Использование рациональных приёмов устного счёта для формирования прочных вычислительных навыков на уроках математики в начальных классах

Государственное учреждение Ярославской области

Центр оценки и контроля качества образования

Методическая разработка

«Использование рациональных приёмов устного счёта для формирования прочных вычислительных навыков»

Костиковой Ольги Алексеевны

учителя начальных классов

МОУ средней общеобразовательной

школы №3 г. Ростова

Научный руководитель:

Аракчеева Светлана Алексеевна,

методист ГЦРО

высшей квалификационной категории,

зам. директора по УВР МОУ СОШ № 13

высшей квалификационной категории

Ярославль, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………… 3
ГЛАВА 1 Требования к вычислительным навыкам учащихся …………. .6
1.1 Понятие математических навыков……………………………… …..6
1.2 Критерии и уровни сформированности навыка……………………..7

1.3 Рациональность вычислений……………………………………........9

ГЛАВА 2 Рациональные приёмы вычислений и их применение…...........11

2.1. Приемы устных вычислений, основанные на изменении результата действий в зависимости от изменения компонентов и приёмы основанные на законах и свойствах арифметических действий………………………………………………………………………...11

2.1.1 Сложение и вычитание……………………………………………...11

2.1.2 Умножение и деление……………………………………………….14
2.2 Содержание и анализ опытно-экспериментальной работы…………20
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………26
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………27

ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………………28

Введение

Одной из важнейших задач обучения математике младших школьников является формирование у них вычислительных навыков, в основе которых лежит осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений.

В настоящее время, когда многие владеют навыками работы на компьютере, калькуляторе значимость навыков устных вычислений, несомненно, уменьшилась. Использование этих вычислительных средств

во многом делает процесс вычислений легче. Но они не всегда могут оказаться под рукой, да и выполнять вычисления без осознания способов вычисления невозможно. Следовательно, владение вычислительными навыками необходимо. Научиться быстро и правильно выполнять устные вычисления важно для младших школьников, для использования в повседневной жизни и для успешного обучения. Поэтому вооружение учащихся прочными вычислительными навыками продолжает оставаться серьезной педагогической проблемой.

Глубоко и всесторонне вопросы совершенствования устных и письменных вычислений учащихся исследовались лишь в 60-70 гг. ХХ века. Исследования последующих лет посвящены преимущественно разработке качеств вычислительных навыков (М.А. Бантова), рационализации вычислительных приемов (М.И. Моро, С.В. Степанова и др.), применению средств ТСО (В.И. Кузнецов), дифференциации и индивидуализации процесса формирования вычислительных умений и навыков (Т.И. Фаддейчева).

Кроме того, анализируя итоги срезовых тематических работ за последние 3 года стало ясно, что процент успешности снизился с 95% до 90%, а также снизился процент качества с 50% до 40%. Наблюдения и анализ детских работ показали, что учащиеся допускают много ошибок в вычислениях. Одним из путей укрепления прочности вычислительных навыков школьников является непрерывное изучение уровня усвоения этих навыков и работа по повышению качества их сформированности.

Основными и самыми, на наш взгляд, серьёзными темами 3-4 классов являются «Сложение и вычитание многозначных чисел» и «Умножение и деление многозначных чисел», которые являются фундаментом для работы в последующих классах и навыки устных и письменных вычислений должны быть сформированы.

Учитывая научные знания и исследования по данной проблеме, основываясь на современных требованиях к учебному процессу, мы считаем, что овладение учащимися младших классов прочными вычислительными навыками – является актуальной проблемой. Наблюдения за деятельностью детей младших классов при формировании вычислительных навыков показали, что они не всегда умеют объяснить, правильно ли найдено значение выражения, не могут обосновать выбор арифметического действия, не могут выполнить проверку.

Еще одной проблемой современных учащихся является нерациональность вычислений. Нужно обучать школьников выбирать и осуществлять рациональный путь выполнения упражнений и решения задачи, а также рационально записывать то или иное решение.
Мы пришли к выводу, что назрела необходимость более тщательно рассмотреть этот раздел частной методики преподавания математики. Возникает потребность в ознакомлении учащихся с дополнительными приемами устных вычислений, которые позволили бы значительно сократить время, потраченное на вычисления и запись решения, и избежать неразумного использования различных вычислительных средств (компьютера и калькулятора).
Цель: : разработать методику применения системы упражнений для формирования прочных вычислительных навыков с использованием рациональных приёмов устного счёта и проверить её эффективность.

Для реализации этой цели необходимо решить следующие задачи:
1) ознакомиться с проблемой изучения вычислительной культуры учащихся;
2) изучить основные особенности вычислительных навыков;
3) рассмотреть различные приемы быстрого счета как способа решения изучаемой проблемы;
4)  рассмотреть применение их на уроках;
5)  разработать систему упражнений по теме «Арифметические действия с многозначными числами», которая поможет учителям в проведении устного счета на уроках математики;
6) проверить эффективность предложенной методики в опытном преподавании.
Объект исследования – процесс обучения младших школьников рациональным приёмам вычислений арифметических действий.

Предмет исследования – вычислительные приёмы арифметических действий.

ГЛАВА 1 Требования к вычислительным умениям и навыкам обучающихся.

1.1. Понятие математических навыков.

Вычислительный навык М.А. Бантова определила как «высокую степень овладения вычислительными приемами» и выделила следующие его характеристики — правильность, осознанность, рациональность, обобщенность, автоматизм, прочность.[15]

Вычислительные навыки успешно формируются у учащихся при создании в учебном процессе определенных условий. Процесс овладения вычислительными навыками довольно сложен: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научиться достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев - запомнить результаты наизусть.

Прием вычислений складывается из ряда последовательных операций, а число операций определяется прежде выбором теоретической основы вычислительного приёма.

Приобрести вычислительные навыки - значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия и выполнять эти операции достаточно быстро.

Навыки обладают большой гибкостью и подвижностью, т.е. их можно совершенствовать – как бы хорошо ученик не считал, всегда можно довести вычислительный навык до еще большего совершенства. Усвоение навыка дает возможность ученику экономить время, увеличить темп учебной работы, совершенствовать ее качество и переключать внимание на обдумывание последующих этапов деятельности.

Навык формируется в упражнении. Упражнение – это целенаправленное, многократно выполняемое действие, которое осуществляется с целью его усовершенствования. В процессе упражнений деятельность организуется так, чтобы было предусмотрено выполнение действий, приводящих к формированию прочных и совершенных навыков. Новый навык формировать легче, чем перестраивать неправильно выработанный. Организуя упражнения, необходимо вызвать у обучающегося положительное отношение к ним. Навык нельзя выработать в один прием. Необходимо более или менее длительная тренировка, распределенная во времени, чтобы навык достиг желаемого уровня совершенства.

1.2. Критерии и уровни сформированности навыка.

Рассмотрим более подробно характеристики вычислительного навыка.

