Урок-исследование "Вычисление объемов" по геометрии 11 класс

«Утверждаю»

Директор МОУ
«Лицей г.Козьмодемьянска»:

______________/Толстов В.В./

Вычисление объемов

(Урок - исследование по геометрии в 11 классе)

Выполнила: Нюхнина Р.Л.,

учитель математики

высшей квалификационной категории

Козьмодемьянск

Урок исследование по геометрии в классе

по теме «Вычисление объемов»

Эпиграф:

Цели и задачи:

1. Продолжить развитие таких качеств творческой личности, как познавательная активность, упорство в достижении поставленной цели.

2. Формирование и развитие таких мыслительных операций: как анализ, сравнение, обобщение, исследование.

3. Применение методов исследования при решении геометрических задач.

Оборудование к уроку:

1. Ноутбук, проектор, экран, Интернет-ресурсы

2. Презентация «Ученые древности»

3. Различные виды треугольников, вырезанные из бумаги

4. Развертка куба

Ход урока

На доске написаны формулы

V_призмы = S_осн · Н

V_цил = S_осн · Н = πR² · H

V_кон = 1/3 πR² · H

V_пир = 1/3 S_осн · Н

V_шар = 4/3 πR²

Учитель: Задумывались ли вы над таким вопросом: как давно появились эти формулы и кто первым открыл их?

Сообщение ученика: (Презентация «Ученые древности»)

Еще до нашей эры формулы объемов многих тел (параллелепипеда, призмы, цилиндра) были известны.

Позднее, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евклида и Архимеда были открыты формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса, шара и других тел. В современных учебниках формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса, шара выводятся на основе интегральной формулы. Но этот простой и изящный способ появился благодаря трудам И. Ньютона и Лейбница гораздо позднее того, как были открыты сами формулы, которыми пользуемся мы.

II. Решение задач

Задача 1. На надгробном камне могилы Архимеда в Саракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Этот символ является открытием формулы V шара и S сферы, а также важного вывода, что _ - равно одному и тому же числу. Что это за число?

Каково условие вписания шара в цилиндр? (в осевое сечение можно вписать окружность, осевое сечение - квадрат)

Первый вариант считает первое отношение , второй – второе. Пусть R – радиус цилиндра

Это отношение нужно запомнить!

Задача 2. Комната имеет формулу куба. Паук, сидящий в середине ребра хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?

Найти это расстояние, если ребро куба равно а.

Решение:

_

Сравним с расстоянием:

2·1,41+1 = 2,82+1 = 3,82

Из домашнего задания: как из любого равностороннего треугольника, путем перегибания склеить тетраэдр (перегнуть по средним линиям).

А можно ли это выполнить если треугольник – прямоугольный, остроугольный, тупоугольный. Для прямоугольного, тупоугольного – нельзя.

Вывод: когда можно шар вписать в пирамиду? ( в основание можно вписать окружность).

III. Решение задач с применением методов исследования.

№1. В четырехугольник вписана окружность

• Условие вписания окружности в четырехугольник (сумма противоположных сторон должна быть равна …)

• Четырехугольник может … (ромбом, квадратом, трапецией)

И так возьмем ромб со стороной а и углом α

C

Проведем радиус в точки касания

• Сформулируйте задачу о пирамиде, вершина которой будет проектироваться в центр данной окружности

Задача. (проектируется на слайде на экран)

В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом α, вписан шар. Найти объем шара, если каждая боковая грань пирамиды составляет с основанием угол β (достраиваем)

- где расположен центр этого шара? (На биссектрисе угла образованного апофемой боковой грани и ее проекцией на плоскости основания)

Сделаем вывод: когда можно описать около пирамиды шар?

№2. Дан прямоугольный треугольник с катетами 24 и 18. Найти радиус окружности, описанной около него.

• Сформулируйте задачу о пирамиде с данным основанием, чтобы ее вершина проектировалась в точку О.

Задача №2. (проектируется на слайде)

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 24 и 18. Каждое боковое ребро равно 25. Найти V шара, описанного около нее.

- Где расположен центр данного шара (в точке пересечения перпендикуляра, проведенного через центр описанной около основания окружности и симметрали бокового ребра)

Решение:

Ответ: _

№3. Дана равнобедренная трапеция с основаниями 8 и 18. В нее вписана окружность. Найти радиус этой окружности.

Решение:

AB + CD = BC + AD

Задача: (на слайде) Найти радиус шара, вписанного в прямую призму с данным основанием.

r = 6

Ответ: 6

№ 4. Около равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность. AB = BC = 10, AC = 12. Найти радиус окружности описанной около него.

- Где находится центр этой окружности? (на пересечении серединных перпендикуляров)

1. Через подобие

1. Через S

1. Через тригонометрическую функцию

1. Через свойство пересекающихся хорд

BH·HP = AH·HC

8·(2R-8) = 6·6

16R-64 = 36

16R = 100

Сформулировать задачу о пирамиде с данным основанием, у которой проектируется в центр окружности, описанной около основания (в точке О₁)

Задача: Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 13 см, AC = 10 см. каждое боковое ребро пирамиды образует с ее высотой угол в 30^о. Вычислить радиус шара, описанного около нее.

_ (подставим в формулу V_ш и сосчитаем).

IV. Тест

1. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 5, высота равна 3, а главная диагональ равна 7.

Найти объем прямоугольного параллелепипеда.

1. 105

2. - верный ответ

3. 

2. В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник, боковые стороны которого 6, а угол при основании равен 30^о.

Все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60^о.

Определить V пирамиды.

1. 18

2. 54 – верный ответ

3. 18

3. Основанием прямой призмы служит треугольник ABC, у которого сторона АС равна 4. Сечение призмы проходит через сторону АС и противоположную вершину верхнего основания имеет площадь 12 и наклонено к основанию под углом 60^о. Найти V призмы.

1. 

2. - верный ответ

3. 

4. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4, 6, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60^о. Вычислить V усеченной пирамиды.

1. 

2. - верный ответ

3. 

5. У треугольной пирамиды SABC два боковых ребра BS=6 и AS=8 составляют угол в 45^о.

Расстояние от грани, образованной этими ребрами до противоположной вершины равно 5. Найти V пирамиды.

1. 

2. - верный ответ

V. Подведение итогов урока