Ықтималдықтың негізгі теоремалары.

Ықтималдықтың негізгі теоремалары.

20. Үйлесімді және үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдықтарын қосу теоремалары

Оқиғалардың ықтималдығын табуға арналған есептерді шыға-руда берілген оқиғаны бірнеше қарапайым оқиғалардың комби-нациясынан тұратын оқиға ретінде қарастыруға тура келеді.

Бұл жағдайда осындай есептерді шешу үшін қосу және көбейту теоремалары арқылы өрнектелетін формулалар қолданылады.

Анықтама. А және В үйлесімсіз оқиғалардың қосындысы деп А немесе В оқиғалардың біреуінің пайда болуынан тұратын А+В оқиғаны айтады.

Теорема - 1. (үйлесімсіз оқиғалардың қосындысы). Үйлесімсіз екі оқиғаның ықтималдығының қосындысы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындыларына тең.

P(A+B)=P(A)+P(B) (11)

1-салдар. Бұл ереже кез-келген қос-қостан үйлесімсіз саны ақырлы

A₁, A₂,…, A_n, оқиғалары үшін де орындалады.

P(A₁+A₂+…+A_n) = P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n) (12)

2-салдар. Егер А₁, А₂, …, А_n оқиғалары толық топты құрастырса, онда

Р (А₁)+ Р (А₂)+…+ Р (А_n)=1 (13)

3-салдар. Екі қарама-қарсы оқиғаның ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең.

Р(А)+Р( )=1 (14)

Ескерту. Қандай да бір тәжірибені бір рет жүргізгенде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы р арқылы белгіленеді, яғни Р (А)=р, ал А оқиғасына қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы q деп белгіленеді, яғни

Р ( )=q.

1-мысал. 50 бұйымның ішінде 5 іске жарамсыз бұйым бар, Есептің шарты бойынша 25 бұйымның кемінде біреуі іске жарамсыз болады деп тәжірибе жүргізгендегі ықтималдықты анықта.

Шешуі. 25 алынған бұйымның барлығы іске жарамды болсын, оны А оқиғасы деп белгілейік. В арқылы 25 бұйымның ішінде беруі жарамсыз болғанын белгілейік. Әрине, бұлар үйлесімсіз оқиғалар. Онда А+B – партияда бірден артық жарамсыз бұйым жоқ деген оқиғаны анықтайды. Демек, (11) формула бойынша

Анықтама. А және В үйлесімді оқиғалардың А+В қосындысы деп А не В, немесе А және В оқиғаларының пайда болуынан тұратын оқиғаны атайды.

Теорема - 2. (үйлесімді оқиғалар қосындысы). Үйлесімді екі оқиғаның қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтимал-дықтарының қосындысынан олардың көбейтіндісінің ықтимал-дығын шегергенге тең

(15)

21. Тәуелсіз оқиғалар үшін көбейту теоремасы

Анықтама. Егер А және В оқиғаларының біреуінің пайда болуы екінші оқиғаның пайда болу, болмауынан тәуелсіз болса, онда А және В оқиғалары тәуелсіз оқиғалар деп аталады.

Анықтама. А және В оқиғаларының көбейтіндісі деп А және В оқиғалары қатар пайда болғандағы АВ оқиғасын айтады.

Теорема - 1. (тәуелсіз оқиғалардың көбейтіндісі). Екі тәуелсіз оқиғаның көбейтіндісінің ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең.

(16)

Салдар. Бұл ереже кез келген ақырлы санды тәуелсіз оқиғалар үшін де орындалады.

(17)

1-мысал. Бірінші атқыштың нысанаға тигізу ықтималдығы - 0,8, ал екіншісінің - 0,9 тең. Екі атқыш бір мезгілде нысанаға оқ атқанда а) екі оқтың да дәл тию; б) екі оқтың да тимеу ықтималдығын тап.

Шешуі. а) А және В арқылы бірінші және екніші атқыштың нысанаға тигізу оқиғаларын белгілейік, онда оларға қарама-қарсы оқиғалар - бірінші атқыштың оғының тимеуі, ал - екінші атқыштың оғының тимеуі болады. Ал, АВ оқиғасы екі атқыштың да оқтарының нысанаға тигенін білдіреді, сонда .

А және В оқиғалары тәуелсіз. Сондықтан, (16) формула бойынша екі атқыштың да оғының нысанаға тию ықтималдығы

б) оқиғасы – екі оқтың да нысанаға тимеуі. Онда, және оқиғалары тәуелсіз. Сондықтан екі атқыштың оқтарының тимеуі (16) формула бойынша есептеледі.

2-мысал. Бірінші жәшікте 20 деталь бар, олардың 15-і стандартты, екінші жәшікте 15 деталь бар, олардың ішінде 10-ы стандартты. Әрбір жәшіктен бір детальдан алынды. Олардың кем дегенде біреуі стандартты болу ықтималдығын тап.

Шешуі. Бірінші жәшіктен алынған детальдың стандартты болуы - А оқиғасы, ал екінші жәшіктен алынған детальдың стандартты болуы В оқиғасы болсын. Сонда С =А+В оқиғасы алынған детальдардың кем дегенде біреуі стандартты, А және В оқиғалары үйлесімді оқиғалар болғандықтан, (15) формула бойынша:

22. Тәуелді оқиғалар үшін көбейту теоремасы.

Анықтама. В оқиғасы орындалғандағы А оқиғасының орындалу ықтималдығын В оқиғасына қатысты А оқиғасының ықтималдығы немесе шартты ықтималдық деп атайды. Шартты ықтималдық арқылы белгіленеді. Мұндай жағдайда А мен В оқиғалары тәуелді болады.

