Золотое сечение - Божественная мера красоты, Числа Фибоначчи

Золотое сечение - Божественная мера красоты, Числа Фибоначчи

Урок новых знаний

Дата: 30.11.16

Класс: 11

Цели:

Образовательные: организация исследовательской работы учащихся с различными источниками информации, развитие умений анализировать и передавать информацию, присваивать ее, увязывая новое (на стадии осмысления) с уже имеющимися знаниями, представлениями; интерпретировать, применять информацию на стадии рефлексии.

Воспитательные: развитие коммуникативных способностей (умение вести диалог, дискутировать на уроке, работать в группах); усвоение этических норм межличностного общения; воспитание ответственного отношения к общему делу;

Развивающие: формирование навыков самостоятельной учебно-исследовательской деятельности; формирование умений работать с дополнительными источниками, в том числе интернет-источниками; развитие коммуникативных навыков личности; формирование этических и эстетических представлений учащихся; информационно-коммуникационное развитие старшеклассников.

Задачи урока:

– познакомить учащихся с последовательностью чисел Фибоначчи и её математическими свойствами;

– формировать навыки самостоятельной работы с большим объемом информации;

– формировать умение видеть проблему и находить пути ее решения; применять базовые знания для решения конкретных задач

– превратить работу над исследованием свойств последовательности Фибоначчи в увлекательный процесс поиска математических закономерностей в мире, который нас окружает;

– способствовать выработке нового научного мировоззрения, основанного на принципах гармонии “золотого сечения”, открыть новые грани человеческой культуры, связанные с “золотым сечением” и числами Фибоначчи;

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют, приобретут, закрепят ученики в ходе урока:

– приобретут знания о последовательности чисел Фибоначчи и её математических свойствах;

– приобретут знания в области теории Золотого Сечения и его приложений в различных сферах современной науки и искусства;

– актуализируют знания в области информационно-коммуникационных технологий, интернет-технологий, программирования;

Необходимое оборудование и материалы: мультимедиа проектор, раздаточные материалы.

Ход урока:

Учитель математики: цель нашего урока – развить ваш познавательный интерес, расширить кругозор, сделать так, чтобы эти новые знания стали также существенными элементами вашего математического и общего образования.

Учитель биологии: Давайте выясним, что общего между древнеегипетскими пирамидами, картиной Леонардо да Винчи "Мона Лиза", подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и пальцами человека?

Учитель математики: ответ на этот вопрос сокрыт в удивительных числах, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным по именем Фибоначчи (род. ок. 1170 - умер после 1228), итальянский математик. Путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями арабской математики; способствовал передаче их на Запад.

Учитель математики: после его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел.

Итак, числа, образующие последовательность:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то пpевосходящая, то не достигающая его. (Прим. иррациональное число, т.е. число, десятичное представление которого бесконечно и не периодично)

Учитель биологии: более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция.

Учитель математики: в алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)

Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618  

Учитель биологии: итак, тело человека и золотое сечение. 

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции. 

Самая главная книга всех современных архитекторов справочник Э.Нойферта "Строительное проектирование" содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию. 

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы:

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека: Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618. 

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

* расстояние от кончиков пальцев до запястья до локтя равно 1:1.618;

* расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618; 
* расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618; 
* расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618; 
* расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618; 
* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618; 
  * расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618: 

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально. 

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:

* Высота лица / ширина лица;

* Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа;

* Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ;

* Ширина рта / ширина носа;

* Ширина носа / расстояние между ноздрями;

* Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Рука человека.

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

* Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца);

* Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения;

* У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи:

Золотая пропорция в строении легких человека.

Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение. 

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

* Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Учитель математики: Строение золотого ортогонального четырехугольника и спирали.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. 

В геометрии прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168 : 1.

Золотой прямоугольник также обладает многими удивительными свойствами. Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток).

