралық тәсіл.

Есептерді теңдеу құру арқылы шығаратын тісілдерді алгебралық тәсіл деп атаймыз.

Оқушыларға теңдеудің практикалық қолданылуын көрсету үшін теңдеуді шешу мен есептерге теңдеу құрып шығаруды қатар ұштастырып оқытудың ереше маңызы бар.Демек,арифметикалық жай және құрама есептерді теңдеу құру арқылы шығарудың әдістемесін өз алдына құрастырған дұрыс.Оқушыларға теңдеудің практикалық қолданылуын көрсету үшін кейбір жай есептерді де теңдеу құру арқылы шығаруда алгебралық әдіс көбірек қолданылады.Теңдеулерді қолданып есеп шығаруды оқыту балаларға барынша түсінікті материалдан басталады.

Бұл үшін алдын-ала негізгі дайындық жұмыстары жүргізілуі керек.Мұнда бір есепті бірнеше әдіспен шешу жолдары қарастырылуы керек.Сондай-ақ есепті талдау кезіндегі мұғалімнің бағыттаушы ұсынысы мен жетекші сұрағына тәуелді болады.Осының бәрін нақты есепті мысалға алып отырып көрсетіп берейік.

«Арасы 66 км екі ауылдан бір мезгілде бір-біріне қарама-қарсы шыққан екі салт атты 3 сағаттан кейін кездесті.Біріншісінің жылдамдығы 12км/сағ болса,екіншісі қандай жылдамдықпен жүрген?»

А)Есеп мәтінін оқушылар өздігінен оқып болған соң мұғалім:

-Оқушылар,есептің мазмұны не туралы?

-Екі салт аттың қозғалысы туралы.

-Олар неше пункттен шыққан?

-Екі пункттен.

-Қандай бағытта қозғалған?

-Бір-біріне қарама-қарсы бағытта қозғалған.

-Бір мезгілде дегенді қалай түсінесіңдер?

-Олардың жұмсайтын уақыттары бірдей.

-Балалар,есепте не белгілі?

-Екі пункттің арасы 66 км.

-Тағы не белгілі?

-Біріншісінің жылдамдығы 12км/сағ.

-Есеп туралы не айтуға болады?

-Екі сат атты 3 сағаттан кейін кездеседі.

-Есепте нені табу керек?

-Екінші салт аттың жылдамдығын табу керек.

Осы деректерді балаларды жауабымен ілесіп кестеге түсіреміз.Сонда:

	Жылдамдық	Уақыт	Қашықтық
1)бірінші салт атты	12км/сағ	3сағ	? 66 км ?
2)екінші салт атты	?км/сағ	3сағ

Бұл есепті қысқаша жазудың бір түрі,яғни кесте түріндегі көрнекілік болып табылады.Енді осыны пайдаланып,есеп шешудің жоспары құрылады.

-Шешуді неден бастаған дұрыс?

-Бірінші салт аттың жылдамдығы мен жолда болған уақыты белгілі,олай болса жылдамдықты уақытқа көбейтіп,оның кездескенге дейінгі жүрген жолын табуға болады.

-Әрі қарай ше?

-Екі ауылдың ара қашықтығы белгілі,одан бірінші салт аттың жүрген жолын азайтсақ,екіншісінің жүргенін табуға болады.

-Есеп аяқталды ма?

-Жоқ.Өйткені екінші салт аттың жылдамдығы әлі табылған жоқ.Кездескенге дейін оның қанша жол жүргені белгілі болады,соны жолда болған уақытқа 3 сағатқа бөлсек,оның жылдамдығын табамыз.

Демек,есеп шешуінің жоспары құрылды,яғни қандай амалдарды,қандай ретпен орындағанда есеп сұрағына жауап беретіні негізделді.Олай болса есептің шешуін дәптерге жазуға кірісуге болады.

Есептің шешуі әр түрлі жазылуы мүмкін.Оның қандай да бір түрі алдын ала оқушыларға ұсынылмаса ,қандай түрде жазу оқушылардың өз еркінде.Ал егер алдын-ала нұсқау берілсе,ұсынылған түрде жазып көрсету міндеті болып табылады.

