Угол между прямыми.Взаимное расположение прямых.

Тема урока: «Угол между прямыми,

взаимное расположение прямых»

Учитель: Ефремова И.И.

Предмет: геометрия

Класс: 11

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.

Урок: Повторение по теме «Угол между прямыми,

взаимное расположение прямых».

Цели урока:

Дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности;

Развивающая: развить логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжить формирование математической речи графической культуры, вырабатывать умение анализировать и сравнивать;

Воспитательная приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюби

Ход урока

Этапы урока и их содержание	Время (мин)	Деятельность учителя	Деятельность ученика
1.Организационный момент 2. Постановка цели Сегодня на уроке мы продолжим готовиться к ЕГЭ по математике, отрабатывать навыки нахождения угла между прямыми. 3. Активизация знаний учащихся Теоретический опрос: 1) Напомните аксиомы. А1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. А2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точ­ки прямой лежат в этой плоскости. А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. 2) Какие две прямые называются скрещивающимися? Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. 3) Назовите признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоско­сти, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещи­вающиеся. 4)Какие случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве возможны? а) прямые пересекаются, т. е. имеют только одну общую точку; б) прямые параллельны, т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются; в)прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости. 5) Что в стереометрических задачах на вычисление величины угла предлагается найти? угол между пересекающимися прямыми; угол между скрещивающимися прямыми; угол между прямой и плоскостью; двугранный угол; угол между двумя плоскостями; 6) Как найти угол между пересекающимися прямыми? Планиметрическое понятие. Как известно, две пересекающиеся прямые образуют четыре угла (фигуры, состоящие из двух лучей с общим началом). Углом между пересекающимися прямыми называется один из четырёх образованных ними углов, который не больше остальных углов. 7) Как найти угол между скрещивающимися прямыми ? Находят так: через произвольную точку пространства проводят две прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между построенными прямыми. В задачах нередко бывает удобно брать точку на одной из скрещивающихся прямых или найти уже имеющиеся в конфигурации пересекающиеся прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым. 8) Как найти Угол между прямой и плоскостью? Равен углу между этой прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. 9) Какова величина двугранного угла? Равна величине его линейного угла. Для построения линейного угла нужно из какой-нибудь точки ребра двугранного угла в его гранях провести два луча, перпендикулярных ребру. 10) Как найти угол между двумя пересекающимися плоскостями ? равен величине одного из четырёх образованных ими двугранных углов. Причём величина этого двугранного угла не больше величины остальных двугранных углов. Величина угла, образованного двумя лучами с общим началом может быть больше 0º, но меньше или равна 180º. Величина двугранного угла больше 0º, но меньше или равна 180º. Величина угла между двумя прямыми или двумя плоскостями больше 0º, но меньше или равна 90º. Угол между прямой (наклонной) и плоскостью больше 0º, но меньше 90º. И дополнительно вводится определение, что угол между плоскостью и перпендикулярной к ней прямой считается равным 90º. 11) Просмотр презентации через Мультимедиа. 4 Выполнение упражнений Разбор задач части С2 из приложения №1 задания №1, №2, Задания №3, №4. 5 Самостоятельная работа См приложение №2 Задания №5, №6, №7. 6 Домашнее задание См приложение №3 Задания №8, №9, №10. 7 Подведение итогов урока Решение геометрических задач требует от учащихся хороших теоретических навыков, уметь применять их на практике, требует внимания и трудолюбия, сообразительности и абстрактного мышления. Именно на последних уроках идет тщательная подготовка Единому государственному экзамену. Сегодня на уроке хорошо потрудились. Все ребята получат оценки. Молодцы!	1 3 16 2 3 10 4 30 15 7 3 5	Организационная Сообщает тему урока, дату проведения урока, цель урока Вызывает по желанию 2-х человек к доске, параллельно проводит фронтальную беседу по теоретическим вопросам. Выставляет оценки за теоремы Учитель следит за верностью рассуждений учащихся. Учитель дает рекомендации. Следует отметить также, что в задачах на вычисление углов нередко предлагается вычислить не угол, а его функцию (синус, косинус или тангенс). Учитель через мультимедиа задает вопросы. Направляет на правильное решение, следит за верностью рассуждения. Обсуждает с учащимися метод решения, следит за грамотным оформлением чертежей. Выставляет оценки за работу. Разбор задач вместе с учителем Учитель записывает домашнее задания на доске. Поясняет домашнее задание. За самостоятельную работу оценка будет выставляться в журнал.	Сообщают об отсутствующих Записывают в тетради 2 человека 1) Доказывает Признак скрещивающих прямых. 2) Доказывает теорему об углах с сонаправленными сторонами. Остальная часть класса принимает участие в ответах. 2 учащихся работают у доски по каточкам. За одним учеником остальные записывают решение. Внимательно прослушав учителя записывают в тетради. Учащиеся самостоятельно решают в тетради. Внимательно прослушав учителя записывают домашнее задание.