Правильность - ученик правильно находит результат арифметического действия, т. е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие приём.

Осознанность - ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения, в любой момент может объяснить как он решал и почему именно так.

Рациональность - ученик выбирает для данного случая более рациональный приём, то есть выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату. Но рациональный вычислительный прием для одного ученика не всегда рационален для другого. Поэтому, необходимо, рациональность вычислительного навыка заменить его эффективностью. В кратком экономическом словаре «эффективность — в общепринятом смысле представляет собой соотношение затрат и результатов». [6]

Поэтому вычислительный навык можно считать эффективным, если в рамках данного способа вычислений получение правильного результата достигается минимизацией затрат умственных ресурсов. Т.е. ученик, используя различные знания, может выбрать не обязательно более рациональный вычислительный прием с точки зрения методики, а более удобный (легкий) для него в конкретной ситуации, быстрее других приводящий к результату.

Обобщенность - ученик может применить приём вычисления к большому числу случаев, то есть способен перенести приём вычисления на новые случаи.

Автоматизм - ученик выполняет и выделяет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.
Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям сложения и вычитания, умножения и деления.

Прочность - ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

Одной из характеристик вычислительных навыков, наряду с перечисленными выше, выступает умение прогнозировать результат и оценивать его истинность, которое необходимо в дальнейшем обучении.

Руководствуясь мнением Истоминой Н.Б., методические рекомендации которой использованы в УМК «Гармония», мы включаем в свою работу на уроках математики решение заданий на «прикидку», основу которых составляет усвоение учащимися понятий и общих способов действий, усвоение приемов рациональных вычислений и даёт возможность учащимся применять самопроверку. По-нашему мнению, такие задания особенно актуальны при изучении арифметических действий с многозначными числами, основу которых составляет усвоение алгоритма, что является трудоемким и однообразным процессом.

По данным характеристикам выделяют три уровня сформированности: высокий, средний и низкий. (Приложение 1)

Для формирования вычислительного навыка ученик должен овладеть всеми характеристиками на высоком уровне.

1.3. Рациональность вычислений.

Остановимся более подробно на таком качестве вычислительного навыка как рациональность.

Особое внимание к рационализации вычислений связано с практической направленностью математического образования, с необходимостью применять полученные знания, действовать не только по образцу, но и в нестандартных ситуациях, комбинируя известные способы решения учебной задачи. Знакомство с рационализацией вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Применение свойств арифметических действий позволяет учителю воспитывать интерес к математике, вызвать у детей желание научиться вычислять наиболее быстрыми, лёгкими и удобными способами. Такой подход позволит поддерживать стремление к использованию математических знаний в повседневной жизни.

Умение рационально выполнять вычисления опирается на осознанное использование законов арифметических действий, применение этих законов в нестандартных условиях, использование универсальных приемов упрощения вычислений.

Свойства арифметических действий (переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения) не являются специальным предметом изучения в начальной школе, а рассматриваются в связи с формированием устных приёмов  вычислений. Это означает, что в процессе обучения на конкретных простых числовых примерах рассматриваются различные способы прибавления числа к сумме, суммы к числу; вычитания числа из суммы, суммы из числа; умножения суммы на число и др. с целью формирования умения осознанно выбирать те способы, которые позволяют рационально осуществлять процесс вычислений.

В начальном курсе математики изучение вычислительного приема происходит после того, как школьники усвоят его теоретическую основу (определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них). Причем в каждом конкретном случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительного приема,  конструируют различные приемы для одного случая вычислений, используя различные теоретические положения. [9]

В учебниках математики представлены приемы рациональных вычислений с точки зрения методики. Преобладание же действий по образцу в вычислениях младших школьников ведёт к вычислительным стереотипам, применение которых возможно лишь в знакомой ситуации.

Проблема рациональных вычислений неоднократно поднималась на страницах журнала «Начальная школа».

Авторы публикаций достаточно подробно описывают теоретические основы различных вычислительных приемов, часть из  них может успешно применяться учителями при обучении младших школьников. Это способ группировки, умножения и деления на 11, 5, 50, 15, 25 и др., округления одного из компонентов арифметического действия и др.; теоретическая основа  их — свойства арифметических действий, ознакомление с которыми происходит в начальном курсе математики. Остановлюсь на некоторых  способах вычислений, которые посильны  учащимся, но мало используются в практике обучения младших школьников.

ГЛАВА 2 Рациональные приёмы и их применение на уроке.

2.1. Приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах арифметических действий и приёмы основанные на изучении результата действий в зависимости от изменения компонентов

2.1.1.Сложение и вычитание

1. Сложение с перестановкой слагаемых (делаем перестановку слагаемых, применяя переместительный закон, чтобы получить круглое число при сложении, группу слагаемых заключаем в скобки и складываем на основании сочетательного закона)

73+138+107+50+42=(73+107)+(138+42)+50=180+180+50=410

2. Прибавление суммы к числу.
384 + (416 + 548) = 384 + 416 + 548 (на основании следствия сочетательного закона) = (384 + 416) + 548 (сочетательный закон) = 800 + 548 (правило порядка действий) = 1348.
Итак, правило прибавления суммы можно сформулировать следующим образом: чтобы прибавить к числу сумму, достаточно прибавить к нему одно за другим все слагаемые.
3. Прибавление числа к сумме.
1) (337 + 488) + 663 =663 + (337 + 488) (переместительный закон) = 663+ 337 + 488 (правило прибавления суммы) = (663 + 337) + 488 (сочетательный закон) = 1000 + 488 = 1488.
Примененное здесь свойство сложения формулируется так: чтобы к сумме чисел прибавить число, достаточно прибавить его к одному из слагаемых.