Қарастырылған есептің шешу жоспарына орай дәптерге жазудың мүмкін нұсқаларының үлгісін келтірейік.

Бірінші үлгісі:Әрбір амалға сәйкес түсіндірме есептің шешу жоспарын ауызша құру барысында келтірілгендіктен,оқушылар дәптерге бірден есеп шешуі боатын өрнекті жазады,оның мәнін ауызша есептеп шығарады да өрнектен кейін теңдік таңбасын қойып,жалғастырып жазады:

(66-12*3):3═10 (км/сағ).

Жауабы:екінші салт аттың жылдамдығы 10км/сағ.

Екінші үлгісі:

-Кездескеге дейін бірінші салт атты неше километр жүрді?

-12*3═36(км).

-Кездескеге дейін екінші салт атты неше километр жүрді?

-66-36═30(км).

-Екінші салт аттының жылдамдығы қандай?

-30:3═10км/сағ.

Жауабы:екіншінің жылдамдығы 10км/сағ.

Үшінші үлгісі:

-12*3═36(км)-кездескеге дейінгі бірінші салт аттының жүрген жолы.

-66-36═30(км)-кездескенге дейінгі екінші салт аттының жүрген жолы.

-30:3═10(км/сағ)-екінші салт аттының жылдамдығы.

Жауабы:екінші салт аттының жылдамдығы 10 км/сағ.

Ә)Есеп мәтінін оқушылар өздігінен оқып болған соң:

-Есепті өз сөзімен кім айтып береді?

-Екі ауылдың арасы 66 км.Бірінші салт аттының жылдамдығы 12км/сағ,ал екіншісінікі белгісіз,соны табу керек.

Оқушының жауабына ілесіп айтылғандарды сызбаға түсіреміз.Сонда:

20

3сағ

12км/сағ ?км/сағ

66км

Сызба түріндегі көрнекілік шығады,яғни есепті қысқаша жазу орындалады.Енді осы көрнекілікті басшылыққа алып,есепті шешу жоспары құрылады.

66м қашықтықты екі жаяу адам 3 сағатта жүріп өтті.Сондықтан олардың бір сағатта қанша жүргенін,яғни олардың жақындау жылдамдығын табуға болады.Ол үшін қашықтықты уақытқа бөлеміз.

Сонда екеуінің бір сағатта қанша жүргенін,яғни екеуінің жақындау жылдамдығын табамыз.Бірінші салт аттының жылдамдығы 12 км/сағ,ендеше қалғанын екінші салт атты жүрген.Демек,екеуінің бір-біріне жақындау жылдамдығынан біріншісінің жылдамдығын азайтсақ,екіншісінің жылдамдығы шығады.

Әрі қарай осы құрылған жоспар бойынша есеп шешуі жоғарыда келтірілген үлгілердің біріне ұқсас дәптерге жазылады.

Бірінші үлгі: 66:3-12═10(км/сағ).

Жауабы:екінші салт аттының жылдамдығы 10км/сағ.

Екінші үлгі:

1.Екі салт аттының бір-біріне жақындау жылдамдығы: 66:3═22(км/сағ)

2.Екінші салт аттының жылдамдығы:

22-12═10(км/сағ).

Жауабы:10км/сағ

Үшінші үлгі:

1.12*3═36(км)-кездескенге дейінгі бірінші салт аттының жүрген жолы.

2.(66-36):3═10км/сағ-екінші салт аттының жылдамдығы.

Жауабы:10км/сағ.

Сонымен есепті арифметикалық тәсілмен және әр түрлі екі тәсілмен шығарудық,ал есеп шеуін үш түрлі жазып көрсеттік.Әр тәсілдің қолданылуыесепке сәйкес жүргізілген талдаудың логикалық желісіне және оның қысқаша жазылуына (кесте жазба түрінде),яғни қолданылған көрнекіліктің түріне орай анықталды.Есептің әр түлі тәсілмен шығаруда осыны ескеру керек.

Енді есепті алгебралық тәсілмен,яғни теңдеу құру арқылы шығарып көрейік.

