Уравнение кастельной

Урок алгебры и начал математического анализа

Тема урока: Уравнение касательной

Оборудование: компьютер, проектор, экран, мультимедийная презентация, электронный тест, компьютерная программа AGrapher, информационно-диагностические карты обучающихся, раздаточный материал.

Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков.

Цели урока:

- продолжить формирование системы математических знаний и умений по теме «Уравнение касательной», необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

- развивать навыки использования компьютера и мультимедийных учебных программ для организации собственной познавательной деятельности;

- развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру, критическое мышление;

- воспитывать толерантность, коммуникативность.

Структура урока:

• организационный момент;

• сообщение темы и постановка целей урока;

• проверка домашнего задания;

• актуализация опорных знаний и умений обучающихся;

• самостоятельная работа обучающихся;

• выполнение работы в группах, творческое применение знаний и умений;

• обсуждение результатов деятельности обучающихся;

• рефлексия деятельности;

• домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие, доброжелательный настрой учителя и обучающихся, полная готовность класса и оборудования урока к работе, организация внимания всех обучающихся.

2. Сообщение темы и постановка целей урока.

Учитель сообщает обучающимся тему и цели урока, знакомит со структурой урока.

3. Проверка домашнего задания.

Проверить правильность, полноту и осознанность выполнения домашнего задания всем классом, выяснить причины невыполнения задания отдельными обучающимися, устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях, навыках и умениях, осуществлять дальнейшее совершенствование последних.

Учитель сканирует тетрадь одного из учеников класса с решением задач базового уровня, заданных на дом и с помощью видеопроектора демонстрирует данное решение на экране. Ученик комментирует свое решение. Выполнение заданий базового уровня обязательно для всех обучающихся.

Базовый уровень.

№ 5.22 (б) Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = _{ }в точке с абсциссой x₀ = π/2.

№5.27(б) Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = _{ } в точке с абсциссой x₀ =2.

Обучающиеся проверяют правильность выполнения домашнего задания.

Задачу практического содержания повышенного уровня сложности обучающиеся решали по выбору. Один из учеников представляет свое решение в форме мультимедийного проекта.

Задача практического содержания.

Строится мост параболической формы, соединяющий пункты А и В, расстояние между которыми равно 200м. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом 15⁰. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат (рис.).

Учитель акцентирует внимание обучающихся на уравнении касательной к графику функции

Слайд.

Пусть функция у = f(х) непрерывна на интервале (a;b) и имеет в точке х₀ Є (a;b) производную. Тогда график этой функции имеет в точке (х₀; f(х₀)) касательную, уравнение которой y – y₀ = k(х - х₀), где y₀ = f(х₀), k= f ^/(х₀).

Уравнение касательной записывают в виде

у = f ^/(х₀)(х - х₀) + f(х₀)

4. Актуализация опорных знаний и умений обучающихся.

Актуализировать те знания и умения, которые необходимы обучающимся для дальнейшей работы. Активизировать мыслительную деятельность обучающихся.

Устная фронтальная работа.

Слайд 1.

Найдите угловой коэффициент касательной к кривой _{ } в точке с абсциссой х₀= - 2.

Ответ: 9.

Формулируется геометрический смысл производной.

Слайд 2.

Укажите значение коэффициента k, при котором графики линейных функций

y = 8х + 12 и y = kх – 3 параллельны.

Ответ: 8.

Формулируется условие параллельности прямых.

Слайд 3.

Функция у = f(х) определена на промежутке (-4; 5). На данном ниже рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(х), которые параллельны оси абсцисс.

Ответ: 1.

Слайд 4.

Н а рисунке изображена прямая, которая является касательной к графику функции у =f (х) в точке (х₀; f(х₀)). Найдите значение производной в точке х₀.

Ответ: 1,5.

5. Самостоятельная работа обучающихся.

