Урок-исследование"Правильные многоугольники" в 9 классе

Урок – исследование. (9 кл.)

Тема: Правильные многоугольники.

Цели урока:

1. образовательные: закрепление пройденного материала, сравнение результатов вычисления неизвестных величин с помощью формул и практически.

2. воспитательные: уметь анализировать, сопоставлять результаты, делать соответствующие выводы.

3. развивающие: развивать способность быстро воспринимать информацию и выполнять необходимые задания, развивать мышление.

Эпиграф:

Когда

красота притягивает,

а исследование увлекает.

Ход урока

1. Подготовительная работа (устные упражнения)

2. Работа по готовым чертежам

3. Сообщения учащихся

4. Практическая работа (объяснение учащимися)

5. Подведение итогов

6. Тест

I.

1. Установите, истинны или ложны следующие высказывания:

1. Длину окружности можно вычислить по формуле C = D, где D – диаметр окружности.

2. Площадь круга равна произведению его радиуса на .

3. Длина полуокружности диаметра 10 равна 5.

4. Площадь круга можно вычислить по формуле S = _ , где D – диаметр круга.

5. Площадь круга радиуса 10 равна 10.

6. Длина дуги окружности с градусной мерой 60^о вычисляется по формуле l = _.

7. Площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 90^о, вычисляется по формуле S = _.

8. Если длина дуги окружности радиуса R равна _, то градусная мера этой дуги равна 90^о.

1. Закончите утверждение:

1. Если диаметр окружности равен 6 см, то ее длина равна (6)

2. Если диаметр круга увеличить в 4 раза, то его площадь увеличится в (16 раз)

3. Если радиус окружности уменьшить на 3, то ее длина уменьшится на (6)

4. Если радиус круга равен 6 см, то площадь его кругового сектора вычисляется по формуле _.

5. Площадь вписанного в окружность квадрата равна 16 см.

Площадь круга, ограниченного данной окружностью, равна

_,

_.

1. Площадь описанного около окружности правильного четырехугольника равна 25. Длина этой окружности равна (5)

_.

1. Диаметр окружности равен 8 см. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность равна a₀ = 4 4 · 6 = 24.

2. Сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность равна 10. Длина окружности равна _.

II. Работа по готовым чертежам: (чертежи заданы на доске)

1. Дано: AB, BC – касательные, R = 11

Найти: P_ABCO

Решение: P = 11 · 4 = 44

1. Дано: R = 12.

Найти площадь заштрихованной фигуры.

Решение:

1. Дано: ABCD – правильный четырехугольник, R = 5.

Найти: AD, r.

Решение:

AC² = 2AD²  (5 + 5)² = 2 · AD²

1. Дано: ABCDEF – правильный шестиугольник, AE = _.

Найти: S_ABCDEF

Решение:

ADE – прямоугольный, т.к. 1 = 60^о, 2 = 30^о.

R = x _

x² = 4  x = 2 – это сторона a₆ = P.

1. Дано: ABCD – правильный четырехугольник, P_ABCD = 16.

Найти: длину окружности.

1. Дано: ABCDEF – правильный шестиугольник, S_ABCDEF = 36_.

Найти: AFE

Решение:

AOE = 120^о.

Ответ: _

1. Дано: ABC – правильный, a₃ = AC = 2_.

Найти: длину окружности и BC.

Решение:

C = 2R = 2 · 2 = 4

BC = 120^o, с другой стороны

1. Дано: ABCD – правильный четырехугольник, AD = 4.

Найти: S_ABCD

C другой стороны 4 = _  R = 8

1. Дано: R = 11, AB = 15 см.

Найти: AK, KB.

III. Какие правильные многоугольники мы можем строить с помощью циркуля и линейки? (треугольник, 4-угольник, 6-угольник)

- А как вы считаете, можно ли построить правильный пятиугольник? (с помощью циркуля и линейки).

Построение: (сообщение ученика)

- Ученик. Правильные пятиугольники бывают выпуклые и звездчатые. Они обладают особым свойством «золотым сечением».

А что такое «золотое сечение»? Говорят, что точка С – производит «золотое сечение» отрезка AB, если AC:AB = CB:AC (это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая к большей).

Давайте проверим выполнимость «золотого сечения» в зубчатом пятиугольнике (ребята измеряют соответствующие отрезки и находят отношение).

Интересно то, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники и это отношение сохраняется. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбирали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила их опознавательным знаком.

Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входя пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один их путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появилась у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его. Пентаграмма была хорошо известна и в древнем Египте, но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции. О «золотом сечении» мы должны еще многое узнать, т.к она применяется и в скульптурных сооружениях, живописи, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по «золотому сечению», знаменитый портрет Моны Лизы (Джаконда) и многое другое.

Там, где присутствует «золотое сечение» ощущается красота и гармония.

- Ученик. Зная, как построить правильный n-угольник с помощью циркуля и линейки, легко можно построить 2n-угольник.

Еще в древности практиковали для разных нужд приближенное построение правильного n-угольника.

Один практический прием деления окружности на n частей предложил французский математик Н. Бион. Приме состоит в следующем: пусть требуется разделить окружность, например, на 5 равных частей. На диаметре окружности строится равносторонний треугольник ABC (радиус окружности берется таким, как в предыдущем задании).

Диаметр AB делим на 5 равных частей.

Соединим вторую точку деления с вершиной треугольника С, продолжим прямую до пересечения с окружностью в точке D. Дуга AD является пятой частью окружности, хорда AD – сторона правильного пятиугольника.

IV. Практическая работа. Класс делится на 2 группы. (теоретики решают задачи аналитически, практики измеряя и строя соответствующие элементы).

Задача №1.

Около правильного треугольника со стороной 4 см описана окружность и в него вписана.

Найти площадь полученного кольца (ответ записать с   3).

Задача №2.

В окружность радиуса R = ___ вписан правильный треугольник, а в него вписана окружность. Вычислить r.

Задача №3.

В равнобедренном треугольнике основание равно 6 см, а боковая сторона 5 см. Найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружности (ответ _ см).

Задача №4.

В окружность радиуса 4 см вписан шестиугольник, в него правильный треугольник, а в правильный треугольник вписана окружность. Найти r этой окружности.

Решение некоторых задач.

№1.

MC = 2

№3.