Айталық,х км/сағ-екінші салт аттының жылдамдығы болсын,ол белгісіз болғандықтан,оны әріппен белгіледік.

Онда (х+12)км/сағ-екі салт аттының бір-біріне жақындау жылдамдығы.

Ал (66:3)км/сағ-бұл да екі салт аттының бір-біріне жақындау жылдамдығы.

М-4,119-бет,№3

-Балалар ,№3 есепті шығарамыз.Қозғалысқа берілген есепті теңдеу құру арқылы шығарамыз.

Ауылдан қалаға дейін 300км.Олардан бір мезгілде қарама-қарсы шыққан жеңіл машина мен жүк машинасы 2 сағаттан кейін кездесті.Жүк машинасының жылдамдығы 60км/сағ болса,жеңіл машина қандай жылдамдықпен жүрген?

-Есептің мазмұны не туралы?

-Жеңіл машина мен жүк машинасының қозғалысы туралы.

-Олар неше пункттен шыққан?

-Екі пункттен шыққан.

-Олар қандай бағытта қозғалған?

-Бір-біріне қарама-қарсы бағытта.

-Бір мезгілде дегенді қалай түсінесіңдерЮ

-Олардың жұмсайтын уақыттары бірдей.

-Есепте не белгілі?

-Екі пункттің арасы 300 км.

-Тағы не белгілі?

-Жүк машинасының жылдамдығы 60 км/сағ

-Тағы не белгілі?

-Олардың 2 сағаттан кейін кездескендігі.

-Есепте не белгісіз?

-Жеңіл машинаның жылдамдығы.

2сағ

60км/сағ хкм/сағ

300км

-Ендеше қысқаша шартын жазайық.

Есепті екі тәсілмен шығаруға болады.

1-тәсіл.

(60+х)*2=300

60+х=300:2

60+х=150-60

Х=90км/сағ.

-Тексеру: (60+90)*2=300

150*2=300

300=300

2-тәсіл.

60*2+х=300

120+х*2=300

Х*2=300-120

Х*2=180

Х=180:2

Х=90км/сағ.

-Тексеру: 60*2+90=300

120+180=300

300=300

Есептерді теңдеу құру арқылы шығару дерексіз сандармен берілген есептерді ұсыну тиімді,мұнда белгісізді әріппен таңбалау қажетті және теңдеу құрылатын есеп мәтінмен айқын көрініп тұрады.Осы кезеңде мына сияқты есептерді қарастырады.4.[257-260]7

1.Егер белгісіз санды 12-ге арттырса,онда 47 шығады.Белгісіз санды табыңдар.

2.Егер белгісіз санды 3 есе арттырса,онда 36 шығады.Белгісіз санды табыңдар.

3.Егер белгісіз санды 17-ге кемітсе,онда 47 шығады.Белгісіз санды табыңдар.

4.Егер белгісіз санды 4 есе кемітсе,онда 15 шығады.Белгісіз санды табыңдар.

5.Егер 49 санынан белгісіз санды азайтса,онда 19 шығады.Белгісіз санды табыңдар.

6.Егер 45 санын белгісіз санға бөлсе,онда 9 шығады.Белгісіз санды табыңдар.

Келесі кезеңде арифметикалық амалдардың белгісіз компоненттерін табуға байланысты есептер теңдеудің жәрдемімен шығарылады.Жаттығулардың үлгісінкелтірейік.

1.Ағаш бұтағына бірнеше шымшық,ал екінші бір бұтаққа 10 шымшық қонып отыр енді.Бірінші бұтақтан 10 шымшық ұшып кеткенде,екі бұтақтағы қонып отырған шымшықтар бірдей болады.Бірінші бұтақта бастапқыда қанша шымшық қонып отырған?

2.Ағаштың бір бұтағында бірнеше қараторғай,ал екінші бұтақта 15 қараторғай қонып отыр еді.Бірнші бұтақта тағы 3 қараторғай келіп қонғанда,екі бұтақтағы қараторғайлар саны бірдей болды.Бірінші бұтақта бастапқыда қанша қараторғай қонып отырған.