4. Сложение с округлением. Округление одного или нескольких слагаемых.
Этот прием основан на изменении суммы при изменении слагаемых.
а) Если одно из слагаемых увеличить (или уменьшить) на несколько единиц , а другое слагаемое оставить без изменения, то сумма увеличится (или уменьшится) на столько же единиц . Округляя слагаемое, мы увеличиваем (или уменьшаем) его, а следовательно, и сумму на несколько единиц . Чтобы сумма не изменилась, надо уменьшить (или увеличить) ее на столько же единиц.
1199 + 406 = (1200 + 406) -1= 1605.
б) Если одно из слагаемых увеличить (или уменьшить) на несколько единиц , другое слагаемое уменьшить (или увеличить) на столько же единиц , а остальные слагаемые оставить без изменения, то сумма не изменится. Перемещаем несколько единиц из одного слагаемого в другое, сумма не изменяется.
994 + 196 = 994 + 190 + 6 = (994 + 6) + 190 = 1000 + 190 = 1190.
В том случае, когда одно из слагаемых близко к разрядной единице (на несколько единиц больше или меньше), удобнее заменить его разрядной единицей, а в полученный от сложения результат внести необходимую поправку.
5. Округление уменьшаемого или вычитаемого.
Этот прием основан на изменении разности от изменения уменьшаемого или вычитаемого.
а) Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность соответственно увеличится или уменьшится на столько же единиц. Округляя уменьшаемое, мы увеличиваем или уменьшаем его на несколько единиц ,следовательно, и разность увеличивается или уменьшается на столько же единиц . Чтобы разность не изменилась, надо ее уменьшить или увеличить настолько же единиц .
1)795-246=(800-246)-5=549
Уменьшаемое увеличено на несколько единиц, разность, записанная в скобках, должна быть уменьшена на столько же единиц.
2)307-165=(300-165)+7=142
Уменьшаемое уменьшено на несколько единиц; записанная в скобках разность должна быть увеличена на столько же единиц.
б) Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц то разность соответственно уменьшится или увеличится на столько же единиц Округляя вычитаемое, мы увеличиваем или уменьшаем его, а следовательно, разность уменьшается или увеличивается на несколько единиц, чтобы разность не изменилась, надо ее увеличить или уменьшить на столько же единиц
1)341-199=341-(200-1)=341-200+1=142
Вычитаемое увеличено на несколько единиц, записанная в скобках разность должна быть увеличена на столько же единиц.
2)910-514=910-510-4=396
Вычитаемое уменьшено на несколько единиц, записанная в скобках разность должна быть уменьшена на столько же единиц.
Итак:
1)     При округлении уменьшаемого:
а)      если уменьшаемое увеличено, разность надо уменьшить;

б)      если уменьшаемое уменьшено, разность надо увеличить.
2)     При округлении вычитаемого:
а)      если вычитаемое увеличено, то и разность надо увеличить;
б)      если вычитаемое уменьшено, то и разность надо уменьшить.
Выгоднее округлять вычитаемое, так как разрядное или целое число легко вычитается из любого числа.
6. Округление слагаемых и замена сложения умножением.
На основании определения умножения и свойств изменения суммы при изменении слагаемых можно округлить слагаемые до одного и того же разрядного числа, разрядное слагаемое число умножить на число слагаемых и к произведению прибавить или из произведения вычесть разницу, которая получается в результате замены каждого слагаемого разрядным числом .

77+72+73+75+58=(70х4)+7+3+2+5+58=280+10+7+58=280+(17+3)+55=355

7 .Распределительный закон умножения по отношению к сложению (умножение суммы чисел на число).
(7+4)х25=7х25+4х25=175+100=275
Чтобы умножить сумму нескольких чисел на данное число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и полученные произведения сложить.
К указанному способу по обоснованию приема близок способ вынесения за скобки общего множителя или множимого.
19х4+19х6=19х(4+6)=19х10=190
8. Распределительный закон умножения по отношению к вычитанию (умножение разности чисел на число).
(25-7)х4=25х4-7х4=100-28=72
Чтобы умножить разность чисел на какое-нибудь число, достаточно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
К указанному способу по обоснованию приема близок способ вынесения за скобки общего множителя.

9. Прибавление разности к числу.

275+(116-65)=275-65+116=326

10. Вычитание суммы из числа.

137-(37+68)=(137-37)-68=100-68=32

11. Вычитание разности.

222-(117-28)=222-117+28=(222+28)-117=250-117=133

12. Сочетательный закон.

513-194-106=513-(194+106)=213

2.1.2.Умножение и деление

1. Замена нескольких сомножителей их произведением (сочетательный закон умножения).
   17х25х4=17х(25х4) (сочетательный закон умножения) =17х100 = 1700.
   Чтобы перемножить несколько чисел, достаточно отдельные сомножители соединить в группы, произвести умножение по группам, а затем перемножить полученные произведения.

2. Перестановка сомножителей (переместительный и сочетательный законы умножения).
4х8х3х25х125=4х25х8х125 (переместительный закон умножения) =100х1000х3 (сочетательный закон умножения) = 300 000.
Чтобы перемножить несколько чисел, можно поменять местами отдельные сомножители, соединить их в группы, затем произвести умножение по группам и перемножить полученные произведения.
3.Умножение произведения на число.
(40х7х3)х25=40х7х3х25 (порядок действий) = 40х25х7х3(переместительный закон умножения) =(40х25)х7х3 (сочетательный закон умножения) =1000х7х3=21000.
Чтобы умножить произведение нескольких чисел на какое-либо число, достаточно один из сомножителей умножить на это число и полученное произведение последовательно умножить на другие сомножители.
4.Умножение числа на произведение.
64х(125х7х3)=64х125х7х3(следствие сочетательного закона) =8000х7х3 (сочетательный закон умножения) = 168000.
Чтобы умножить число на произведение нескольких чисел, достаточно умножить это число на первый сомножитель, полученное произведение – на второй, затем новое произведение – на третий и т.д. до конца.
5.Умножение произведения на произведение.
(8х28)х(125х25)=(8х28)х125х25 (умножение числа на произведение) =8х28х125х25 (порядок действий) =8х125х28х25 (переместительность)=(8х125)х(28х25)  (сочетательность) =1000х700=700000.
Здесь применено следующее правило: чтобы умножить произведение нескольких чисел на другое произведение, достаточно последовательно перемножить все сомножители обоих произведений.

Мы знаем, что если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится. На этом свойстве основывается применение сокращенных способов умножения на 5, 25, 125 и на другие числа, представляющие собой делители числа, изображаемого единицей с нулями.
1. Умножение на 5, 50, 500 и т.д.
Умножение числа на 5, 50, 500 и т.д. заменяется умножением на 10, 100, 1000 и т.д. с последующим делением на 2 полученного произведения. Или: сначала множимое делится на 2, а потом полученное частное умножается на 10, 100, 1000 и т.д.
1)54х5=(54:2)х(5х2)=270;54х5=(54х10):2=540:2=270;
2)686х50=(686х100):2=34300;
3)28х500=(28:2)х(500х2)=14х1000=14000.
2.Умножение на 25, 250, 2500 и т.д.
При умножении числа на 25, 250, 2500 и т.д. достаточно данное число умножить на 100, 1000, 10000 и т.д. и полученный результат разделить на 4. Или: сначала данное число разделить на 4, затем полученное частное умножить на 100, 1000, 10000 и т.д.
1)36х25=(36:4)х100=900;
2)37х25=(36:4)х100+25=925;
3)84х250=(84:4)х(250х4)=21х1000=21000.
3.Умножение на 125, 1250 и т.д.
При умножении числа на 125, 1250 и т.д. данное число умножают на 1000, 10000 и т.д., полученное произведение делят на 8. Или: данное число делят на 8 и полученное частное умножают на 1000, 10000 и т.д.
72х125 = (72: 8)х(125х8) = 9х1000 = 9000, или
72х125 = 72х(100 + 25) =72х 100 + 72: 4х100 = 7200 + 1800 = 9000