Полюс спирали лежит на пересечении диагоналей начального прямоугольника и первого отрезаемого вертикального. Причем, диагонали всех последующих уменьшающихся золотых прямоугольников лежат на этих диагоналях. Разумеется, есть и золотой треугольник.

Английский дизайнер и эстетик Уильям Чарлтон констатировал, что люди считают спиралевидные формы приятными на вид и используют их вот уже тысячелетия, объяснив это так:

"Нам приятен вид спирали, потому что визуально мы с легкостью можем рассматривать ее."

Учитель биологии: В природе. 

* Лежащее в основе строения спирали правило золотого сечения встречается в природе очень часто в бесподобных по красоте творениях. Самые наглядные примеры - спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и т.д.;

* Ботаники установили, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника или шишек сосны со всей очевидность проявляется ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляется закон золотого сечения;

Всевышний Господь каждому Своему творению установил особую меру и придал соразмерность, что подтверждается на примерах, встречающихся в природе. Можно привести великое множество примеров, когда процесс роста живых организмов происходит в строгом соответствии с формой логарифмической спирали. 

Все пружинки в спирали имеют одинаковую форму. Математики установили, что даже при увеличении размеров пружинок форма спирали остается неизменной. В математике нет более иной формы, которая обладала бы такими же уникальными свойствами как спираль.  

Строение морских раковин.

Ученые, изучавшие внутреннее и внешнее строение раковин мягкотелых моллюсков, обитающих на дне морей, констатировали: 

"Внутренняя поверхность раковин безупречно гладкая, а внешняя вся покрыта шероховатостями, неровностями. Моллюск был в раковине и для этого внутренняя поверхность раковины должна была быть безупречно гладкой. Внешние углы-изгибы раковины увеличивают ее крепость, твердость и таким образом повышают ее прочность. Совершенство и поразительная разумность строения ракушки (улитки) восхищает. Спиральная идея раковин является совершенной геометрической формой и удивительна по своей отточенной красоте." 

У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме логарифмической спирали. Однако нет сомнения, что эти неразумные существа не имеют представления не только о логарифмической спирали, но не обладают даже простейшими математическими знаниями, чтобы самим создать себе спиралевидную раковину..

Но тогда как же эти неразумные существа смогли определить и избрать для себя идеальную форму роста и существования в виде спиральной раковины? Могли ли эти живые существа, которых ученых мир называет примитивными формами жизни, рассчитать, что идеальной для их существования будет логарифмическая форму ракушки?

Конечно же нет, потому что такой замысел невозможно осуществить без наличия разума и знаний. Но таковым разумом не обладают ни примитивные моллюски, ни бессознательная природа, которую, правда, некоторые ученые называют создательницей жизни на земле(?!)

Пытаться объяснить происхождение подобной даже самой примитивной формы жизни случайным стечением неких природных обстоятельств по меньшей мере абсурдно. Совершенно ясно, что этот проект является осознанным творением. 

Биолог Сэр Д`арки Томпсон этот вид роста морских раковин называет "форма роста гномов".

Сэр Томпсон делает такой комментарий: 

"Нет более простой системы, чем рост морских ракушек, которые растут и расширяются соразмерно, сохраняя ту же форму. Раковина, что самое удивительное, растет, но никогда не меняет формы."

Наутилус, размером в несколько сантиметров в диаметре, представляет собой самый выразительный пример гномового вида роста. С.Моррисон так описывает этот процесс роста наутилуса, спланировать который даже человеческим разумом представляется довольно сложным:

"Внутри раковины наутилуса есть множество отделов-комнат с перегородками из перламутра, причем сама раковина внутри представляет собой спираль, расширяющуюся от центра. По мере роста наутилуса в передней части ракушки нарастает еще одна комнатка, но уже больших размеров, чем предыдущая, а перегородки оставшейся позади комнатки покрываются слоем перламутра. Таким образом, спираль все время пропорционально расширяется." 