3.Ұл балада 13 дәптер,ал қыз балада бірнеше дәптер болған еді.Қыз бала 3 дәптерді досына сыйлағанда,олардың дәптері бірдей болады.Қыз балада бастапқыда қанша дәптер болды?

4.Жас натуралисттер 50 тауық балапанын және бірнеше үйрек балапанын асырады.Егер үйректің балапанын 5 есе артық асыраса,онда тауық балапаны қанша болса,үйрек балапаны сонша болар еді.Жас натуралисттер қанша үйрек балапанын асырады?

5.Жас натуралисттер бірнеше түп жидек және 20 түп қарақат отырғызды.Егер жидек санын 3 есе кемітсе,онда қанша түп қарақат отырғызылса,сонша түп жидек отырғызылған болар еді.Жас натуралисттер қанша қанша түп жидек отырғызған?

6.Мектеп ауласында 20 адамнан құрылған бригада жұмыс істеп жақан еді.Тағы да 60 адам келгеннен кейін оларды бірнеше бригадаға бөлді.Сонда бірінші бригадада қанша адам болса,кейінгі бригадада сонша адамнан құрылған болып шықты.Кейін келген адамдардан қанша бригада құрылды?

Әрі қарай арифметикалық амалдың компоненті мен нәтижелер құруға есептер ұсынылады.Мұнда құрама есепті теңдеу жәрдемімен шығарудың мүмкіндігі көрсетіледі.

1)Егер ойлаған санды 10-ға кемітсе 36 мен 9 сандарының бөліндісіне тең сан шығады.Ойлаған сан қандай?

2)Егер ойлаған санды 3 есе арттырса,онда 17 мен 7 сандарының қосындысына тең сан шығады.Ойлаған сан қандай?

3)Егер ойлаған санды 3 және 4 сандарының көбейтіндісіне кемітсе,онда 42 шығады.Ойлаған сан қандай?

4)Егер ойлаған санды 18 бен 9 сандарының бөліндісіне арттырса,онда 22 шығады.Қандай сан ойлаған?

5)Егер ойлаған санды 18-ге арттырса онда 22 мен 3 сандарының көбейтіндісіне тең сан шығады.Қандай сан ойлаған?

6)Егер ойлаған санды 4 есе кемітсе,онда 25 пен 14 сандарының қосындысына тең сан шығады.Қандай сан ойлаған?

7)Егер ойлаған санды 3 пен 5 сандарының көбейтіндісіне бөлсе,онда 2

шығады.Қандай сан ойлаған?

8)Егер ойлаған саннан 28 бен 7 сандарының бөліндісін азайтса,онда 13 шығады.Қандай сан ойлаған?

Енді теңдеу құруға мүмкін болатын мәтінді құрама есептер қарастырылады.Оларды шығару барысында алгебралық тәсілді енгізу қажеттігін және оның мәнді ерекшелігі мен артықшылығын нақты көрсетіп беруге болады.

1)Бір ыдыста бірнеше литр сүт ал екіншісінде 10 литр сүт болған еді.Бірінші ыдысқа тағы 2 литр сүт құйылғанда,ал екіншісінен 3 литр сүт құйып алғанда,екі ыдыста сүт мөлшері бірдей болады.Бастапқыда бірінші ыдыста қанша литр сүт болған?

2)Бір топта бірнеше дәптер,ал екіншісінде 20 жолды және 10 торкөзді дәптер болған еді.Бірінші топтан 5 дәптерді пайдаланғаннан кейін,екі топтағы дәптерлер саны бірдей болады.Бастапқыда бірінші топта қанша дәптер болған?

3)Бірінші қорапта бірнеше түсті қарандаш,ал екінші қорапта 8 түсті және 4 жай қарандаш болған еді.Егер бірінші қораптағы қарандаштар санын екі есе арттырса онда екінші қорапта,қанша қарандаш болса,бірінші қорапта сонша болады.Бастапқыда бірінші қорапта қанша қарандаш болған?