1-мысал. Жәшікте 20 жарамды және 10 жарамсыз деталь бар, бақылаушы бір-бірден екі деталь алады.

Мынадай оқиғаларды қарастырайық. А оқиғасы – бірінші деталь жарамды, В оқиғасы - екінші деталь жарамды. В оқиғасының ықтималдығы қандай?

Шешуі. Бұл жерде екі мүмкін болатын жағдайды қарастырайық:

1) Егер А оқиғасы орындалса, онда жәшікте 29 деталь қалады, олардың 19-ы жарамды. Екінші деталдың жарамды болу ықтималдығы .

2) Егер А оқиғасы орындалмаса, онда қалған 29 детальдің 20-ы жарамды болады. В оқиғасының ықтималдығы . Көріп тұрғанымыздай, В оқиғасының пайда болу ықтималдығы А оқиғасының орындалу, оындалмауына байланысты. Бұл жағдайда да А және В оқиғалары тәуелді және В оқиғасының ықтималдығы шартты ықтималдық болады. Бірінші жағдайда, , ал екінші жағдайда .

Теорема (тәуелді оқиғалардың көбейтіндісі). Екі тәуелді оқиғаның көбейтіндісінің ықтималдығы біреуінің ықтималдығы мен біріншісі пайда болғандағы екіншісінің шартты ықтималдығының көбейтіндісіне тең.

(18)

2-мысал. Алдыңғы 1-мысалдың шарты бойынша, бақылаушының алған екі деталі де жарамды болу ықтималдығын тап.

Шешуі. А оқиғасы- бірінші деталь жарамды, В оқиғасы- екінші деталь жарамды, АВ оқиғасы – екі деталь да жарамды. Мұнда А және В тәуелді оқиғалар. Сонымен, АВ оқиғасының ықтималдығы (18) формула бойынша есептеледі:

.

23. Қосу және көбейту теоремаларын қолдануға арналған аралас есептер

1-мысал. Бірінші жәшікте 5 ақ және 3 қара шар бар. Екінші жәшікте 4 ақ және 2 қара шар бар. Әр жәшіктен бір-бір шардан алынады. Алынған шарлардың ішінде а) тек бір ақ шар; б) ең болмағанда бір ақ шар болу ықтималдығын тап.

Шешуі: а) Оқиғаларды төмендегідей белгілейік.

А- бірінші жәшіктен алынған шар ақ;

В- екінші жәшіктен алынған шар ақ;

- бірінші жәшіктен алынған шар қара;

- екінші жәшіктен алынған шар қара.

Осы оқиғалардың орындалу ықтималдығы мынаған тең:

,

алынған шарлардың ішінде тек бір шар ақ болу оқиғасы. Осы оқиғаның ықтималдығы (11) мен (16) формулалар арқылы табылады.

б) - алынған шарлардың ішінде ең болмағанда бір шар ақ болу оқиғасын білдіреді. Бұл оқиғаның ықтималдығын табу үшін (11) мен (16) формулалар қолданылады.

2-мысал. Бірінші атқыштың нысанаға тигізу ықтималдығы 0,8, ал екіншісінің нысанаға тигізу ықтималдығы 0,9. Бір мезгілде атылған екі оқтың а) тек біреуінің тию, б) кем дегенде біреуінің тию ықтималдығын тап.

Шешуі: а) А – бірінші атқыштың нысанаға тигізуі;

В- екінші атқыштың нысанаға тигізуі;

- бірінші атқыштың нысанаға тигізбеуі,

- екінші атқыштың нысанаға тигізбеуі,

Сонда нысанаға бір оқ тию ықтималдығы мынаған тең болады.

p₁q₂+p₂q₁=0,8×0,1+0,9×0,2=0,26

б) Кем дегенде бір оқтың тию ықтималдығы.

p₁p₂+p₁q₂+p₂q₁=0,8×0,9+0,8×0,1+0,9×0,2=0,98

24. Ең болмағанда бір оқиғаның пайда болу ықтималдығы .

Теорема. А₁А_2......А_п тәуелсіз оқиғалардың ең болмағанда біреуінің орындалуы болатын А оқиғасының ықтималдығы 1-ден осы оқиғаларға қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісін шегергенге тең.

(19)

1-мысал. 20 детальдан тұратын партияда 5-і жарамсыз. Кез келген үш деталь алынады. Осы алынған детальдардың кем дегенде біреуі жарамсыз деталь болу ықтималдығын тап.

Шешуі. D оқиғасы- алынған үш детальдың ең болмағанда біреуі жарамсыз болсын, ал - алынған 3 детальдың ішінде жарамсыз деталь жоқ. Онда Р(D)+Р( )=1 болады. Бұдан . оқиғаның ықтималдығы (10) формула арқылы есептеледі.

Сонда D оқиғаның ықтималдығы мынаған тең:

2-мысал. Электр тізбегіне екі сақтандырғыш тізбектеліп орнатылған. Бірінші сақтандырғыштың істен шығу ықтималдығы 0,6-ға, ал екіншісінің – 0,2-ге тең. Кем дегенде бір сақтандырғыштың істен шығу нәтижесінде электр қуатының болмау ықтималдығын тап.

Шешуі. Есептің шарты бойынша p₁=0,6, p₂=0,2, онда q₁=0,4, q₂ =0,8 болады. (19) формула бойынша кем дегенде бір сақтандырғыштың істен шығу ықтималдығын табуға болады.

3-мысал. 23-бөлімдегі 1-мысалдың шарты бойынша алынған шарлардың кем дегенде біреуі ақ болу ықтималдығын табайық.

Шешуі. Кем дегенде бір шардың ақ болу ықтималдығын (19) формула бойынша табамыз