Введение полярных и аффинных координат

Целевая и содержательная модели урока по теме «Введение полярных и аффинных координат. Изучение преобразования координат.»

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Цели:

Обучающие: ознакомить учащихся с понятием полярной и аффинной системами координат, показать связь полярной системы координат с декартовой, продемонстрировать способы построения графиков и практическую значимость указанных систем;

Развивающие: продолжить формирование и совершенствование графических навыков, навыков самоконтроля;

Воспитательные – расширение кругозора и развитие интереса к предмету посредством вовлечения исторического материала.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, групповая

Ход урока

1. Организационный момент (1 мин)

2. Мотивация учебной деятельности учащихся. (4 минуты)

Мысль о возможности систематического применения метода координат в научных исследованиях зародилась несколько тысяч лет тому назад. Известно, например, что астрономы древнего мира, используя специальные системы координат на воображаемой небесной сфере, определяли положение наиболее ярких звёзд, составляли карты звёздного неба, вели отличавшиеся большой точностью наблюдения за перемещением Солнца, Луны и планет относительно неподвижных звёзд.

Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой–либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Наглядность представления окончательного ответа иногда тоже сильно зависит от выбора системы координат.

3) Первичное усвоение новых знаний (20 мин) Работа в группах, работа с учебным текстом

Учащимся предлагается заняться исследовательской деятельностью и познакомиться с полярной и аффинной системой координат.

Одна группа учащихся занимается исследует полярную систему координат. Вторая группа учащихся исследует аффинную систему координат.

Каждый из учеников, занимавшийся изучением темой в рамках проектно-исследовательской работы, был на определённых этапах этого урока помощником своим одноклассникам.

Определение полярных координат. Под системой координат на плоскости понимается способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является полярная система координат.

Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом ОР, называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч ОР.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) 

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком [0;2π), а полярный радиус r - [0;∞). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ.

Переход от полярной системы координат к декартовой

Если полюс полярной системы координат совместить с началом прямоугольной системы координат, а полярную ось с положительной полуосью Ох, то по известным полярным координатам точки А (p; ϕ) её прямоугольные координаты вычисляются по формулам

x₁ = ρ cosφ,

y₁ = ρ sinφ

Учащимися 1 группы рассмотрены применения полярной системы координат в фотографии, в военном деле, в медицине, в системах идентификации, в компьютерных играх.

Полярная система координат в фотографии

Вертикальные линии после того, как к ним применен фильтр (переводящий координаты точек из прямоугольной системы в полярную), стали расходиться из центральной точки. На правой части картинки горизонтальные линии превратились в концентрически расходящиеся из центра круги.

Полярные координаты в военном деле

Координаты цели могут выдаваться в полярной системе координат (азимут, дальность), прямоугольной (X, Y), геодезической (широта, долгота).

Полярные координаты в медицине

Компьютерная томография сердца в системе полярных координат.

В системах идентификации (подтверждение личности человека)

Идентификация по радужной оболочке глаза

Полярные системы координат в компьютерных играх

Определение аффинных координат

Аффинная система координат (или аффинным репером) на плоскости называется упорядоченная тройка точек этой плоскости не лежащих на одной прямой: R={О, Е₁, Е₂}.

Частным случаем аффинных преобразований являются преобразование подобия, гомотетия и движения.

Движения — это параллельные переносы, повороты, различные симметрии и их комбинации.

Другой важный случай аффинных преобразований — это растяжения и сжатия относительно прямой. На рисунке показаны различные движения плоскости с нарисованным на ней домиком.

А на данных рисунках показаны различные аффинные преобразования этой плоскости (параллельное проектирование).

Обычно, задачу можно решить методом аффинных преобразований, если нужно найти отношение длин, отношение площадей, доказать параллельность или принадлежность точек одной прямой. Причем в условии задачи не должны содержаться данные, не сохраняющиеся при аффинных преобразованиях.

• Метод позволяет перейти от более сложного к более простому для осуществления процесса решения.

• Носит обобщающий характер.

• Имеет широкую область применения, в том числе в смежных областях.

• Позволяет интегрировать разные разделы математики.

Задача 1. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение

Пусть дан треугольник ABC. 1) Проверим аффинные свойства фигуры. Треугольник является аффинной фигурой, быть медианой - это тоже аффинное свойство и отношения длин отрезков также сохраняется при аффинном отображении.

2) Значит, можно перейти к более удобной фигуре - равностороннему треугольнику.

3) Возьмем равносторонний треугольник  . У этого треугольника медианы  , пересекаются в одной точке (как высоты или биссектрисы равностороннего треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Действительно,  и  . А отношение  из прямоугольного треугольника  . Значит,  .

4) Зададим аффинное отображение, переводящее треугольник   в треугольник АВС. При этом отображении медианы треугольника   переходят в медианы треугольника АВС и их точка пересечения переходит в точку пересечения их образов и она делит медианы произвольного треугольника ABC в отношении 2:1, считая от вершины.

5) Утверждение для произвольного треугольника доказано.

А ( 7; 60^о)

Задание 1

K ( 8; 100^о)

E ( 5; 285^о)

D ( 4; 240^о)

С ( 10; 150^о)

В ( 6; 120^о)

Тренировочный интерактив позволяет научить строить полярную систему координат, определять координаты заданных точек и, обратно, по заданным координатам находить точки. Определение координат точек А и В комментируется учителем. Координаты точек С, Д и Е учащиеся определяют самостоятельно. Определение положения точки К с заданными координатами – пример обратной задачи.

Задание 2. Доказать, что в любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

// Решение.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой M и N – середины оснований, Q – точка пересечения диагоналей, О – точка пересечения продолжений боковых сторон

1) Проверим аффинные свойства фигуры. Трапеция - аффинная фигура (так как трапеция переходит в трапецию), принадлежность точек одной прямой является аффинным свойством. Таким образом, и условие, и вопрос задачи относятся к аффинному классу задач. Значит, можно применить метод аффинных преобразований.

2) Возьмем произвольный равнобедренный треугольник  . Существует аффинное отображение, переводящее точки А в  , В в  , О в  . При этом аффинном отображении на отрезке  существует точка  - образ точки D, а на отрезке  - точка   (образ точки С). Трапеция   равнобокая.

3) Доказать сформулированную задачу для равнобокой трапеции труда не составит (при чем не одним способом).

4) Таким образом, доказав, что точки  ,  ,  ,   лежат на одной прямой, применим свойство аффинных отображений (отображение, обратное к аффинному, есть снова аффинное отображение) и поэтому точки O, M, Q, N также лежат на одной прямой трапеции ABCD.

5) Доказанный факт справедлив и для произвольной трапеции.

6) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению (3 мин)

В конце урока предлагаются возможные темы для дальнейшего исследования. Примеры тем:

1. Многообразие систем координат на плоскости и в пространстве.

2. Построение графиков в полярных координатах на бумаге и с помощью компьютерных программ.

3. Полярная роза

4. Спираль Архимеда

5. Лемниската Бернулли

7) Рефлексия (подведение итогов занятия) (2 мин)

Пополнится ли ваш багаж новыми знаниями и умениями?

Получили ли вы удовольствие, в ходе исследования?

Учащиеся высказывают свое мнение об уроке.

Проговаривают, что они сегодня делали, что нового узнали.