4)Оқушыдан қанша дәптерің бар деп сұрағанда «мен 20 жолды дәптер мен бірнеше токөз дәптер бар.Егер бес жолды дәптерді досыма сыйласам және тағы 7 токөз дәптер сатып алсам,мендегі жолды және торкөз дәптерлер бірдей болады» деп жауап береді.Бастапқыда оқушының қанша торкөз дәптері болған?

5)Қыз баланың бірнеші тиыны,ал ұл баланың 70 тиыны болған еді.Қыз балаға тағыда 15 тиындықтан 3-еуін бергенде,олардың ақшаларының мөлшері бірдей топтағы бірнеше есептің шығарылуын келтірейік.Бірінші ыдыста бастапқыда х литр сүт болсын делік немесе бірнші ыдыста х литр сұт бар еді,оған тағы 2 литр сүт құйғанда х+2(л) ал екінші ыдыста 10-3(л) сүт болды.

Теңдеу құру: х+210-3

Теңдеу құруды шешу: х+27

х7-2

х

Теңдеудің шешуін тексеру:5+27; 10-37; 77.Есептің жауабы:Бастапқыда бірінші ыдыста 5 литр сүт болған еді.

Теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастырылған ретпен үйрету және олардың көмегімен есеп шығаруды қарастыру бастауыш буын оқушыларының келесі сыныптар талабына сай дайындалуын қамтамасыз етеді.Өйткені олар теңдеулерді шеуге дағдыланадыжәне теңдеу құру арқылы есептер шығару тәсілдерінің мән-мағынасы,ерекшелігі жайында бастама түсінік алады.Соның нәтижесінде алгебра элементтерін оқытудың басты мақсатына жетудің негізі каланады.

Есептерді теңдеу құру арқылы шығару барысында:

1.Белгісіз шаманы х арқылы белгілейміз.

2.Тақырып мазмұны бойынша ондағы мәліметтерді пайдаланып теңдеу құрастырамыз.

3.Теңдеу шешіліп,белгісіз шама табылады.

4.Есептің сұрағына жауап беріледі.5.[75-80].

3.1Сабақ жоспары

Пәні:Математика

Сыныбы:1-сынып

Сабақтың тақырыбы:Теңдеу

Сабақтың масаты:Оқушыларды теңдікті дұрыс оқи білуге жіне теңдедің шешімін дұрыс таба білуге үйрету.

Сабақтың міндеттері:

Білімділік:Оқушыларға теңдеуді іріктеу тәсілімен шығара білуге үйрету.

Тәрбиелік:Жұмыстың орнын ұйымдастыра білуге,ұйымшылдыққа тәрбиелеу.

Дамытушылық:Оқушылардың логикалық ойлауын,есте сақтауын,танымдық қабілеттерін дамыту.

Сабақтың типі:Жаңа сабақ

Сабақтың түрі:Дәстүрлі сабақ

Сабақтың әдістері:Эвристикалық әдіс,әңгіме әдісі,әңгімелеу әдісі,көрнекілік әдісі.

Сабақтың көрнекілігі:Ілме қағаздщар.

Сабақтың барысы:

І.Ұйымдастыру бөлімі.

Бір дегенім-бесік,Шықтым одан өсіп.

Екі дегенім-елім,Далам,тауым,көгім.

Үш дегенім-үміт,Үміт артар жігіт.

Төрт дегенім-төзім,Төзе білем өзім.

Бес дегенім бақыт,бағалайтын уақыт.

Алты деген-ақыл,Тыңдағаның мақұл.

Жеті деген-жалау,Жүректегі алау.

Сегіз деген-сөзің,Серт беретін кезің,

Тоғыз деген-тоқтау,Елдің жоғын жоқтау.

Он дегенім-Отан,Қорға соны ботам.

ІІ.Жаңа сабақтың тақырыбын хабарлау.

-Балалар біздер бүгінгі сабақта теңдеу тақырыбымен танысамыз.Бүгінгі сабақтағы сіздердің мақсаттарыңыз теңдеуді дұрыс оқи білуге,теңдеуді дұрыс шығара білуге үйрену.Ал менің мақсатым осының барлығын сіздерге үйрету болмақ.