Приведем лишь некоторые типы спиралевидных раковин имеющих логарифмическую форму роста в соответствии с их научными названиями: 
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Все обнаруженные ископаемые останки раковин также имели развитую спиральную форму.

Однако логарифмическая форма роста встречается в животном мире не только у моллюсков. Рога антилоп, диких козлов, баранов и прочих подобных животных также развиваются в виде спирали по законам золотой пропорции.

Учитель математики: вычислим несколько первых членов такой последовательности: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377 и т.д., которые уже встречались нам в задаче о кроликах. В честь автора этой задачи вся последовательность (1) при U₁=U₂=1 называется рядом Фибоначчи, а члены ее – числами Фибоначчи. Числа Фибоначчи обладают целым рядом интересных и важных свойств. Рассмотрим некоторые из них.

1. Сумма первых n чисел Фибоначчи можно вычислить по формуле:

U₁+U₂+…+U_n=U_n+2-1 (3)

Докажем это:

U₁= U₃– U₂
U₂= U₄– U₃
U₃= U₅– U₄
……………
U_n-1= U_n+1– U_n
U_n= U_n-2– U_n+1

Сложив все эти равенства почленно, получим: U₁+U₂+ U₃₊…+U_n=U_n+2 – U₂, вспомним, что U₂=1, значит U₁+U₂+ U₃₊…+U_n= U_n+2 – 1

1. Сумму чисел Фибоначчи с нечетными номерами можно вычислить по формуле:

U₁+U₃+ U₅+…+U_2n-1=U_2n (4)

Докажем это:

U₁= U₂
U₃= U₄– U₂
U₅= U₆– U₄
…………..
U_2n-1=U_2n– U_2n-2

Сложив эти равенства почленно, получим:

U₁+U₃+ U₅+…+U_2n-1=U_2n

1. Сумму чисел Фибоначчи с четными номерами можно вычислить по формуле:

U₂+U₄+ U₆+…+U_2n=U_2n+1-1 (5)

Докажем это:

На основании 1-го свойства мы имеем:

U₁+U₂+ U₃+…+ U_2n=U_2n+2-1

На основании 2-го свойства мы имеем:

U₁+U₃+ …+U_2n-1=U_2n

Вычитая почленно из равенства (3) равенство (4) мы получим:

U₂+U₄+ U₆+…+U_2n=U_2n+2-1– U_2n= U_2n+1-1

1. Формулы (3) и (4) были выведены при помощи почленного сложения целой серии очевидных равенств. Еще одним примером применения этого приема может служить вывод формулы для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи.

Сумма квадратов первых n чисел Фибоначчи:

U₁²+U₂²+…+U_n²=U_n?U_n+1 (6)

Заметим для этого, что

U_k+U_k+1– U_k-1 ·U_k = U_k(U_k+1– U_k-1)= U_k·U_k= U_k²

U₁² =U₁·U₂
U₂²= U₂·U₃– U₁· U₂
U₃²= U₃ U₄– U₂ U₃
………………….
U_n²=U_n·U_n+1– U_n-1·U_n

Сложив эти равенства почленно, мы получим

U₁²+U₂²+…+U_n²=U_n·U_n+1

Учитель биологии: бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль. Пауки всегда плетут свои паутины в виде логарифмической спирали. Строение таких микроорганизмов, как планктоны ( виды globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae и trochida) также имеют форму спирали. 

Золотое сечение в строении микромиров.

Учитель математики: Геометрические фигуры не ограничиваются только лишь треугольником, квадратом, пяти- или шестиугольником. Если соединить эти фигуры различным образом между собой, то мы получим новые трехмерные геометрические фигуры. Примерами этому служат такие фигуры как куб или пирамида. Однако кроме них существуют также другие трехмерные фигуры, с которыми нам не приходилось встречаться в повседневной жизни, и названия которых мы слышим, возможно, впервые. Среди таких трехмерных фигур можно назвать тетраэдр (правильная четырехсторонняя фигура), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и т.п. Додекаэдр состоит из 13-ти пятиугольников, икосаэдр из 20-и треугольников. Математики отмечают, что эти фигуры математически очень легко трансформируются, и трансформация их происходит в соответствии с формулой логарифмической спирали золотого сечения. 