Известно, что если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одинаковое число раз, то частное не изменится. На этом свойстве основывается применение сокращенных способов деления на 5, 25, 125 и на другие числа, представляющие какую-либо часть числа, изображенного единицей с нулями.
4. Деление на 5, 50, 500 и т.д.
Деление числа на 5, 50, 500 и т.д. заменяется делением на 10, 100, 1000 и т.д. с последующим умножением на 2. Или: делимое умножается на 2 и полученное произведение делится на 10, 100, 1000 и т.д.
1) 8740: 5 = (8740: 10)х2 = 874х2 = 1748;
2) 197500: 50 = (197500: 100)х2 = 3950;
5. Деление на 25, 250 и т.д.
При делении числа на 25, 250 и т.д. достаточно разделить его на 100, 1000 и т.д. и полученное частное умножить на 4. Или: сначала делимое умножить на 4, а потом полученное произведение разделить на 100, 1000 и т.д.
14200: 25 = (14200: 100)х4 = 142х4 = 568;
6. Деление на 125, 1250 и т.д.
При делении числа на 125, 1250 и т.д. достаточно разделить его на 1000, 10000 и т.д. и полученное частное умножить на 8. Или: сначала делимое умножить на 8, а потом полученное произведение разделить на 1000, 10000 и т.д.
1) 35000: 125 = (35000: 1000)х8 = 35х8 = 280;
2) 32250: 125 = (32250х8): (125х8) = 258000: 1000 = 258.

7.Умножение на 11 и на 111
а) 32 х 11 = 32 х 10 + 32 = 352

б) раздвигаем цифры 3 и 2 вставляем между ними их сумму: 3 5 2
в) при умножении на 111, допустим 25:
•раздвигаем цифры множимого;
•находим их сумму;
•вписываем её уже 2 раза:
25 х 111 = 2 7 7 5
Если сумма цифр двузначного числа больше 10, то делаем так:
•число десятков множимого увеличиваем на 1,
•раздвигаем десятки и единицы
•вписываем единицы суммы десятков и единиц множимого:
78 х 11 = (7+1) (7+8) 8 = 8 15 8 = 858
г) чтобы умножить трёхзначное число на 11, нужно:
•число сотен и единиц оставить на своих местах
•приписать сумму сотен и десятков множимого
•приписать сумму десятков и единиц
115х11=1(1+1)(1+5)5=1265
8.Умножение чётных чисел на 15
Делим число на 2 и прибавляем к искомому числу, затем всё умножаем на 10. Этот приём действует только для чётных чисел. Например:
14 х 15 = (14 : 2 + 14) х 10 = 21 х 10 = 210
26 : 15 = (26 : 2 + 26) х 10 = 39 х 10 = 390
Нечётные представлены в виде суммы слагаемых
23 х 15 = (22 + 1) х 15 = (22 : 2 + 22) х 10 +15 = 330 +15 = 345
9.Округление одного из сомножителей.
Если один из двух сомножителей увеличить или уменьшить на несколько единиц, то произведение соответственно увеличится или уменьшится на число, равное произведению другого сомножителя на прибавляемое или вычитаемое число единиц.
Рассмотрим четыре случая сокращенного умножения, основанных на этом свойстве.
а) Округляем множимое до разрядного числа, отнимая от него несколько единиц , затем умножаем отдельно разрядное число и отнятые единицы на множитель и полученные произведения складываем.
902х7=(900+2)х7=6300+2х7=6314.
б) Округляем множимое до разрядного числа, прибавляя несколько единиц умножаем отдельно разрядное число и прибавленные единицы на множитель и из первого произведения вычитаем второе произведение.
397х4=(400-3)х4=400х4-3х4=1600-12=1588.
в) Округляем множитель до разрядного числа, уменьшая его на несколько единиц, затем отдельно умножаем множимое на разрядное число и на отнятые единицы и полученные произведения складываем.
28х1004=28х(1000+4)=28х1000+28х4=28112.
При умножении на 15 умножают на 10 и прибавляют половину полученного произведения:
468х15=468х(10+5)=468х10+(468х10:2)=4680+2340=7020
При умножении на 150 умножают на 100 и прибавляют половину полученного произведения:
18х150=18х100+18х10:2=1800+1800:2=2700
При умножении на 11 данное число умножают на 10 и к полученному произведению прибавляют данное число:
57х11=57х(10+1)=57х10+57=570+57=627
г) Округляем множитель до разрядного числа, увеличивая его на несколько единиц , затем умножаем множимое отдельно на разрядное число и на прибавленные единицы множителя и из первого произведения вычитаем второе произведение.
42х98=42х(100-2)=42х100-42х2=4200-84=4116
К этому способу сокращенного умножения подходит умножение на 9; 99; 999; 19; 29; 39; 49; 69; 79; 89; и т.п. При умножении на 9; 99; 999 и т.п. умножают данное число на 10; 100; 1000 и т.п. и из полученного произведения вычитают данное число.
1)345х9=345х(10-1)=345х10-345=3450-345=3105;
2)46х99=46х(100-1)=46х100-46=4600-46=4554.
При умножении на 19; 29; 39; 49; 59; 69; 79; 89 данное число умножают на 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80 и 90 и из полученного произведения вычитают данное число.
1)48х19=48х20-48=960-48=912;
2)14х69=14х70-14=980-14=966;
10. Используя этот приём, можно умножать на 16 и 14 - (15 +1) и (15 - 1):
66 х 16 = 66 х (15 + 1) = (66 : 2 + 66) х 10 + 66 = 1156
11. Умножения чисел, оканчивающихся на 5, самих на себя
35 х 35 = 3 х 4 и приписываем 5 х 5, т.е. 35 х 35 = 1225 

2.2. Содержание и анализ опытно-экспериментальной работы.

С целью изучения эффективности применения дополнительных приёмов устного счёта, направленных на успешное формирование вычислительных навыков у учащихся, была проведена экспериментальная работа. Работа проходила в три этапа:

1. Первичная диагностическая работа.

2. Организация работы по внедрению рациональных вычислительных приёмов в учебный процесс.

3. Итоговая диагностическая работа.

На начальном этапе была разработана и проведена диагностическая работа, целью которой была проверка умения использовать рациональные приёмы. Время проведения 10 минут. Работа проводилась по теме: «Сложение и вычитание в пределах 1000» и состояла из 2-х заданий; первое задание требовало применения письменного приёма вычислений, упражнения под номерами отмеченными звёздочкой, требовали применения рациональных приёмов вычислений (приложение 5). При проверке оценка ставилась за базовый уровень, т.е. за первое задание, за задания со звёздочкой выставляются только положительные оценки. Учащиеся, не допустившие ошибок в первом задании, достигли высокого уровня усвоения, допустившие от 1–2 ошибки средний уровень, 3 и более показали низкий уровень усвоения.