Приложение №1 Работа по карточкам

Задание №1

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D_1, у которого АВ = 4, ВС=6,

СС₁ = 4, найдите тангенс угла между плоскостями СDD₁ и BDА₁.

Решение.

Вместо плоскости CDD_1, возьмём параллельную ей плоскость АВB₁.

Пусть Е – середина BA₁. DE BA₁, AE BA₁. Значит, угол DEA - линейный угол искомого угла. Из прямоугольного треугольника DAE, так как DA₁=DB, находим:

DEA ₌ = =

Ответ: .

Задание № 2

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D_1, найдите угол между плоскостью А₁ ВС и прямой В С₁ , если АА₁ =8, АВ=6, ВС=15.

Решение:

6

Сечение плоскостью А₁ ВС есть прямоугольник А₁ВСD₁.

Из точки С₁ проведем перпендикуляр С₁ H к CD₁, так как треугольник BHC₁-прямоугольный, С₁Н А₁ВС. ВН– проекция BC₁ на плоскость А₁ ВС.

Значит, нужно найти угол С₁ВН.

В прямоугольном треугольнике D₁ C₁C находим: C₁ H = = .

Из прямоугольного треугольника BCC₁ находим: BC₁=17.

В прямоугольном треугольнике C₁HB находим: sin B=.

Ответ: . arcsin.

Задание № 3

Основание правильной призмы АВСА₁В₁С₁– треугольник АВС, в котором АВ = 4, а точка Т – середина стороны АВ. Боковое ребро призмы равно 2. Найдите угол между прямой В₁Т и плоскостью боковой грани ВСС₁В₁.

Решение:

Пусть ТМВС. Так как боковые грани правильной призмы перпендикулярны её основанию, то МТ ВВ₁С. Следовательно, угол МВ₁Т – искомый угол между прямой В₁Т и плоскостью боковой грани ВСС₁В₁.

Призма правильная, следовательно, ВВ₁АВС, значит, треугольник ВВ₁Т прямоугольный, поэтому

В₁Т =.

Поскольку треугольник АВС равносторонний, то его медиана АК является высотой, а потому

АК = .

Отрезки АК и ТМ перпендикулярны ВС, следовательно, треугольники ВМТ и ВКА подобны. АТ = ВТ, значит, КМ = МВ.

Тогда МТ = .

7

sinТВ₁М =0,5. ТВ₁М=30⁰.

Ответ: 30⁰

Задание № 4

Все боковые ребра пирамиды МАВСD равны, основание – прямоугольник АВСD , диагональ которого равна 2, а угол между диагоналями равен 30º. Высота пирамиды равна 2,5. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью, параллельной прямой АМ и содержащей точки В и D.

Решение:

Пусть МО – высота пирамиды, тогда точка О – точка пересечения диагоналей основания. Проведем в плоскости АМС прямую КО, параллельную прямой АМ. Двугранный угол KBDC меньше прямого, значит, его величина равна искомой величине угла между плоскостями ВСD и BKD. Построим линейный угол двугранного угла KBDC.

Пусть КТАС (ТАС), тогда КТ║МО, значит, КТАВС. Будем считать, что в прямоугольнике АВСD ВОС СОD. Тогда основание перпендикуляра , проведенного из точки Т к прямой ВС (точка Х) будет лежать между точками В и О. По теореме о трех перпендикулярах ХКВD , а потому угол КХТ – искомый линейный угол двугранного угла KBDC.

Т.к. КТ║ОМ и МК = КС, то КТ = 0,5 МО = 1,25.

Пусть СРВD. В прямоугольном треугольнике ОСР ∟СОР = 30º, поэтому СР = 0,5 · 1 = 0,5, ХТ = 0,5СР = 0,25.

Тангенс искомого линейного угла KXT получаем из прямоугольного треугольника XКТ:

tg KXT = KT : XT = 1.25 : 0.25 = 5.

Ответ: 5

Задание № 5

8

Отрезок РN- диаметр сферы. Точки М, L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если Т – середина ребра МL.

Решение:

1) Пусть О- центр сферы, а R- ее радиус. Тогда PN=2R как

диаметр сферы. Поскольку точки M и L лежат на сфере, то ОP=OL= ON=OM=R.

Сечения сферы плоскостями PLN и PMN – окружности радиуса R, описанные вокруг треугольников PLN и PMN, причем PMN = PLN = 90⁰ как вписанные углы, опирающиеся на диаметр PN.

2) Пусть H- высота пирамиды PNML, опущенная из вершины М, и

h – высота треугольника PLN, проведенная к стороне PN. Поскольку точкаМ лежит на сфере, а плоскость PLN содержит центр сферы, то H R, причемH=R, если МО PNL.