ІІІ.Жаңа материалды меңгеру.

-Балалар теңдеу дегеніміз құрамына енетін әріптің мәнін табу керек болатын теңдік.

Мысалы:

3+а═7 теңдеуі былай оқылады 3 пен а-ның қосындысы 7-ге тең.

Оқушыларға жаңа тақырыпты іріктеу тәсілі арқылы түсіндіремін

Сонымен: 3+а═7

а=1

а=2

а=3

а=4 тағыда басқа.Осы мәндерді қойып көрейік.

тағыда басқа.Осы мәндерді қойып көрейік.

3+1≠7

3+2≠7

3+3≠7

3+4═7

7═7

Жауабы:а═4.

-Балалар енді мен сіздерге теңдеуді

-Балалар 3+а═7 бұл теңдеу.Мұндағы а-белгісіз сан.Теңдеудің сол жақ бөлігінде 3+а әріпті өрнегі тұр,ал оң жақ бөлігінде 7 саны тұр.Мұндағы берлгісіз а-ны табу үшін біз қосындыны мәнінен бірінші қосылғышты азайтамыз.Сонда:

3+а═7

а═7-3

а═4

4+а═7

7═7

-Балалар енді мен сіздерге мысалдар көрсетемін сіздер менімен ілесіп отырып мысалдарды шығарасыздар.

4-а═3 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

-4 пен а-ның айырмасы 3-ке тең.

-Дұрыс,Балалар 4-тен қандай санды азайтқанда 3 шығады?

-1-ді азайтқанда.

-4 пен 3 санын білсем 1 санын қалай шығарамын?

-4-тен 3-ті азайтамын.

а═4-3

а═1

-Енді тексерейік:

4-а═3

а═4-3

а═1

4-1═3

3═3

-Сонымен а═1 теңдеудің шешімі.

-Өте жақсы енді оқулықтарымызға назар аударайық.

VI.Есептер шығару.

1-есеп:

-Балалар №1 есепке назар аударайық.№1 есепте бізге теңдеулер берілген біз соларды жазуымыз керек.Мен қазір сіздерді бір-бірден тақтаға шақырамын сіздер теңдеуді оқи отырып оны тақтаға жазасыздар.

а мен 3-тің қосындысы 4-ке тең;а+3═4.

5 пен а-ның айырмасы 1-ге тең;5-а═1.

а мен 2-нің айырмасы 0-ге тең;а-2═0.

а мен 0-дің қосындысы 2-ге тең;а+0═2.

а мен 0-дің айырмасы 6-ға тең;а+0═6.

2-есеп:

-Балалар №2 есепке назар аударайық.№2 есепте бізге теңдеудің шешімін табу керек.

1)а+2═4 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

-а мен 2-нің қосындысы 4-ке тең.

-Дұрыс,Балалар 2-ге қандай санды қосқанда 4 шығады?

-2-ні қосқанда.

-2 мен 4-ті білсем 2 санын қалай шығарамын?

-4-тен 2-ні азайтамын.

а═4-2

а═2

-Енді тексерейік:

а+2═4

а═4-2

а═2

2+2═4

4═4

-Сонымен а═4 теңдеудің шешімі.

2)а+3═5 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

-а мен 3-тің қосындысы 5-ке тең.

-Дұрыс,Балалар 3-ке қандай санды қосқанда 5 шығады?

-2-ні қосқанда.

-3 пен 5-ті білсем 2 санын қалай шығарамын?

-5-тен 3-ті азайтамын.

а═5-3

а═2

-Енді тексерейік:

а+3═5

а═5-3

а═2

2+3═5

5═5

-Сонымен а═5 теңдеудің шешімі.

3) 6-а═3 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

-6 мен а-ның айырмасы 3-ке тең.

-Дұрыс,Балалар 6-дан қандай санды азайтқанда 3 шығады?

-3-ті азайтқанда.

-6 мен 3 санын білсем 3 санын қалай шығарамын?

-6-дан 3-ті азайтамын.