Учитель биологии: В микромире трехмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно. К примеру, многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов - вирус Adeno. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы и из этих углов простираются шипообразные структуры. 

Впервые золотое сечение в строении вирусов обнаружили в 1950-хх гг. ученые из Лондонского Биркбекского Колледжа А.Клуг и Д.Каспар. 13 Первым логарифмическую форму явил в себе вирус Polyo. Форма этого вируса оказалась аналогичной с формой вируса Rhino 14.

Возникает вопрос, каким образом вирусы образуют столь сложные трехмерные формы, устройство которых содержит в себе золотое сечение, которые даже нашим человеческим умом сконструировать довольно сложно? Первооткрыватель этих форм вирусов, вирусолог А.Клуг дает такой комментарий:

"Доктор Каспар и я показали, что для сферической оболочки вируса самой оптимальной формой является симметрия типа формы икосаэдра. Такой порядок сводит к минимуму число связующих элементов… Большая часть геодезических полусферических кубов Букминстера Фуллера построены по аналогичному геометрическому принципу. 14 Монтаж таких кубов требует чрезвычайно точной и подробной схемы-разъяснения. Тогда как бессознательные вирусы сами сооружают себе столь сложную оболочку из эластичных, гибких белковых клеточных единиц."

Трехмерные модели додекаэдра и икосаэдра присутствуют также и в строении скелетов одноклеточных морских микроорганизмов радиолярий (лучевиков), скелет которых создан из кремнезёма. 

Радиолярии формируют свое тело весьма изысканной, необычной красоты. Форма их составляет правильный додекаэдр. Причем из каждого его угла прорастает псевдоудлиннение-конечность и иные необычные формы-наросты. 

В качестве примеров микроорганизмов, воплощающих в своем строении эти трехмерные геометрические фигуры, приведем Circigonia Icosahedra с икасаэдральным строением скелета и Circorhegma Dodecahedra с додекаэдральным строением скелета, причем размеры этих микроорганизмов не достигают и одного миллиметра. 

Золотые пропорции в строении молекулы ДНК.

Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).  21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618

Золотое сечение в строении снежинок. 

Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору.

Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения. 

Золотые пропорции в космическом пространстве. 

Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения. 

Закрепление:

Учащиеся разбиваются на 5 групп, каждая из которых получает следующие задания:

1. в составленную программу вычисления n-го числа Фибоначчи внести изменения и проверить первое доказанное нами свойство: F1 + F2 + F3 +…+ Fn = Fn+2 +1; (Приложение 1, слайд 5)

2. в составленную программу вычисления n-го числа Фибоначчи внести изменения и проверить второе и третье доказанные нами свойства: F1 + F3 + F5 +…+ F2n-1 = F2n, F2 + F4 +F6 + F2n = F2n+1 – 1; (Приложение 1, слайд 6)

3. в составленную программу вычисления n-го числа Фибоначчи внести изменения и проверить четвертое доказанное нами свойство: F1² + F2² + F3² +…+ Fn² = Fn· Fn+₁; (Приложение 1, слайд 6)

4. в составленную программу вычисления n-го числа Фибоначчи внести изменения и вычислить отношение всех Fi к Fi-1 для i=2,3, … n;

Рефлексия деятельности на уроке.

Листки самоконтроля и проведенное после уроков анкетирование показало: большинство учащихся находят полезным и интересным проведение интегрированных уроков, приобретают практический опыт работы с интернет-источниками, чувствуют себя интеллектуально и духовно обогащенными; старшеклассниками приветствуется предоставляемая им свобода творчества, реализуемая в том числе в сфере информационно-коммуникационных технологий.

Домашнее задание: Найти в сети интернет информацию о последовательности Фибоначчи и Золотом сечении.