Результаты диагностики показали, что 1-ое задание выполнили полностью все учащиеся класса – 21 (100%), из них высокий уровень правильности вычислений показали- 10 чел. (47%), средний уровень – 9 чел (43%) , низкий уровень – 2 чел (9% ); все учащиеся использовали письменные приёмы вычислений. Задания, отмеченные звёздочкой, выполняли 18 человек (85 %) из них: полностью- 4 человека (19 %), частично – 14 человек (67 %), не приступали -3 человека (14 %). По результатам работы можно сделать вывод, большая часть детей не выполнила задание полностью, т.е. не использовала продуктивные способы вычислений.

По теме «Умножение многозначного числа на однозначное» также была проведена диагностическая работа (приложение 4). Время проведения 15 минут. Работа состояла из 3-х заданий: при выполнении первого задания необходимо было использовать письменные приёмы вычислений, выполняя второе задание ученики сравнивали выражения, в третьем задании они выполняли вычисления, используя рациональные приёмы. Результаты диагностики показали: первое задание выполнили все учащиеся класса 20 человек (100%), из них: высокий уровень правильности вычислений показали 10 учеников (50%), средний уровень – 9 учеников (45%), низкий -1 человек (5%), причём все учащиеся использовали письменные приёмы вычислений.

Второе задание выполняли 19 человек (95 %) из них: полностью -18 человек (95 %), частично -1 человек (5 %), не приступил -1 человек (5 %); 3-е задание выполняли 17 человек (80 %) из них: полностью – 16 человек (95 %), частично – 1 человек (5 %); не приступило -3 человека (20 %).

Таким образом, для более успешной реализации задачи формирования прочных вычислительных навыков был использован комплекс дополнительных приёмов устных вычислений.

На втором этапе в течение четырёх недель проходило знакомство учащихся с дополнительными приёмами рациональных вычислений. При изучении темы «Сложение и вычитание в пределах 1000» на этапе закрепления, были использованы следующие приёмы: округление слагаемых, округление уменьшаемого и/или вычитаемого, использование переместительного и сочетательного свойств, прибавление суммы к числу и числа к сумме, прибавление разности к числу, вычитание суммы, вычитание разности. При изучении темы «Умножение многозначного числа на однозначное» были введены следующие приёмы: особые случаи умножения на 5, округление при умножении, распределительный закон умножения по отношению к сложению и умножению. Учащимся предлагались задания, в которых требуется найти наиболее удобный и быстрый способ вычисления. Примеры упражнений приведены в приложении 2. Н-р: найти значение выражения вида 1986+118. Наиболее способные учащиеся выдвигают свои способы вычисления. Среди этих предложений могут быть, как рациональные, так и нерациональные. Предложенные варианты коллективно обсуждаются, и каждый выбирает для себя наиболее удобный. Наша задача подвести учащихся к пониманию того, какой способ наиболее рациональный. Учащиеся, которые овладели данным вычислительным навыком, работают самостоятельно, остальные выполняют задания с комментированием у доски одним из учеников. При необходимости оказывается помощь. Если ребёнок до этого испытывал затруднения в вычислениях, но в последствии понял рациональный приём, то переходит к самостоятельному выполнению задания. Для проверки правильности решения, тех учащихся, которые работали самостоятельно, заранее готовятся карточки с правильными ответами. Для тех учеников, темп вычислений которых выше, чем у других, предлагаю задания творческого характера. Н-р: составить подобное выражение и решить его рациональным способом. Главное, чтобы учащиеся поняли, что использовать письменные приёмы нужно именно тогда, когда устно вычислить трудно.

После того как приём изучен, упражнения с заданиями, где требуется применение рациональных приёмов, были включены в устный счёт (приложение 2).

Берём листок в клеточку, делим его на три части. На доске записаны 5 математических выражений. Учащиеся, за отведённое время, должны вписать в первую колонку только результаты действий. В конце работы они делают самооценку по правильности вычислений (линеечка Цукермана). Учитель проверяет работу и рядом ставит свою оценку. На следующем уроке учащиеся выполняют другой вариант работы, на третьем следующий. Тем самым, учащиеся могут увидеть свои результаты по усвоению вычислительного приёма. Учитель выводит одну итоговую оценку за все три работы.

Также при закреплении мы проводили фронтальный опрос, используя задания по этим темам (приложение 3). В проверку были включены 8-10 заданий, в зависимости от того, сколько времени занимали ответы детей. Учащиеся, которые испытывали затруднения при счёте в уме, записывали числа из задания.

На третьем этапе, после того как были рассмотрены и применены дополнительные приёмы устного счёта, были разработаны и проведены диагностические работы по темам: «Сложение и вычитание многозначных чисел в пределах 1000» и «Умножение многозначного числа на однозначное»(приложение 5, 4) Целью этих работ являлась проверка умения использовать рациональные приёмы вычислений. По теме «Сложение и вычитание многозначных чисел в пределах 1000» она также состояла из двух заданий, по теме «Умножение многозначного числа на однозначное» из трёх заданий, содержание, которых было аналогично первой диагностической работе. В результате проведения диагностическая работа №2 по теме «Сложение и вычитание многозначных чисел в пределах 1000» имеет следующие результаты: из 20 учащихся, выполнявших работу, базовый уровень выполнили 20 человек (100%), их них высокий уровень правильности вычислений показали 12 человек (60%), средний уровень – 8 человек (40%); часть учащихся использовали устные вычисления во всех выражениях – это 6 человек (30 %) и 2 человека (10 %) частично. Задание, отмеченное звёздочкой, выполняли 18 человек (90%),из них полностью -12 учеников (60 %), частично-6 человек (30 %); не приступали к выполнению – 2 человека (10 %) .

По теме «Умножение многозначного числа на однозначное» следующие результаты: задание № 1 выполнили все учащиеся -21 человек (100%), высокий уровень правильности вычислений показали 14 человек (67 %), средний уровень – 7 человек (33 %), 6 учащихся (28 %) перешли от письменных приёмов к устным. Задание № 2 выполняли все учащиеся (100 %), из них: полностью – 20 человек (95 %), частично – 1 человек (5 %). Задание № 3 выполняли 20 человек (95 %), из них полностью – 18 человек (90%), частично – 2 человека (10 %), не приступал – 1 человек (5%).

Таким образом, можно сделать вывод:

1) при выполнении первого задания часть учащихся перешла от письменных приёмов к устным;

2) увеличилось количество детей, выполнивших, задание со «звёздочкой» полностью.

Для того, чтобы выявить эффективность использования представленных приёмов вычислений был проведён сравнительный анализ выполнения диагностических работ на 1-ом и на 2-ом этапе исследования.

Сравнительный анализ представлен на диаграммах (приложение 6)

Итак, анализ результатов, приведённых в диаграммах, позволяет сделать вывод:

1) в диагностической работе №1 количество ошибок допущенных в задании №1 превышает количество ошибок в диагностической работе №2;

2) задание №2 и №3, выполняло полностью меньшее количество учащихся;

3) если на первом этапе в первом задании ученики пользовались, исключительно, письменными приёмами вычислений, то на третьем появились учащиеся, использующие устные приёмы. Это свидетельствует о более высоком качестве знаний и умений учащихся на данном этапе по теме «Арифметические действия с многозначными числами» по сравнению с предыдущим этапом.