а═6-3

а═3

-Енді тексерейік:

6-а═3

а═6-3

а═3

6-3═3

3═3

-Сонымен а═3 теңдеудің шешімі.

4) 7-а═2 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

- 7 мен а-ның айырмасы 2-ге тең.

-Дұрыс,Балалар -7-ден қандай санды азайтқанда 2 шығады?

-5-ті азайтқанда.

-2 мен 7санын білсем 5 санын қалай шығарамын?

-7-ден 2-ні азайтамын.

а═7-2

а═5

-Енді тексерейік:

7-а═2

а═7-2

а═5

7-5═

2═2

-Сонымен а═2 теңдеудің шешімі.

5) а-4═4 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

-а мен 4-тің айырмасы 4-ке тең.

-Дұрыс,Балалар бұл жа,дайда біз не істейміз?

-4 пен 4 санын қосамыз.

-Дұрыс 4 пен 4 санын қосқанда неше шығады?

-8 шығады.

а═4+4

а═8

-Енді тексерейік:

а-4═4

а═4+4

а═8

8-4═4

4═4

-Сонымен а═4 теңдеудің шешімі.

6) а-1═4 теңдеуіне назар аударайық.Бұл теңдеудің оқылуы қалай болады?

-а мен 1-дің айырмасы 4-ке тең.

-Дұрыс,Балалар бұл жа,дайда біз не істейміз?

-4-ке 1-ді қосамыз.

-Дұрыс 4 пен 1 санын қосқандда неше шығады?

-5 шығады.

а═4+1

а═5

-Енді тексерейік:

а-1═4

а═4+1

а═5

5-1═4

4═4

-Сонымен а═4 теңдеудің шешімі.

3-есеп.

-Балалар №3 есепке назар аударайық.№3 есепте бізге сөз есеп берілген.

Жеңіс күніне арналған ардагерлер мерекесінде 6 бала би биледі,ал 4 бала өлең айтты.Ардагерлер күніне барлығы неше бала өнер көрсетті?

-Балалар есеп не жайында?

-Ардагерлер күнінде өнер көрсеткен балалар жайында.

-Есепте не білгілі?

-6 бала би билегені.

-Тағыда не белгілі?

-4 бала өлең айтқаны белгілі

-Есепте не белгісіз?

-Барлығы неше бала өнер көрсеткені белгісіз.

-Есепті неше амалмен шығарамыз?

-Бір амалмен

Би билеген-6 бала ?

Өлең айтқан-4 бала

Барлығы-?бала

Шешуі:6+4═10

Жауабы:Ардагерлер күніне барлығы 10 бала өнер көрсетті.

Сергіту сәті.

Оқушылармен 2-3 минут сергіту сәтін өткіземін. Интерактивті тақтада оқушыларға арналған жаттығулар қосылады.Оқушыларға түсінікті болу үшін жаттығуды оқушылармен бірге орындаймын.

4-есеп.

-Балалар №4 есепке назар аударайық.№4 есепте бізге теңдеулерді бірінші бағанға,теңсіздіктерді екінші бағанға,ал теңдіктерді үшінші бағанға жазу керек.

Теңдеу	теңсіздік	теңдік
7+а═9 А+7═7 9-а═7 А-7═2	7≤9 7≥2 2≤9	9═9 2═2 7═7

5-есеп.

-Балалар №5 есепке назар аударайық.№5 есепте бізге тиындықтардан 10 теңге құрастыру керек.

V.Сабақты бекіту.

-Балалар барлығымыз тақтаға назар аударайық.Сызық бойымен қолыңды жүргізбей-ақ,берілген сандарға сәйкес әріптерді анықта.Сөздерді оқиық.

VІ.Сабақты қорытындылау.

-Балалар біз бүгін теңдеу тақырыбымен таныстық.Сіздер бүгінгі сабақта теңдеуді оқып және теңдеуді шығаруды үйрендіңіздер.Бүгінгі сабақта барлықтарыңыз белсенділік таныттыңыздар.Жарайсыздар!

VІІ.Үйге тапсырма.

-Балалар үйден 170-беттегі №2 есптің қалғанын орындап келеміз.

VІІІ.Бағалау.