Контроль за уровнем усвоения первичных умений и применения их в стандартных ситуациях обучающимися, испытывающими затруднения при изучении данной темы, осуществляется с помощью компьютерного тестирования. Ученик записывает полученные результаты в предоставленный ему бланк ответов. Проверка работы осуществляется компьютерной программой My Test. В случае ошибки компьютер выдает ученику “неверно” и показывает правильный ответ. Обучающийся записывает в бланке верный ответ, отмечает его знаком «+», в случае неверного ответа выписывает верный для того, чтобы выполнить дома работу над ошибками. Обучающийся получает на дом тест в печатном варианте.

Компьютерная программа My Test определяет уровень усвоения знаний обучающимся по количеству верно решенных задач и выставляет отметку.

Вопросы компьютерного тестирования.

№1. Зависимость температуры Т тела от времени задана уравнением

_{ }t² - 2t+5. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t=5 c?

Ответ: 3.

№2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(х)=2х⁴+5х² – 3 в точке с абсциссой х₀= -1

Ответ: -18.

№3. Известно, что _{ } . Тогда касательная к графику функции у=f(х) в точке х₀ образует с положительным направлением оси Ох угол … .

Ответ: 60°

№4. Найдите угловой коэффициент касательной с кривой _{ } в точке с абсциссой х₀=8.

Ответ: 8.

№ 5. К графику функции у =f (х) в точке с абсциссой х₀= -3 проведена касательная. Определите угловой коэффициент касательной, если на рисунке изображен график производной данной функции.

Ответ: 4.

№6. Найдите значение производной функции _{ } в точке х₀=4.

Ответ: 21.

Бланк ответов

№	1	2	3	4	5	6
Ответ
Верно

Самостоятельная работа с последующей проверкой по применению знаний и умений в измененных условиях.

Ученики выполняют задание в тетрадях, один у доски.

№1. Напишите уравнения касательных к графику функции f(x) = 9 – x² в точках его пересечения с осью абсцисс.

Проверка правильности выполнения задания сопровождается построением графика функции и найденных к нему касательных с помощью компьютерной программы AGrapher.

6. Выполнение работы в группах, творческое применение знаний и умений.

Закрепление изученного материала на основе творческого его применения на практике, в нестандартных ситуациях.

Создается четыре группы, в каждую из которых входит четверо обучающихся с разным уровнем математической подготовки (дифференциация внутри группы). Представители каждой группы из четырех конвертов с заданиями вынимают один конверт. Группы приступают к работе. Решение задач обучающиеся записывают в тетрадях.

Задание 1.

1. В чем заключается геометрический смысл производной?

2. Какими свойствами должна обладать функция у = f(x), заданная на интервале (a; b), чтобы в точке с абсциссой х₀ Є (a; b) ее график имел касательную?

3. Каково уравнение касательной?

4. Составить уравнение касательной к графику функции y=1/х²,х‹0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 9/8.

Обучающимся предлагается решение, отдельные элементы которого пропущены. Необходимо заполнить пропуски.

Задание 2.

1. В чем заключается геометрический смысл производной?

2. Какими свойствами должна обладать функция у = f(x), заданная на интервале (a; b), чтобы в точке с абсциссой х₀ Є (a; b) ее график имел касательную?

3. Каково уравнение касательной?

4. Напишите уравнение касательной к графику функции _{ }, параллельной прямой y = 4х – 5.

Задание 3.

1. В чем заключается геометрический смысл производной?

2. Какими свойствами должна обладать функция у = f(x), заданная на интервале (a; b), чтобы в точке с абсциссой х₀ Є (a; b) ее график имел касательную?

3. Каково уравнение касательной?

4. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции у = f (х) в точке А (-7;14). Найдите _{ }. (КИМ по подготовке к ЕГЭ,2008 г.)

Задание 4.

1. В чем заключается геометрический смысл производной?