Ошибки при усвоении вычислительных приёмов, выделенные на первом этапе исследования, остались, но уменьшилось их количество, увеличилось количество детей использующих рациональные приёмы вычислений, поэтому можно заключить, что внедрение в учебный процесс дополнительных приёмов устных вычислений, направлено на формирование прочных вычислительных навыков.

На основании этого необходимо использовать рациональные приёмы устных вычислений для формирования прочных вычислительных навыков и развития познавательной активности учащихся к урокам математики.

Заключение

В результате работы по этой теме мы ознакомилась с проблемой изучения вычислительной культуры учащихся; изучили основные особенности вычислительных навыков; рассмотрели различные приёмы быстрого счёта, как способа решения изучаемой проблемы и на основе этого разработали систему применения дополнительных случаев вычислений; использовали их на уроках; разработали систему упражнений по теме: «Арифметические действия с многозначными числами»; увидели эффективность предложенной методики в практической деятельности.

По данной проблеме была спланирована и организована исследовательская работа, которая включала в себя три этапа. Результаты работы по каждому этапу представлены.

Мы будем продолжать работать по данной теме, так как убедились в том, что использование дополнительных приёмов вычислений способствуют укреплению вычислительных навыков, повышают интерес к урокам математики.

Методическая разработка может быть полезна тем педагогам, которые будут использовать в своей работе рациональные приёмы вычислений.

Список литературы

1. Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. — 1995. — № 11. — С. 38-43.

2. Демидова Т. Е., Тонких А. П. Приёмы рациональных вычислений в начальном курсе математики. // Начальная школа.-2002.-с.94-103

3. Зимовец Н.А., Пащенко В.П. Интересные приемы устных вычислений // Начальная школа. — 1990. — №6. — С. 44-46.

4. Истомина Н. Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. Москва. Просвещение. 1985.

5. Кравченко В.С., Оксман Л. С., Янковская Н. А. Устные упражнения по математике в 1-3 классах.// Москва. Просвещение. 1979.

6. Лашов Б. В., Соколов О. В. Краткий экономический словарь школьника.//Москва. Просвещение. 1993.

7. Устный счёт. Приложение к журналу Начальная школа. -2002.- №17

8. Ушакова Т. В. Учимся считать быстро 3-4 классы.//Санкт-Петербург. Литера. 2009.

9. Фаддейчева Т. И. Обучение устным вычислениям.//Начальная школа.-2003.-№10-с.66-69

10. Чекмарев Я.Ф. Методика устных вычислений. — М.: Просвещение, 1970. — 238с.

11. www.festival.1september.ru

12. www.window.edu.ru

13. www.school2100.ru

14. www.umc-uochehov.narod.ru

15. www.journal.sakhgu.ru

Приложение 1

3 уровня сформированности вычислительного навыка по всем критериям.

уровни критерии	высокий	средний	низкий
1. правильность	Ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами.	Ребёнок иногда допускает ошибки в промежуточных операциях.	Ученик часто неверно находит результат арифметического действия, т.е. не правильно выбирает и выполняет операции.
2. осознанность	Ученик осознаёт, на основе каких знаний выбраны операции. Может объяснить решение примера.	Ученик осознаёт на основе каких знаний выбраны операции, но не может самостоятельно объяснить, почему решал так, а не иначе	Ребёнок не осознаёт порядок выполнения операций.
3. рациональность	Ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный приём. Может сконструировать несколько приёмов и выбрать более рациональный.	Ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный приём, но в нестандартных условиях применить знания не может.	Ребёнок не может выбрать операции, выполнение которых быстрее приводит к результату арифметического действия.
4. обобщённость	Ученик может применить приём вычисления к большему числу случаев, то есть он способен перенести приём вычисления на новые случаи.	Ученик может применить приём вычисления к большему числу случаев только в стандартных условиях.	Ученик не может применить приём вычисления к большему числу случаев.
5. автоматизм	Ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свёрнутом виде.	Ученик не всегда выполняет операции быстро и в свёрнутом виде.	Ученик медленно выполняет систему операций, объясняя каждый шаг своих действий.
6. прочность	Ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.	Ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на короткий срок.	Ребёнок не сохраняет сформированные вычислительные навыки.

Приложение 2

Упражнения, основанные на дополнительных приёмах устных вычислений.

Реши наиболее удобным способом.

Использование свойств сложения и вычитания при вычислениях

7+3+5 7+9+1 4+6+7 5+3+7 5+3+5 8+1+9 4+6+9 7+8+2

14+25+6 37+25+6 22+18+17

46+33+17 15+25+39 51+9+32

29+17+34+25 278+15+2+5 43+24+25+46+378 2+86+98+804

126+23+107 750+38+150 90+266+334+210 48+530+70+52

590+380+410 13+14+106+7 252+2+35+5 750+38+150+12

23+24+25+26+27 36+25+64+100+75

198+95+2+205+500 2996+71+4+29

49+29+87+31+51+13 54+28+12+13+16

18+39+227+12+23 300+4+700+96

27+196+33+4 27+92+73

458+333+42+67 411+419+145+725

385+548+615 221+427+373

(457+705)+295 554+(46+1425)

(437+92)-37 (573+308)-108 (6207-207)+207

(303+274)+26 (6504-504)+504 2345-(345+2000)

(661-328)+39 (5843+108)-108 745-(340+205)

Прибавление числа к сумме.

а)(303+274)+26 46+(18+4) 2+(136+298)

5+(65+19) 81+(9+27) 19+(36+41)

б) 680+300 820+50 360+200 280+60 80+160 240+30

в) 328+40 250+23 850+36 243+400 456+3 527+300

г) (303+274)+26 46+(18+4) 2+(136+298)

5+(65+19) 81+(9+27) (158+46)+42

Вычитание числа из суммы.

а) (437+92)-37 (573+108)-108 (5843+98)-98 (178+89)-89

(29+36)-19 (97+52)-50 (364+415)-264 (3+57)-47

Вычитание суммы из числа.

128-(28+4) 949-(5+49)

215-(97+3) 302-(5+195)

463-(198+263) 475-(275+29)

315-(215+63) 463-(163+78)

338-(38+96) 212-(162+59)

Использование приёма округления при вычислениях.

597+65 937+298 145+99 38+135 598+74 62+19

363-199 796-602 175+499 326-199 240-79 91-38

432-197 426-209 145+499 350-89 783-598 237+48

654-205 896+76 782+309 837+298 199+406 435+398

595+67 837+299 333-199 896-702 603-347 497-268

392-275 497+328 574+209 299+436 405+357 698+175

196+299 205-145 693-456 907-649 294+198 195+297

303-147

167х4 98х5 293х9 293х6

197х7 93х7 298х5 287х4

193х8 295х6 197х8 291х8

Найди сумму чисел наиболее удобным способом:

8+8+8+2

9+9+9+9+9+6

99+99+99+99+99+5

98+98+98+98+98+10

Использование свойств умножения при вычислениях.