Оқушылардың білімі мен белсенділігін ескеріп бағалау.

ҚОРЫТЫНДЫ

Бастауыш сыныптарды математиканы оқытуда теңдеулерді шешуге,оларды есептерді шығаруда қолдануға оқушыларды қалыптастырудың маңызы зор,өйткені оларды қарастыру барысында оқытудың дамыту міндетін жүзеге асыруға мүмкіндік береді.

Теңдеу құру,оны шешу,теңдеу құру арқылы шығарылатын мәтін есептер оқушылардың ұғымдарды,теорияны және математика әдістерін меңгерудің тиімді де айырбасталмайтын құралыболып табылады.Оқушыларды ойлау қабілеттерін дамытуда,оларды тәрбиелеуде,біліктіліктері мен дағдыларының қалыптасуында теңдеу құру арқылышығарылатын мәтін есептердің өмірмен байланыстылығын ескерген жөн.

Осы уақытқа дейін қарапайым және құрылымы біршама күрделірек теңдеуді шешу сандар қатары кеңейтілген сайын,оқып үйреніп жатқан сандарды қамтитындай болып келеді.Осы бағыттағы жұмыс ілгеріде әрі қарай жалғастырылады.

Дегенмен теңдеу және оны шешу тәсілдері біршама қорытындылануы қажет,еспті шешудің тиімді тәсілі ретінде алгебралық тәсілді меңгертеміз.

Теңдеуді шешу тәсілдерінің бастауыш сыныптардағы бірізділігі сақталады.Алайда теңдеулердің атқаратын қызыметі күрделене түседі.Оған жоғары кластардағы теңдеу түрлері жатады.

Теңдеулер және оларды шешу тәсілдерін қарастырумен байланысты жұмыс ұғымдар мен терминдердің мән-мағынасын ашу,қарапайым және құрылымы біршама күрделі теңдеулерді әр түрлі білімге сүйеніп құру және шешу сияқты мәселелердің төңірегінде өрбиді.

Сондықтан теңдеу құру,оны шешу,жалпы алгебралық ұғымдарды меңгерту келесі сыныптарда математикасының ішінде алгебралық жүйені оқып,үйрену үшін өте қажетті саты болып саналады.

Оқушыларға теңдеу ұғымының мәнін ашу.Теңдеудң шешуің әдістерін 1-сыныптан бастап меңгерту және теңдеуді шешу әдістерін оқушыларға жете ұғындыру маңызды деп санаймын.Теңдеу бастауыш курс математикасында ең негізгі тақырып болып табылады.Егер оқушы бастауыш сыныпта теңдеуді шешуді дұрыс меңгере алмаса орта сыныпта көп қиындықтарға кездеседі.Курстық жұмысты жазу барысында осы мәселелерді ескеріп осы бағытта жұмыс жүргізу әдістеріне тоқталып өттім.

ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ.

1.Т.Қ.Оспанов,Қ.Ә.Өтеева,Ж.Т.Қайыңбаев,К.Ә.Ерешева,М.В.Маркина

Математика 1-сынып Алматы «АТАМҰРА» баспасы 2012жыл.

2. Т.Қ.Оспанов, Ш.Х.Құрманалина,Ж.Т.Қайыңбаев,К.Ә.Ерешева, М.В.Маркина

Математика 2-сынып Алматы «АТАМҰРА» баспасы2010жыд.

3. Т.Қ.Оспанов, Ш.Х.Құрманалина,Ж.Т.Қайыңбаев,К.Ә.Ерешева, М.В.Маркина

Математика 3-сынып Алматы «АТАМҰРА» баспасы2010жыл.

4. Т.Қ.Оспанов,Б.М.Қосанов, Ж.Т.Қайыңбаев,К.Ә.Ерешева,Ш.Х.Құрманалина

Математика 4-сынып Алматы «АТАМҰРА» баспасы 2000жыл.

5.М.А.Бантова,Г.В.Вельтюкова,А.М.Полевщикова Бастауыш кластарда математиканы оқыту методикасы-Алматы «Мектеп» баспасы 1978жыл.

52