Аналогично, поскольку точка L лежит на сфере,

то h R, причем h = R, если LO PN. Отсюда для объема пирамиды

PNML имеем V_PNML= S_PNL

При этом V_PNML=, если H = h = R. Таким образом, пирамида PNML имеет наибольший объем, если треугольники PLN и PMN прямоугольные и равнобедренные и лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях.

3) Поскольку MOPLN ,то MO OL. Но PN OL и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости PMN OL. Пусть К- середина МО. Проведем КТ- среднюю линию треугольнику OLM.

Тогда KT ║ OL. Значит, КТ PMN и поэтому KN - проекция NT на

плоскость PMN и TNK – угол между прямой NT и плоскостью PMN.

Пусть TNK=.

9

4) По свойству средней линии КТ = 0,5OL = 0,5R. Так как треугольники LON, LOM, NOM равны по двум катетам, то треугольник MNL правильный со стороной LN = ON = R. NT - высота треугольника MNL, значит

NT = Отсюда sin =

Ответ:.

Приложение №2 Самостоятельная работа:

Задание №6

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D_1, у которого АВ = 6, СС₁ = 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACD₁ и А₁В₁ С_1.

Решение:

Вместо плоскости А₁В₁С_1, возьмём параллельную ей плоскость АВС.

Пусть Е – середина АС. D₁E АС, DE АС. Значит, угол DED₁ - линейный угол искомого угла. Из прямоугольного треугольника D₁DE находим:

DED_{1 =} = =

Ответ:

Задание №7

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D_1, у которого АA₁ = 4, A₁ D₁=6,

С₁ D₁ = 6. Найдите тангенс угла между плоскостями ADD₁ и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B₁ C₁.

10

Решение:

Найдем угол между прямой EF и плоскостью грани BB₁ C₁ C. Точка В- проекция точки Е на эту плоскость.

Искомый угол есть EFB. EB==3. FB=. tgEFB=

Ответ:

Задание №8

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D_1, найдите угол между плоскостью А А₁С и прямой А₁ В , если АА₁ =3, АВ=4, ВС=4.

Решение:

Из точки В проведем перпендикуляр BH к AC. A₁ H– проекция A₁ B на плоскость А А₁С. Значит, нужно найти угол BA₁H.

В прямоугольном треугольнике ABC находим: BH=2.

11

Из прямоугольного треугольника А₁АВ находим: A₁B=5.

В прямоугольном треугольнике A₁HB находим: sin A₁=.

Ответ: . arcsin

Приложение №3 Домашнее задание:

Задание №9

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D_1, у которого АB = 4, BC=6,

С C₁ = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и прямой EF, проходящей через середины ребер AA₁ и C₁D₁.

Решение:

Будем искать угол между прямой EF и плоскостью грани A₁B₁C₁D₁. Точка – А₁ проекция точки Е на эту плоскость.

Искомый угол ₁. A₁E= A₁F=

tg ₁=

Ответ:

Задание №10

В кубе ABCDA₁B₁C₁D_1, найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС_1.

12

Решение:

Поскольку В₁ СВС₁ и В₁ САВ₁ , то В₁ С – перпендикуляр к плоскости АВС₁. Треугольник АВ₁ С - равносторонний ( его стороны равны диагоналям граням куба), поэтому угол АВ₁ С равен 60 . Так как это угол между прямой АВ₁ и перпендикуляром к плоскости АВС₁, получаем что, угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁ равен 90⁰ - 60⁰ = 30⁰.

Ответ: 30⁰.

Задание №11.

Точка О – середина бокового ребра АА₁ прямой призмы АВСА₁В₁С₁,

А₁ А =20, АВ = ВС = 20, АС = 32.

Найдите синус угла между прямыми АС₁ и В₁О.

Решение: Пусть точка К – середина ребра ВВ_1. Тогда АК║В₁О и угол КАС₁ равен углу между прямыми АС₁ и В₁О.

ВВ₁ АВ ( призма прямая), следовательно,

13

АК = = 30.

Пусть КТАС₁

Т.к. ∆АВК = ∆С₁В₁К (по двум катетам), то АК = КС₁.

Поэтому АТ = ТС₁.

Пусть точка М – середина ребра АС. Тогда ТМ║СС₁ и ТМ = 0,5СС₁

(средняя линия треугольника АСС₁), следовательно, ТМ║СС₁║КВ и ТМ = КВ. Значит, четырёхугольник КМВТ – параллелограмм, поэтому КТ = ВМ.

АВ = ВС, АМ = МС, следовательно, ВМ АС. Значит,

КТ = ВМ = = 12.

Итак, 12

sinКАС₁ = 0,4

Ответ: 0,4

Список литературы:

1. Геометрия 10-11класс Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов,

С.Б. Кадомцев.

2. Диагностические работы по математике 11 класс.

сайт «http:// mathege.ru».

3. Математика ЕГЭ. Типовые текстовые задания Т.А. Карешкова, Ю.А. Глазков, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелева, Москва Издательство «Экзамен» 2016.

4. УМК В.А. Смирнов. Методические рекомендации для учителя