1. Вычисли, используя свойства умножения:

а) 2х6х5х3 16х5 б) 8х2х5 5х18 35х6 14х15

4х2х7х5 35х4 2х3х5х9 25х4 8х45 12х25

2х2х2х5х5х5 5х20

в) 2х7х5х9х2х5

25х49х4х5х20

8х5х25х7

2х9х5х5х2х3

4х85х2х5х25

1. Вычисли наиболее удобным способом:

(42+24+16+58)х2 15х39х2х5х20 (42+44+46+48)х2

(5+183+295+17)х3 46х19+61х60 (25+185+595+15)х3

(72+194+28+6+338+12)х2 (72+194+28+6+388+12)х5

(495+293+105+200+507)х2 (495+293+105+200+207)х4

(32+34+36+38)х2

25х29х24х23х20 7х2х2х5х5х3х2х5

30х2х5х9 4х97х25х5х2

70х2х5х5х3х2х5 12х17х15х19х12х15

40х97х25х5х2х5х2 4х2х5х9

1. Найди значения выражений, используя распределительное свойство умножения:

(250+25)х4 8х11+8х29

6х(150+16) 36х184+36х816

17х4+183х4 138х8-3х138

262х5+138х5 327х6-4х327

75х6+25х6 243х7-2х243

177х7+23х7 37х9-7х37

49х8+51х8 24х8-6х24

123х6+177х6 77х5-2х77

152х8+48х8 215х2-215

1. Измени порядок действий на основании свойств сложения и умножения для удобства вычислений:

348+54+46 54х2х50

543+89-43 34х8+66х8

427-33-67 135х12-35х12

1. Используя свойства сложения и умножения, найди значения выражений наиболее удобным способом:

52+54+56+58 25х49х4х5х20

15+180+290+20 56х29+71х56

4х7х3х8х2х5 48х31+15х16

Умножение числа на сумму.

1. Вычисли разными способами:

4х(7+3) 7х(6+4) 3х(10+5)

2х(7+2) 9х(4+1) 8х(3+7)

2х(10+5) 4х(5+3) 3х(20+4)

1. Вычисли наиболее удобным способом:

8х(7+3) 6х(5+3) 4х(10+8)

6х(10+4) 2х(10+5) 3х(10+7)

9х(2+1) 10х(3+7) 7х(6+4)

6х(4+6) 3х(20+5) 3х(10+4)

Умножение на 5.

37х5 146х5 46х5 77х5

113х5 152х5 37х5 86х5

34х5 174х5 56х5 71х5

142х5 144х5 92х5 36х5

Умножение на 15.

25х15 58х15 75х15 74х15

28х15 59х15 78х15 79х15

36х15 62х15 63х15 81х15

47х15 73х15 68х15 84х15

55х15 84х15 69х15 86х15

Умножение на 25.

15х25 22х25 33х25 38х25

17х25 23х25 34х25 45х25

18х25 26х25 36х25 47х25

19х25 27х25 28х25 54х25

Умножение на 11.

23х11 42х11 61х11 71х11

37х11 45х11 63х11 73х11

39х11 44х11 62х11 78х11

Умножение на 12.

27х12 37х12 45х12 51х12 75х12

28х12 39х12 46х12 63х12 78х12

31х12 41х12 48х12 64х12 85х12

33х12 43х12 49х12 73х12 87х12

Умножение на 9.

18х9 27х9 49х9 41х9 61х9

21х9 31х9 43х9 52х9 63х9

23х9 33х9 45х9 55х9 65х9

25х9 35х9 47х9 56х9 67х9

26х9 37х9 48х9 59х9 69х9

Умножение на 14 и 16.

66х14 45х14 77х14 83х14

64х14 46х14 78х14 84х14

35х14 37х14 68х14 87х14

38х14 47х14 65х14 91х14

36х14 48х14 87х14 94х14

23х16 31х16 44х16 52х16

25х16 33х16 45х16 53х16

21х16 32х16 46х16 54х16

22х16 34х16 47х16 55х16

27х16 37х16 48х16 56х16

28х16 38х16 49х16 58х16

Деление на 5, на 50

375:5 655:5 610:5

335:5 540:5 310:5

280:5 515:5 240:5

200:50 700:50 300:50

800:50 400:50 900:50

Деление на 25.

525:25 450:25

725:25 950:25

825:25 925:25

975:25 425:25

Приложение 3

Вопросы и задания. Умножение и деление.

1. Назови все числа от 600 до 800, которые делятся на 5; на 7.

2. Какое число надо разделить на 5, чтобы получить 125?

3. Какое число надо разделить на 11, чтобы получить 18?

4. Какое число надо разделить на 12, чтобы получить12?

5. Какое число надо разделить на 13, чтобы получить 13?

6. Какое число надо разделить на 14, чтобы получить 14?

7. Какое число надо разделить на 15, чтобы получить 15?

8. Какое число надо разделить на 11, чтобы получить 18?

9. Какое число надо увеличить в 15 раз, чтобы получить 750?

10. Какое число надо увеличить в 25 раз, чтобы получить 1000?

11. Какое число надо увеличить в 50 раз, чтобы получить 850?

12. Какое число надо увеличить в 5 раз, чтобы получить 950?

13. Какое число надо уменьшить в 8 раз, чтобы получить 680?

14. Какое число надо уменьшить в 4 раз, чтобы получить 140?

15. Какое число надо уменьшить в 9 раз, чтобы получить 81?

16. Какое число надо уменьшить в 15 раз, чтобы получить 342?

17. Я задумала число, увеличила его в 12 раз и получила 972. Какое число я задумала?

18. Я задумала число, увеличила его в 11раз и получила 972. Какое число я задумала?

19. Я задумала число, увеличила его в 25 раз и получила 525. Какое число я задумала?

20. Я задумала число, увеличила его в 15 раз и получила 570. Какое число я задумала?

21. Я задумала число, увеличила его в 9 раз и получила 495. Какое число я задумала?

22. Я задумала число, увеличила его в 25 раз и получила 425. Какое число я задумала?

23. Какое число больше в 5 раз числа 112?

24. Какое число в 25 раз больше 16?

25. Какое число в 15 раз больше 54?

26. Какое число в 11 раз больше 42?

27. Какое число в 12 раз больше 54?

28. Какое число в 9 раз больше 25?

29. Какое число в 5 раз больше 35?

30. Какое число в 5 раз больше 375?

31. Какое число в 50 раз больше 800?

32. Какое число в 25 раз меньше 650?

33. На сколько надо разделить 740, чтобы получить 5?

34. На сколько надо разделить 620, чтобы получить 124?

35. На сколько надо разделить 325, чтобы получить 25?

36. На сколько надо разделить 781, чтобы получить 11?