2. Какими свойствами должна обладать функция у = f(x), заданная на интервале (a; b), чтобы в точке с абсциссой х₀ Є (a; b) ее график имел касательную?

3. Каково уравнение касательной?

4. Найдите абсциссы всех точек графика функции _{ }, касательные в которых параллельны прямой у = 65х или совпадают с ней. (КИМ по подготовке к ЕГЭ,2022 г.)

7.Обсуждение результатов деятельности обучающихся.

Представители каждой группы из четырех карточек, на которых указана форма отчета, вынимают одну карточку. Группы отчитываются о проделанной работе. Записывают решение соответствующих заданий на доске.

Формы отчета:

• «Доверие» - отметки за работу в группе выставляет капитан. Учитель тетради берет на проверку. При несовпадении отметок капитана и учителя идет снижение отметок на 1 балл;

• «Все» - отвечают все обучающиеся;

• «Делегат» - группа сама решает, кто из учеников будет отвечать;

• «Выбор» - учитель выбирает ученика, который будет отвечать.

Решение задания №2 сопровождается графической иллюстрацией, выполненной с помощью компьютерной программы AGrapher.

8. Рефлексия деятельности.

Подведение итогов урока: как работал класс, кто из обучающихся работал особенно старательно, что нового узнали на уроке.

9. Домашнее задание.

Домашнее задание задается в тестовой форме. Срок его выполнения - одна неделя. Аналогичные задания задаются обучающимся один раз в месяц. Тест составлен на основе демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2022 года. В данный тест включены задания по теме «Уравнение касательной».

Тест.

1. Вычислите:_{ }.

2. Найдите значение выражения -4 _{ }.

3. Найдите корень уравнения _{ }.

4. Найдите 5(1 – cos² α), если sin α = _{ }.

5 . Функция у = f(x) определена на промежутке (-7; 6). На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции у = f(x) имеет наибольший угловой коэффициент.

6. При движении тела по прямой расстояние S( в метрах) от начальной точки изменяется по закону S(t) = t³ – t² + 5 t + 1 ( t – время движения в секундах). найдите скорость (м/с ) тела через 3 секунды после начала движения.

В9. Найдите значение производной функции y = x⁶ -4sinx в точке x₀ = 0.

В 11. Найдите наименьшее значение функции у = х³ – 12х + 3 на отрезке _{ }.

В12. Отец с сыном должны вскопать огород. Производительность труда у отца в два раза больше, чем у сына. Работая вместе, они могут вскопать весь огород за 4 часа. Однако вместе они проработали только один час, потом некоторое время работал один сын, а заканчивал работу уже один отец. Сколько часов в общей сложности проработал на огороде отец, если вся работа на огороде была выполнена за 7 часов?

С1.Найдите абсциссы всех точек графика функции f(х) =_{ } - _{ }, касательные в которых параллельны прямой у = - 35х или совпадают с ней.

Результаты работы с тестом каждый обучающийся фиксирует в индивидуальной информационно-диагностической карте. Информационно-диагностическая карта, составленная учителем в помощь обучающимся при подготовке к ЕГЭ по математике, содержит:

• словарь терминов по ЕГЭ;

• примеры бланков ЕГЭ;

• перечень тем по математике, необходимых для повторения при подготовке к экзамену;

• список рекомендуемой литературы;

• перечень сайтов, на которых можно получить необходимую информацию по ЕГЭ по математике, пройти on- line тестирование;

• бланки промежуточного тестирования.

В информационно-диагностической карте обучающиеся указывают свои затруднения, учитель дает рекомендации по их устранению.

Учитель завершает урок словами Р. Рождественского

Если вы есть - будьте лучшими,

Если вы есть - будьте первыми!

Если вы есть - попробуйте

Горечь зеленых побегов,

Примериваясь, потрогайте

Великую ношу первых.

Как самое неизбежное

Взвалите ее на плечи.

Если вы есть - будьте первыми,

Первым труднее и легче!