37. На сколько надо разделить 495, чтобы получить 9?

38. На сколько надо разделить 804, чтобы получить 12?

39. На сколько надо разделить 515, чтобы получить 5?

Вопросы и задания. Сложение и вычитание.

1. Как изменится разность, если к уменьшаемому прибавить, а из вычитаемого вычесть 99?

2. Как изменится разность, если к уменьшаемому прибавить, а из вычитаемого вычесть 168?

3. Как изменится разность, если от уменьшаемого отнять 227, а из вычитаемого118?

4. Как изменится разность, если от уменьшаемого отнять 378, а из вычитаемого 432?

5. Как изменится разность, если к уменьшаемому и вычитаемому прибавить по 156?

6. Как изменится разность, если к уменьшаемому прибавить 323, а к вычитаемому 174?

7. Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшить на 178, а вычитаемое увеличить на 281?

8. Как изменится сумма трёх слагаемых, если из одного вычесть 186, из второго 97, а к третьему прибавить 199?

9. Как изменится сумма трёх слагаемых, если одно увеличить на 175, другое на 256, а третье уменьшить на 323?

10. Как изменится сумма трёх слагаемых, если одно слагаемое увеличить на 323, а другое уменьшить на 323?

11. Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на 354, другое уменьшить на 137?

12. Как изменится сумма, если одно из слагаемых увеличить на 523, другое на 317?

13. Как изменится сумма, если одно слагаемое уменьшить на 238,а другое на 357?

14. Уменьшаемое 471, вычитаемое 175. Найди значение разности.

15. Найди вычитаемое, если уменьшаемое равно 631, а разность 536.

16. Что больше – 324 или 109 плюс 115? На сколько?

17. Что больше – 254 или 800 минус 746? На сколько?

18. Одно число 386, а другое на 257 меньше. Чему равна сумма этих чисел?

19. Одно число 456, а другое на 144 больше. Чему равна сумма этих чисел?

20. Разность двух чисел 286, уменьшаемое 764. Чему равно вычитаемое?

21. Чему равно уменьшаемое, если вычитаемое 458, разность 142?

22. На сколько единиц надо уменьшить 387, чтобы получить 256?

23. На сколько единиц надо уменьшить 487, чтобы получить 325?

24. Разность двух чисел 276, меньшее число 172. Найди большее число.

25. К какому числу надо прибавить 192, чтобы получилось 567?

26. На какое число надо увеличить 327, чтобы получить 602?

27. Сумма двух слагаемых 697, одно из них 307. Найди другое.

28. Сумма трёх слагаемых 902, сумма двух первых 563, найди третье слагаемое.

29. Если от задуманного числа отнять 293, то получится 435. Найди задуманное число.

30. От какого числа надо отнять 406, чтобы осталось 284?

31. Разность двух чисел 473, меньшее число 232. Найди большее число.

32. На сколько единиц надо уменьшить 574, чтобы получилось 321?

33. Разность двух чисел 278, большее число 700. Чему равно меньшее число.

34. Найди уменьшаемое, если вычитаемое 356,разность 257.

35. Назови самое большое двузначное число;

Назови самое большое трёхзначное число;

Назови самое меньшее двузначное число;

Назови самое меньшее трёхзначное число.

1. Одно число 375, а другое на 125 больше. Чему равна сумма этих чисел?

2. Одно число 119, а другое на 185 больше. Чему равна сумма этих чисел?

3. Одно число 472, а другое на 282 меньше. Чему равна сумма этих чисел?

4. Одно число 610, а другое на 205 меньше. Чему равна сумма этих чисел?

5. Что больше – 391 или 700 минус 409?

6. Что больше – 756 или 960 минус 104?

7. Что больше – 578 или 198 плюс 420?

8. Что больше – 385 или 196 плюс 189?

9. Что надо сделать с числом 183, чтобы получить 274?

10. Какое число надо прибавить к 225, чтобы получить 705?

11. Какое число надо прибавить к 289, чтобы получить 483?

12. Какое число надо вычесть из 207, чтобы получить 189?

13. Какое число надо вычесть из 267, чтобы получить 117?

14. Какое число надо увеличить на 278, чтобы получить 805?

15. Какое число надо увеличить на 193, чтобы получить 700?

16. Какое число надо уменьшить на 329, чтобы получить 671?

17. Какое число надо уменьшить на 328, чтобы получить 700?

18. Как надо изменить число 747, чтобы получить 117?

19. Как надо изменить число 327, чтобы получить 967?

20. Одно слагаемое 286, другое слагаемое 214. Найди сумму.

Приложение 4

Тема: “Умножение многозначного числа на однозначное”.

Диагностическая работа № 1.

1. Найди значение выражений.

179 * 4

143 * 6

181 * 3

286 * 4

195 * 5

2*. Сравни выражения

119 х 7 . . . 120 х 7

455 х 6 . . . 455 х 6

302 х 8 . . . 320 х 2

3*. Реши удобным способом

25 х 4 х 179

4 х 75 х 125

34 х 50 х 4

Диагностическая работа № 2.

1. Найди значение выражений.

167 * 4

295 * 6

649 * 9

152 * 5

197 * 8

2*. Сравни выражения

3071 + 5 х 3071 . . . 7 х 3072

7 х 2675 . . . 3 х 2674 + 2674 х 2

6324 х 9 – 6324 . . . 8 х 6324 – 6323 х 8

3*. Реши удобным способом

200 х 36 х 5

17 х 4 х 25

55 х 2 х 70

Приложение 5

Тема: “Сложение и вычитание многозначных чисел”.

Диагностическая работа № 1.

1. Найди значение выражений.

1999 + 3248 8142 – 4240

4665 + 335 482 - 198

5185 + 191 12030 – 3140

2*. Реши удобным способом.

126 + (192 – 106)

397 + (364 – 197)

463 – (198 + 263)

356 + (197 – 106)

Диагностическая работа № 2.

1. Найди значение выражений.

4999 + 2845 7242 – 3340

7665 + 445 571 – 299

3185 + 207 10270 – 4380

2*. Реши удобным способом.

257 + (458 – 318)

628 + (456 – 318)

475 – (275 + 29)

212 – (162 + 59)

Приложение 6

Тема « Сложение и вычитание многозначных чисел»

Рисунок 1. Сравнительный анализ правильности вычислений первого задания

Тема «Сложение и вычитание многозначных чисел»

Рисунок 2. Сравнительный анализ выполнения задания № 2.

Тема «Умножение многозначного числа на однозначное»

Рисунок 1: Сравнительный анализ выполнения 1-го задания.

Рисунок 2: Сравнительный анализ количества учащихся, выполнявших задания 2 и 3

Рисунок 1. Сравнительный анализ использования письменных и устных приёмов по теме: «Сложение и вычитание многозначных чисел»

Рисунок 2 . Сравнительный анализ использования письменных и устных приёмов по теме Умножение многозначного числа на однозначное»

41